运筹学课后习题及答案

0
0 1 0 0 0 1
0
7
1 2 6 1 1 9/2 3/2
7
1 2 2 1/2 3 -
0
0 1
5+2M
0 0
0
1 0
3+M
-1/2 -1/2
-M
3/2 -1/2
2
x2
0
0
1
0
0
0
1/2
1/2
-1/2
1/2
-
5/2
续表
3 CB XB x1 2 x2 0 x3 0 x4 0 x5
-M -M
x6
x7
x11 x12 x13
60%以上 20%以下 0.50 3.40
x 21 x 22 x 23
15%以上 60%以下 0.40 2.85
x 31 x 32 x 33
设 该 厂 每 月 生 产 甲 品 牌 糖 果 ( x x x ) 千 克 ， 其 中 用 原 料 A x 千 克 ， 用 原 料 B x 千 克 ， 用 原 料 C x 千 克 ; 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 生 产 乙 品 牌 糖 果 ( x xx ) 千 克 ， 其 中 用 原 料 A x 千 克 ， 用 原 料 B x 千 克 ， 用 原 料 C x 千 克 ; 2 1 2 2 2 3 2 1 2 2 2 3 生 产 丙 品 牌 糖 果 ( x xx ) 千 克 ， 其 中 用 原 料 A x 千 克 ， 用 原 料 B x 千 克 ， 用 原 料 C x 千 克 。 3 1 3 2 3 3 3 1 3 2 3 3
2 x2 0 0 1 0 0 0 1
0 x3 1 0 0 0 2/3 1/3 1/3
0 x4 -1/2 -1/2 1/2 1/2 -1/3 -2/3 1/3
0 x5
3/2 -1/2 -1/2
b 9/2 3/2 1/2 3 -
0
3 2 0 3 0
x5
x1 x2 x5 x1 x4
5/2 1 0 0
3
3 2
解:变为标准形式并添加人工变量，则原线性规划问 题化为： max z= -x1- 3x2- 4x3- 3x4-Mx7-Mx8 3x1+ 6x2+ x3 + 2x4 –x5 +x7 =15 s.t. 6x1+ 3x2 + 2x3 + x4 –x6 +x8=12 x1, x2, x3 , x4 ,x5, x6, x7 , x8 ≥0
2 2
x1
0 2 此线性规划问题无界解
x1 0 2 此线性规划问题无可行解
2.4（1） 解：首先化标准形式：max z=10x1+5x2 3x1+ 4x2+x3 =9 5x1+2x2 +x4=8 x1, x2, x3, x4≥0 单纯形表为：
10 CB 0 0 XB x3 x4 x1 3 5 10 5 x2 4 2 5 0 x3 1 0 0 0 x4 0 1 0 b 9 8 0
2.1(2) max z=3x1+2x -x1+ 2x2≤4 s.t. 3x1+ 2x2≤14 x1- x2≤3 x1 ≥0, x2≥0 7 -x1+2x2=4 x1- x2=3 2
3x1+2x2=14 0
14/3
x1
由图知,有无穷多最优解, x*=α(4,1)+(1- α)(5/2,13/4)=(5/2+3 α /2,13/4-9 α /4), z*=14 α∈[0,1]
-1 CB XB x1
-3 x2
-4 x3
-3 x4
0 x5
0 x6
-M x7
-M x8 b θ
-M
-M -M -1 -3 -1
x7
x8 x7 x1 x2 x1
3
6
9M-1
6
3
9M-3
1
2
3M-4
2
1
3M-3
-1
0
-M
0
-1
-M
1
0
0
0
1
0
15
12 9 2
5
2 2 4 18
0 1 0 0 1 0
9/2 1/2

3 8/5
0 10
5 10
x3 x1
x2 x1
0 1
0 0 1 0
14/5 2/5
1 1 0 0
1 0
0 5/14 -1/7 -5/14
-3/5 1/5
-2 -3/14 2/7 -25/14
21/5 8/5
16 3/2 1 35/2
3/2 4
∵σj≤0
∴ X*=(1,3/2,0,0)T， z*=35/2
2.1(3) max z=2x1+3x2 x1- x2≤2 s.t. -3x1+ 2x2≤4 x1 ≥0, x2≥0 x2 -3x1+2x2=4
2.1(4) max z=x1+x2
s.t.
x1- x2≥0 3x1- x2≤-3 x1 ≥0, x2≥0 x1- x2=0
x2 3x1-x2=-3
x1- x2=2
2.12 某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、 乙、丙。已知各种牌号糖果中A、B、C三种原料的含量要求、 各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号 糖果的单位加工费及售价如表所示。问该厂每月生产这三种 牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？
甲 A B C 加工费 售 价 乙 丙 原料成本 2.00 1.50 50%以下 0.30 2.25 1.00 限制用量 2000 2500 1200
3 CB XB x1
2 x2
0 x3
0 x4
0 x5
-M
-M
x6
x7
b
0
-M -M 0 3 -M 0 3
x3
x6 x7 x3 x1 x7 x3 x1
1
1 1 3+2M 0 1 0
2
-1 1 2 3 -1 2
1
0 0 0 1 0 0
0
-1 0 -M 1 -1 1
0
0 -1 -M 0 0 -1
0
1 0 0
2.4（2）单纯形表为:
100 CB XB x1 200 x2 0 x3 0 x4 0 x5 b

