第八章 离散系统

et T e*t
e* t
e* t
0
0
t
0 T 2T
t
t 0 T 2T
一个连续信号经采样开关变成了采样信号
• 采样脉冲的持续时间远小于采样周期T和系统的时间常 数
• 可以将窄脉冲看成是理想脉冲，从而可得采样后 的采 样信号为
e* (t) e(t)T (t)
(t) (t kT ) k
因此采样信号只在脉冲 出现的瞬间才有数值， 于是采样信号变为
采样：把连续信号变成脉冲序列(或数码)的过程。 采样器：实现采样的装置叫采样器，可以是机电开关，也 可以是电子开关，A//D转换器。 周期采样：采样开关等间隔开闭。 同步采样：多个采样开关等周期同时开闭。 非同步采样：多个采样开关等周期但不同时开闭。 多速采样：各采样开关以不同的周期开闭。 随机采样：开关动作随机，没有周期性。 保持器：从离散信号中，将连续信号恢复出来的装置，具 有低通滤波功能的电网络和D／A转换器都是这类装置。
保持器
被控对象
反馈环节
计算机控制系统的优点：
1、有利于实现系统的高精度控制；
2、数字信号传输有利于抗干扰；
3、可以完成复杂的控制算法，而且参数修
改容易；
4、除了采用计算机进行控制外，还可以进行显示，报警等 其它功能；
5、易于实现远程或网络控制。
8.2 采样过程和采样信号的复现
信号的采样过程 et
Z et eat E z e at
Z反变换
由F(z)求e*(t)过程称为Z反变换，表示为
f t Z 1 F z
Z反变换只能给出连续信号在采样时刻的数值，而不能 再非采样时刻提供连续信号的有关信息。通过查Z变换表得 到的连续函数，从Z反变换的角度来说，只能是许多可能的 答案之一，而不是唯一的答案。即有
自动控制原理 第8章 采样控制系统
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
第8章 采样控制系统的分析与设计
8.1 引言 8.2 信号的采样与复现 8.3 Z变换与Z反变换 8.4 脉冲传递函数 8.5 采样系统的分析 8.6 最少拍采样系统的校正
概述
• 连续控制系统中的变量是时间上连续的； • 随着被控系统复杂性的提高，对控制器的要求也越来越
离散系统信号转换的两个特殊环节
离散系统中连续信号和离散信号并存，在连续信号与离 散信号之间要用采样器，而在离散信号与连续信号之间要用 保持器，以实现两种信号的转换。采样器和保持器，是离散 控制系统中两个特殊的环节。
r (t )
e(t )
-
b(t)
e* (t )
u* (t )
uh (t)
c(t )
控制器
留数法
设连续信号f(t)的拉普拉斯变换式F（s）及其全部极点pi为已 知，可利用留数法求其Z变换F(z)，即
F (z)
Z[
f
* (t)]
Ri res
n i 1
F
res
( pi )
Fz( ze
piБайду номын сангаас
piT
)
z
z ePiT
n i 1
Ri
当s=pi为一阶极点时，其留数为
Ri
lim (s s pi
定义新的变量
k 0
F * (s) L f * (t) f (kT )ekTs
z eTs
k 0
有
F (z) Z f *(t) f (kT )zk
k 0
常用的Z变换方法 级数求和法
f *(t) f (nT ) (t nT ) n0 f (0) (t) f (t) (t T ) f (nT ) (t nT )
F*(s) f (0) f (T )eTs f (nT )enTs F (z) f (0) f (T )z1 f (nT )zn
在一定条件下，常用函数的Z变换都能够写成闭合 形式。
例1 求单位阶跃函数1（t）的Z变换。 单位阶跃函数的采样脉冲序列为
1kT 1, (k 0,1,2 )
采样定理
采样时间满足什么条件？才能复现 原信号！
