第四章习题解题过程和参考答案

4-1 设单位反馈系统的开环传递函数为：10

()1

G s s =+。当系统作用有下列输入信号时：()sin(30)r t t =+︒，试求系统的稳态输出。 解：

系统的闭环传递函数为：10

()()

11()()1()1

11

C s G s s s R s G s Φ===++

这是一个一阶系统。系统增益为：1011K =

，时间常数为：111

T =

其幅频特性为：()A ω=

其相频特性为：()arctan T ϕωω=-

当输入为()sin(30)r t t =+︒，即信号幅值为：1A =，信号频率为：1ω=，初始相角为：030ϕ=︒。代入幅频特性和相频特性，有：

1

(1)A ==

=

=

11

(1)arctan arctan

5.1911

T ωϕω==-=-=-︒ 所以，系统的稳态输出为：

[

]()(1)sin 30(1)24.81)c t A A t t ϕ=⋅⋅+︒+=

+︒

4-2 已知系统的单位阶跃响应为：49()1 1.80.8(0)t

t

c t e e t --=-+≥。试求系统的幅频特性和相频特性。

解：

对输出表达式两边拉氏变换：

1 1.80.8361

()49(4)(9)(1)(1)

49

C s s s s s s s s s s =-+==

++++++ 由于()()()C s s R s =Φ，且有1

()R s s

=（单位阶跃）。所以系统的闭环传递函数为：

1()(1)(1)49

s s s Φ=

++

可知，这是由两个一阶环节构成的系统，时间常数分别为：

1211

,49

T T ==

系统的幅频特性为二个一阶环节幅频特性之积，相频特性为二个一阶环节相频特性之和：

12()()()A A A ωωω==

=

1212()()()arctan arctan arctan

arctan

4

9

T T ω

ω

ϕωϕωϕωωω=+=--=--

4-3 已知系统开环传递函数如下，试概略绘出奈氏图。 （1）1

()10.01G s s =

+

（2）1

()(10.1)G s s s =

+

（3）)

1008()

1(1000)(2+++=

s s s s s G

（4）250(0.61)

()(41)

s G s s s +=+

解：

手工绘制奈氏图，只能做到概略绘制，很难做到精确。所谓“概略”，即计算与判断奈氏曲线的起点、终点、曲线与坐标轴的交点、相角变化范围等，这就可以绘制出奈氏曲线的大致形状。对一些不太复杂的系统，已经可以从曲线中读出系统的部分基本性能指标了。

除做到上述要求外，若再多取若干点（如6-8点），并将各点光滑连线。这就一定程度上弥补了要求A 的精度不足的弱点。但因为要进行函数计算，例如求出实虚频率特性表格，工作量要大些。

在本题解答中，作如下处理：

小题（1）：简单的一阶惯性系统，教材中已经研究得比较详细了。解题中只是简单套用。 小题（2）：示范绘制奈氏图的完整过程。 小题（3）、小题（4）：示范概略绘制奈氏图方法。

这是一个一阶惯性（环节）系统，例4-3中已详细示范过（当T=时），奈氏曲线是一个半圆。而表4-2给出了任意时间常数T 下的实虚频率特性数据。可以套用至本题。

①系统参数：0型，一阶，时间常数0.01T = ②起终点

奈氏曲线的起点：（1,0），正实轴 奈氏曲线的终点：（0,0），原点

奈氏曲线的相角变化范围：（0,－90°），第IV 象限 ③求频率特性。据式（4-29）已知： 实频特性：22

1()1P T ωω=

+

虚频特性：22

()1T Q T ωωω=-

+

④可以得出如下实频特性和虚频特性数值：

⑤绘图：

示范绘制奈氏图的完整过程。

这是一个由一个积分环节和一个一阶惯性环节组成的二阶系统。 ①系统参数：1型系统，n=2, m=0 ②起终点

奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处； 奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°； 奈氏曲线的相角变化范围：（-90°，-180°），第III 象限 ③求频率特性：

21(0.1)

()(10.1)(10.01)

j G j j j ωωωωωω-+=

=++

实频特性：2

0.1

()10.01P ωω-=

+ 虚频特性：21

()(10.01)

Q ωωω-=

+

当0ω=时，实频曲线有渐近线为。 ④可以得出如下实频特性和虚频特性数值：

⑤绘图：

4-3（3）)

1008()

1(1000)(2+++=

s s s s s G

示范概略绘制奈氏图方法。

①系统参数：1型系统，n=3, m=1 ②起终点

奈氏曲线的起点：查表4-7，1型系统起点为负虚轴无穷远处； 奈氏曲线的终点：n-m=2>0，查表4-7知终点为原点，入射角为-180°；

奈氏曲线的相角变化范围：（-90°，-180°）； ③绘图：