高三数学 理科 综合内切球和外接球问题 附习题

高考数学中的内切球和外接球问题

一、有关外接球的问题

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。

一、直接法(公式法)

1、求正方体的外接球的有关问题

例1 若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

______________ .

解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27π.

例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，

则该球的体积为____43π__________.

2、求长方体的外接球的有关问题

例3 （2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为 .

解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为

14π.

例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ C ）.

A. 16π

B. 20π

C. 24π

D. 32π 解析：长、宽、高分别为2，2，4

3.求多面体的外接球的有关问题

例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶

点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9

8，底面周长为３，则这个球的体积

为 .

解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h

，则有2

63,1,296,8x x x h h =⎧⎧

=⎪⎪

∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩

43V π

=

球.

小结 本题是运用公式222

R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常

用公式.

二、构造法(补形法)

1、构造正方体

例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，

则其外接球的表面积是_______9π________.

解

把这个三棱锥可以补成一个棱长为的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.

则有

()

2

2

2

2

29

R =

++=.∴

29

4R =

.故表面积249S R ππ==.

小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱

锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有222

2R a b c =++.

出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。

例 6 .一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表

面积为（ A ）

A. 3π

B. 4π

C. 33π

D. 6π

解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3

例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0

DAB=60∠，E

为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（C ）.

A. 4327

B. 62

C. 68

D. 6

24

解析：（如图3）

AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD =，即三棱锥P-DCE 为正四面体，至此，这与例

6就完全相同了

例8 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC ⊥平面，

AB BC ⊥，DA=AB=BC=3，则球O 的体积等于 .

解析：DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD 长即为外接球的直径，A

B E

D

C

D

C

E

P

图3

利用直角三角形解出

9

2、构造长方体

例9.已知点A 、B 、，BC DC ⊥

，若

6,

AB =） 三.寻求轴截面圆半径法

例4 正四棱锥S ABCD -，点S A B C D 、、、、圆的

2

AC .

故

43V π=

球. 五 .确定球心位置法

例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角

B A

C

D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 （ C

）

A.12512π

B.1259π

C.125

6π D.1253π

C

D

A

B

S

O 1

图3

A

O D

B

图4

C

解 点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外

接球的球心，

52R OA ==

.故34125

36V R ππ==球 .

【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，

且

，

，，

,求球的体积。

解：

所以知

所以

取斜边的中点

，即为该四面体的外接球的球心

所以该外接球的体积为

1. （陕西理6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ） A ．4

33

B ．

3

3

C ．

4

3 D ．

12

3

答案 B

2. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若

12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

解:在ABC ∆中2AB AC ==,120BAC ∠=︒,可得3BC =,由正弦定理,可得

ABC ∆

外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '∆中，易得球半径5R =故此球的表面积为2420R ππ=.

3．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱

柱的体积为 ．