采样窄脉冲为周期性的，采样后的信号
e*(t) 1
e t e jkst
取该信号的拉氏变换,T并令k
:
s j
E*(j) 1 E T k
j jks
采样后信号频谱是以 s为周期的。
连续信号在时域上是连续的，但频域中的频谱是 孤立的；
e kT
1
s
eTs s
ekTs
零阶保持器的传递函数为
Gh
s
Eh (s) E*(s)
1 eTs s
零阶保持器的传递函数为
Gh
s
Eh (s) E*(s)
1 eTs s
零阶保持器的频率特性为
Gh
j
1 e jT
T
jT
e2
jT
e2
jT
e 2
j T 2
2j
T
jT
e2
sin T
T
sin(T
/
2)
pi
)
F
(
s)
z z esT
当s=pj为q阶极点时，其留数为
Rj
1 lim
(q 1)! s pi
d q1 ds q 1
(s
pi )F (s)
z z esT
例4 求f（t）=t的z变换 [ t 0 ]
解：由于
F (s)
1 s2
在s=0处有二阶极点，f(t)的z变换F(z)为
F(z)
R
d ds
Z
e
t
nT
zn
E
z
n1 k 0
e
kT
zk
4. 初值定理
lime t lim E z
t 0
z
5. 终值定理
设函数e(t)的z变换为E(z)，且在z平面上的以原 点为圆心的单位圆上和圆外均没有极点，则
e() lime t lim z 1 E z
t
z1
6 .复数位移定理
设函数e(t)的z变换为E(z)，则
e
jT 2
T 2 2
T / 2
零阶保持器的频率 特性如图所示。
除了允许主频谱分 量通过之外，还允 许一部分附加高频 分量通过。因此复 现出的信号与原信 号是有差别的。
| Gh ( j) |
T
| Gh ( j) |
0
ω
π 2π
-
3π Gh ( j)
ω
2ω
3ω
Gh ( j)
8.3 Z变换与反变换
线性连续控制系统用线性微分方程来描述，用拉普拉斯 变换分析它的暂态性能及稳态性能。
s 2 max
香农定理的物理意义是：满足香农定理的采样信号中含 有连续信号的信息，该信息可以通过具有低通滤波特性 的滤波器复现出来。
零阶保持器
• 保持器是采样系统的一个基本单元，功能是将采样信号 恢复成连续信号。
• 理想滤波器可以将采样信号恢复成连续信号； • 理想滤波器是物理上不可实现的，因此要寻找一种物理
Z 1 F z f t f t
Z反变换方法
1、长除法 将F(z)的分子、分母多项式按z的降幂形式排列,用分子多项
式除以分母多项式,可得到F(z)关于z-1的无穷级数形式,在根据 延迟定理得到f*(t)。
F (z) f0 f1z1 fk zk fk zk k 0
对上式求z反变换,得
高，控制的成本随着数学模型的复杂化而急剧上升—模 拟实现； • 随着数字元件,特别是数字计算机技术的迅速发展，采样 控制系统得到了广泛的应用； • 在采样控制系统中,有一处或多处的信号不是连续信号, 而在时间上是离散的脉冲序列或数码。
r (t )
e(t )
e* (t )
数字
u* (t )
u(t) 被控
z
z esT
s 0
zTesT
(
z
esT
)2
s0
Tz (z 1)2
Z变换的性质 1.线性定理
设有连续时间函数
Z[x1(t)] X1(z), Z[x2 (t)] X 2 (z)
若 i为常数，则
Z[ax1(t) bx2 (t)] aX1(z) bX 2 (z)
线性定理表明,时域函数线性组合的Z变换等于各时域函 数Z变换的线性组合。
上可实现，特性上又接近于理想滤波器的设备-保持器。 • 采样信号只在采样点上有定义, e*(kT)和e*((k+1)T)都
是有定义的,但是在这两者之间的时间段上连续信号应该 是什么样子呢? • 这就是保持器要解决的问题.