500 200
450 200 600
0 0 0 0 0 200
0 100 200
x3 x4 x5 x3 x4 x2
x3 x1 x2
1 1 2
100
1 0 6
200
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 1
0
500 200 1200
m ax z y 2 0 x1 1 0 x 4 y 0 30 x 20 x y 0 2 5 25 x3 15 x6 y 0 s .t . x1 x 2 x 3 3 0 x4 x5 x6 20 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 , y 0
-2/5+9/2M
0 1/3
-11/3
3/2 1/6
-17/6+3/2M
-1 0
-M -2/9 1/9 -5/9
1/2 -1/6
-1/6+1/2M
1 0 0 2/9 -1/9
-1/2 1/6
1 0 0
0 1/3
-11/3
1/3 0 -2
1/9 -2/9 1/9
-1/9 2 2/9 1
0
-1
x6
x1
0
2.11 某班有男生30人，女生20人，周日去植树。根据经验，一 天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女 生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。问应怎 样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？
设 一 共 植 了 y 棵 树 ， 男 生 中 有 x 人 挖 坑 , x 人 栽 树 , x 人 浇 水 ； 1 2 3 女 生 中 有 x 人 挖 坑 , x 人 栽 树 , x 人 浇 水 . 4 5 6
第二章 线性规划
2.1(1) max z=2x1+x 4x1+ 3x2≤12 s.t. 2x1+ x2≤8 4x1- x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2
8 4x1+ 3x2=12
4x1- x2=8
4 由图知,有唯一最优解, x*=(9/4,1)T,z*=11/2 2x1+ x2=8 0 4
x1
x2
b
0
3 2 0 3 0
x5
x1 x2 x5 x1 x4
0
1 0 0 0 1 0 0
0
0 1 0 1 2 3 -4
2/3
1/3 1/3 -5/3 1 1 1 -3
-1/3
-2/3 1/3 4/3 0 0 1 0
1
0 0 0 1 0 0 0 5 7 6
3
3 2 13
6
21
∵σj≤0
∴ X*=(7,0,0,6,5,0,0)T， z*=21
0
0 -1 1
3/2 -1/2 -1/2
-1
1 -1
1
0
0 1
0
6
1 1 9/2 3/2 1/2
2
1/2 3 -
1/2 1/2 -1/2
-3/2 1/2 1/2
0
0
0
0
0
1
1
因为基变量中不含人工变量,因此进行第二阶段求解:
3 CB 0 3 2 XB x3 x1 x2 x1 0 1 0 0 0 1 0
0
x2 2 -1 1 0
0
x3 1 0 0 0
0
x4 0 -1 0 1
0
x5 0 0 -1 1
1
1
x6 0 1 0 0
x7 0 0 1 0
b 7 1 2 7 1 2
0
0 1 0 0 0
x3
x1 x7 x3 x1 x2
0
1 0 0 0 1 0
3
-1 2 -2 0 0 1
1
0 0 0 1 0 0
1
-1 1 -1 -1/2 -1/2 1/2
∴ X*=(200，400/3，500/3,0,0)T， z*=140000/3
2.5（1） max
z 3 x1 2 x 2 x1 2 x 2 7 x1 x 2 1 x1 x 2 2 x1 , x 2 0
解:大M法:变为标准形式并添加人工变量，则原线性 规划问题化为： max z= 3x1+ 2x2 –Mx6-Mx7 x1+ 2x2+ x3 =7 x 1- x 2 - x4 +x6 =1 s.t. x + x - x5 +x7 =2 1 2 x1, x2, x3 , x4 ,x5, x6, x7≥0
1 0
9
2 -1
0
1/3
-11/3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3
2/3
-7/3
-2
-1/3 -1/3
1
0 0
2
1/3
-1
0
18
5 -5
∵σj≤0
∴ X*=(5,0,0,0,0,18,0,0)T， z*=5
2.6 线性规划问题max z＝CX，AX＝b，X≥0，如X* 是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨 论下列情况时最优解的变化： 1.目标函数变为max z＝λCX；
6
0
0 1 0
0
1 2 3
-5/3
1 1 1
4/3
0 0 1
0
1 0 0
13
5 7 6
0
-4
-3
0
0
21
∵σj≤0
∴ X*=(7,0,0,5,6)T， z*=21
2.5（4）
min z x1 3x2 4x3 3x4 3x1 6x2 x3 2x4 15 6x1 3x2 2x3 x4 12 x , x , x , x 0 1 2 3 4
2.目标函数变为max z＝（C＋λ）X；
3.目标函数变为max z＝
AX＝λb
C
X, 约束条件变为
2.10. 解:设第j（j=1,2, …,6）时段上班的人数为xj
m in w x1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 s .t . x1 x 6 ≥ 60 x1 x 2 ≥ 70 x2 x3 ≥ 60 x3 x4 ≥ 50 x4 x5 ≥ 20 x5 x6 ≥ 30 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , x 6 0
两阶段法: 第一阶段:
min w = x6+x7 x1+ 2x2+ x3 =7 x 1- x 2 - x4 +x6 =1 s.t. x + x - x5 +x7 =2 1 2 x1, x2, x3 , x4 ,x5, x6, x7≥0
0
CB 0 1 1 XB x3 x6 x7 x1 1 1 1 -2
0
2/3 1 1/3
100/3
0 0 1
0 0 0 1 0
1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 0
0 -2/3 1 -1/3 -100/3
-1/6 0 1/6
-100/3
300 200 200
40000 500/3 200 400/3
140000/3
0 1 0 0
-1/6 0 1/6
-100/3
∵σj≤0