相对论效应力

相对论效应力：

有两排平行电荷：

q2q2q2q2q2q2q2q2q2q2

q1q1q1q1q1q1q1q1q1 q1上面一排每个电荷q1，间距d0，成一条直线（无限长）；

下面一排每个电荷q2，间距也是d0，也成一条直线（无限长）。两直线距离为d。假定q1和q2是同种轻电荷（例如q1和q2都为单个电子，都带负电），起初这两排电荷都是静止的，在静电力的作用下，这两排电荷会做排斥运动。（上排电荷向上加速，并保持直线；下排电荷向下加速，也保持直线）现在取一惯性参考系，以速度v向左，也就是在这个参考系中，这两排电荷以速度v向右运动。（两排电荷仍然排斥、加速）当速度v很大，接近于光速c时，根据狭义相对论时间间隔的相对性，这两排电荷的排斥过程会减慢。现在不考虑它是相对论效应，两排电荷排斥过程仍然会减慢，那么这两排电荷之间除了静电力之外，还存在着一种引力性质的力，这种引力是由于电荷运动引起的。很容易想到，运动电荷形成了电流，电流产生了磁力。也就是说宏观的磁现象本质上是（电荷运动引起的）相对论效应。

为了便于计算，上面一排电荷中取出一个，讨论这个电荷的

受力情况。

q 2

q 1 q 1 q 1

q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 q 1 下面仍然是一排电荷，每个电荷q 1，间距d 0，成一条直线（无限长），上面只有一个点电荷q 2，q 2与下面电荷（所在直线）的距离为d 。（其中d 远大于d 0）起初点电荷q 2与下面一排电荷均保持静止状态，那么电荷q 2受到的静电力合力0

2

12dd q q k F =电……① （其中k ＝9.0×109牛·米2/库2） q 2在静电斥力的作用下将竖直向上做加速运动。现在取一惯性参考系，以速度v 向左，也就是在这个参考系中，这些电荷都以速度v 向右运动。（此参考系不会破坏电荷彼此之间的力及其运动）下面一排电荷，由点A 运动至点B ：经过的

路程为s ，掠过的电荷数量0

d s

n =，电荷运动形成了电流

01011d v q t s d q t nq t Q I =

∙===

电流产生了磁场（相当于无限长通电直导线的磁场），电荷

q 2处磁感应强度0

1dd v

q K d I K B ==，其中K=2×10-7牛/安2

电荷q 2所受洛仑兹力02

212dd v q q K vB q F ==磁。当速度v 很大，

无限接近于光速c 时，静电力不变，仍然是0

2

12dd q q k F =电，

而磁力大小为0

2

120221dd q q Kc dd c q q K F ==磁。比较电力与磁力，

都有公因式0

2

1dd q q ，而2k ＝2×9.0×109=1.8×1010

,

Kc 2＝2×10-7×(3×108)2＝1.8×1010

恰巧2k ＝Kc 2，即F 电=F 磁，静电力等于磁力。

严格地说，在速度v 接近于光速c 时，下面一排电荷间距d 0会缩短为d 1（其中2

1)(1c

v d d -=）。由于F 电、F 磁分母位置

都有d 0，缩短为d 1后，仍然是公因式（可以约去）。 现在不考虑它是磁现象，而把它看成是相对论效应：当速度v 无限接近于光速c 时，根据狭义相对论时间间隔的相对性，上面电荷q 2与下面一排电荷的排斥运动会无限减缓，几乎保持相对静止，看起来q 2所受到的合力为零一样。这一点与上面F 电=F 磁一致。

（下面复习一下数学，对于上面①式0212dd q q k F =电进行简要推导。

）

x

由微积分定义知，曲边梯形面积⎰

=

10

)(dx x f S 。

把x 轴从0至1平均分为n 份（n →+∞） 条形面积之和：

S dx x f n i

f n n i f n

S n i n n

i n ===∙=⎰∑∑=∞→=∞→1011)()(1lim )(1lim 条

同理可证（数列极限求和公式）：

⎰∑==∞→k kn i n dx x f n i

f n 01

)()(1lim

1 1

F i i

q 2 q 2

将每对力都分解为水平方向和竖直方向，其中水平方向的力正好相互抵消，只需计算竖直方向的力即可。两个点电荷之

间的静电力22

1r q q k F =，其中k ＝9.0×109牛·米2/库2。下

面一排电荷中第i 对电荷作用于电荷q 2的合力：

20220221)

()(2id d d

id d q q k F i +∙+= 设n d d

=0

（n →∞），即d ＝nd 0

2

0200

2

0202

1)()()

()(2id nd nd id nd q q k F i +∙+=

23

20212

3

22

22

1]

)(1[1

1

2]

)(1[12n

i n

dd q q k

n

i d n q q k

+∙∙=+∙= ∑

=∞→+=+++=kn

i n kn n

i n dd q q k F F F F 1

2

3202121])(1[11lim 2 电

dx x dd q q k

k

⎰

+=0

2

320

2

1)

1(12（k →+∞）

查积分表，知C a

x a

x dx a x ++=

+⎰2

22

2

322)

(1（其中x ＞0）

所以111)1(1

22

20

2

32=+=+=+⎰k k k k

dx x k

（k →+∞） 所以0

2

12dd q q k F =电

第一小节：证明在一般速度v 时，磁现象是相对论效应。 上面推导过程中，有一个等式2k ＝Kc 2，其中小写字母k 为静电力常量，大写字母K 为磁力常量（定义电流大小的物理量），c 为光速（c ＝3×108米/秒）。2k ＝Kc 2反映了这三个物理量之间的关系。必须承认2k ＝Kc 2，后面的推导、证明才能继续进行。

电荷q 2置于电场中，q 2保持静止时，电场为E ′，