概率论与数理统计习习题解答

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第一章随机事件及其概率

1. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；

（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；

（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，

（6）A、B、C至少有一个发生；

（7）A、B、C不多于一个发生；

（8）A、B、C至少有两个发生.

解所求的事件表示如下

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3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事

件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？

（2）在什么条件下ABC =C 成立？

（3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？ 解

（1（2（3（4立.

4．设解 所以 5. 解 则–6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：

A ＝{两球颜色相同}，

B ＝{两球颜色不同}.

解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为22a b A A +，有利于B 的事件数为1111112a b b a a b A A A A A A +=, 则

22

11

2

22()()a b a b a b

a b

A A A A

P A P B A A +++==

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7. 若10件产品中有件正品，3件次品,

（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的

概率；

（2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概

率.

解 （1）设A={取得三件次品} 则

33人

颗，（2） 取到两颗白子，一颗黑子的概率； （3） 取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率； （4） 取到三颗棋子颜色相同的概率. 解

(1) 设A={取到的都是白子} 则

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3831214

()0.25555

===C P A C .

(2) 设B={取到两颗白子, 一颗黑子}

21

84

312

()0.509==C C P B C .

(3) 设C={取三颗子中至少的一颗黑子} ()1()0.745=-=P C P A .

(4) 设D={取到三颗子颜色相同}

3384

+C C 10. （年按（2解

(1) (2)11. 将成解 因此有12. 从解 要共有45C 13. 解 设A i = {第i 个零件不合格}，i=1,2,3, 则()1i i P A p i

==

+ 所以

()11i i i P A p i

=-=

+ 由于零件制造相互独立，有：

123123()()()()P A A A P A P A P A =，123123()()()()P A A A P A P A P A =

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14.假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概

率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.

解设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，B i ={第i次击中目标}, i=1,2.

则P(A)=0.7, P(B i|A)=0.6 另外B=B1+B2，由全概率公式

，

件

C={产品中次品不超两件}, 由题意

由于A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式

由Bayes公式

故

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16.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和

90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.

解设B={三件都是好的}，A1={损坏2%}, A2={损坏10%}, A1={损坏

P(A2

由

为

17.

和

（1

（2）通过验收的箱中确定无残次品的概率β.

解设H i={箱中实际有的次品数}, 0,1,2

i, A={通过验收}

则P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 那么有：

(1)由全概率公式

(2)由Bayes公式得

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18.一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查表明，在任一时刻，

每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻

（1）恰有两台设备被使用的概率是多少？

（2）至少有三台设备被使用的概率是多少？

解设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此本题可以

第二章 随机变量及其分布

1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数X 的分律. 解 X 的分布率如下表所示：

律？

解 由题意, 1()1k f x ∞

==∑, 即

解得：1

(1)

C e λ

=

-

7. 已知X

的分布律 X －1

1

2

P

16

26

36

求：（1）X 的分布函数；（2）12P X ⎛⎫< ⎪⎝

⎭

；（3）312P X ⎛⎫<≤ ⎪⎝

⎭

.

解 (1) X 的分布函数为()()k k x x

F x P X x p ≤=≤=∑

(1) P(A) =2232233(2)(1)3(1)P C p p p p -=-=-

(2) P(B) =22323333233333(2)(3)(1)(1)32P P C p p C p p p p --+=-+-=- 12. 一电话交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求： 13. （1）每分钟恰有6次呼唤的概率； 14. （2）每分钟的呼唤次数不超过10次的概率.