保持器是一种时域外推装置，即将过去时刻或现在时刻的采 样值进行外推。
通常把按照常数、线性函数和抛物线函数外推的保持器称为 零阶、一阶和二阶保持器。
代入E(z)的级数表达式，得
1 z Z 1t e kT ek 1 z1 z2 k 0
zk
对上列级数求和，写成闭合形式，得
1(z)
1 1 z1
z
z 1
例2 求指数函数 e的Zt变换。
F(z) f (kT )zk 1 eaT z1 e2aT z2 ekaT zk k0
Gh s eh t eh t
0 a)
t
0 T 2T 3T 4T t
0 T 2T 3T 4T t
b)
c)
零阶保持器的输入和输出信号
由于在采样时刻
eh kT ekT ,k 0,1,2
故保持器的输出
eh t ekT 1t kT 1t kT T k 0
拉氏变换为
Eh
s
k 1
c(t )
A/ D
-
控制器
D/ A
对象
b(t)
测量及变换
计算机控制系统
一个系统只有离散信号而没有连续信号，则系统称为 纯离散小系统或简称离散系统。如果除了有离散还有连续 信号，则称采样数字系统或简称采样系统。一个采样控制 系统实际上包含两个子系统，即离散子系统和连续子系统， 而借助于保持互相连结，控制器可以是计算机或数字控制 器。
e kT t a0 a1t a2t 2
如
e kT t e kT ,0 t T
则当前时刻的采样值将被保持到下一个采样时刻. 这种保持器称为零阶保持器。
如何用数学语言描述这种特性呢?
零阶保持器:把采样时刻kT的采样值不增不减地保持到下一 个采样时刻（k＋1）T。
et et
T e*t e*t
2.滞后定理
设e(t)的z变换为E（z），且t＜0时，e(t)=0,则
Z et nT znE z
原函数在时域中延迟k个采样周期求z变换,相当于它的z变 换乘以z-k, z-k可以表示时域中的滞后环节,它把采样信号延迟k 个采样周期 。
et
et
t
t
nT
3. 超前定理
设函数e(t)的z变换为E(z)，则
对上列级数求和，写成闭合形式，得
F
(
z)
1
z
1 1e
aT
z z eaT
( z eaT )
部分分式法
当连续信号是以拉普拉斯变换式F（s）的形式给出,且 F（s）为有理函数时,可以展开成部分分式的形式，即
n
F(s)
Ai
i1 s pi
z
Aiepit
可得与其对应的z变换为
Ai z e piT
由此可得F（s）的Z变换为
线性采样控制系统则用线性差分方程来描述，用Z变换来 分析它的暂态性能及稳态性能。
Z变换是研究采样系统主要的数学工具，由拉普拉斯变换 引导而来，是采样信号的拉普拉斯变换。
连续信号f（t）的拉普拉斯变换为
连续信号f（t）经过采样得到采样信号 f*（t）为
其拉普拉斯变换为 f * (t) f (kT ) (t kT )
8.1离散系统的定义及常用术语
离散系统：系统中只要有一个地方的信号是脉冲序列或数 码时，即为离散系统。 脉冲控制系统：离散信号是脉冲序列而不是数码。 数字控制系统：离散信号是数码而不是脉冲序列。 开环采样系统：采样器位于系统闭合回路之外，或者系统 本身就不存在闭合回路。 闭环采样系统：闭合回路中含有采样器的系统。 线性采样：采样器输入与输出信号幅值之间存在线性关系。 线性采样系统：采样器和系统其余部分都具有线性特性。
连续信号采样之后，具有以采样角频率为周期的 无限多个频谱。
E j
m ax
m ax
a)
K 1
E* j
1 E s
T
K 0
K 1
m ax m ax
2m ax
s
s
2
b) ( s 2m ax )
E * j
m ax s
m ax
c) ( s 2m ax )
采样信号的频谱
采样定理：为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接，采样 频率必须大于或等于原连续信号所含的最高频率的两倍， 这样方可通过适当的理想滤波器把原信号毫无畸变的复 现出来。
是k理T想脉冲出现的时刻
T t
因此e*采(t样) 过程可以e(看kT作)一个(t调制kT过)程。 0 T 2T 3T 4T 5T
t
k
e(t)
e* (t )
t
e(t) e*(t)
t
T
0 T 2T
采样信号的调制过程
考虑到 t 时0 ， e(t) 0
可以将原来采样信号表达式变为如下
e*(t) e(kT ) (t kT ) k 0
F (z)
n i 1
Ai z e piT
例3 已知
Gs 1
s(s 1)
解 将G（s）展开成部分分式
，试求其Z变换.
G
s
s
1 s
1
1 s
s
1
1
其对应的时域表示式为
g t 1 et
两个时域信号的叠加。
G z Z 1t et
z
z
z 1 z eT
z 1 eT
z 1 z eT