拉氏变换定义、计算、公式及常用拉氏变换反变换

****拉普拉斯变换及反变换****

定义：如果定义：

• 是一个关于的函数，使得当时候，

；

•

是一个复变量；

• 是一个运算符号，它代表对其对象进行拉普拉斯积分；是

的拉普拉斯变换结果。

则的拉普拉斯变换由下列式子给出：

1

线性定理

齐次性

)()]([s aF t af L =

叠加性

)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±

2

微分定理

一般形式

=-=][

- -=-=----=-∑1

1)1()1(1

22

2)

()()0()()(0)0(')(])([)0()(])

([k k k k n

k k n n

n

n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时

)(])([s F s dt

t f d L n n

n =

2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表

3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式

1110

111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++=

=---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根

这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=n

i i

i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122

11)( （F-1）

式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i

-=→ （F-2）

或

i

s

s i s A s B c ='=

)()

( （F-3）

式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

[]⎥

⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11

1

)()(＝t

s n i i i

e c -=∑1

(F-4) ②

0)(=s A 有重根

设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为

())

()()()

(11n r r

s s s s s s s B s F ---=

+ =

n

n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11

111

111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；

其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：

)()(lim 11

s F s s c r s s r -=→

)]()([lim

111

s F s s ds

d

c r s s r -=→-

)()(lim !11)()

(1s F s s ds

d j c r j j s s j

r -=→- (F-5)

)()(lim )!1(11)1()

1(11s F s s ds

d r c r r r s s --=--→

原函数)(t f 为 [])()(1

s F L

t f -=

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L 11

111

1111)()()

( t s n

r i i t s r r r r i

e c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+++-+-=112211

1

)!2()!1( （F-6）