拉普拉斯变换的应用及综合举例

对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有
s 2 X ( s ) s 1 4 [ sX ( s ) 1] 3 X ( s ) 1 , s1
s 2 6s 6 7 1 3 X ( s) . 2 2 ( s 1) ( s 3) 4( s 1) 2( s 1) 4( s 3)
2
X ( s)
1 1 3 3 2 3 , 2 , Y ( s) 2( s 1) s 2s 2( s 1) s
13
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
1 1 3 3 2 3 , X ( s) 2 , Y ( s) 2( s 1) s 2s 2( s 1) s
(2) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , F ( s )
[ f (t ) ] ,
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
m s 2 X ( s) k X ( s) F ( s) ,
记 (3) 由
2 0
k 0 1 , 有 X ( s) 2 F ( s) , 2 m m0 s 0
1
0 [ 2 ] sin 0 t , 并利用卷积定理有 2 s 0
1
x( t )
1 [ X ( s) ] [sin 0 t f ( t )] . m 0
当 f ( t ) 具体给出时，即可以求的运动方程 x(t ) .
19
解 (3) 由
1
0 [ 2 ] sin 0 t , 利用卷积定理有 2 s 0
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x( t )
1
[ X ( s ) ] et
1
1
[
2s ] 2 2 ( s 1)
1
et
[(
1 t ) ] t e s 2 1
[
1 t t e sin t . ] 2 s 1
10
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
(2) 求 Laplace 逆变换，得 x(t ) u(t 1) , y(t ) 0 .
7
二、综合举例
P231 例9.21
解 如图，函数 f (t ) 可写为
f (t )
f (t ) (1 t ) u(t ) (t 1) u(t 1)
u(t ) t u(t ) (t 1) u(t 1) ,
7 t 1 t 3 3t (2) 求 Laplace 逆变换，得 x( t ) e t e e . 4 2 4
9
解 (1) 令 X ( s)
2
[ x(t ) ] , 对方程两边取 Laplace 变换有
2( s 1) s X ( s ) 2 sX ( s ) 2 X s , 2 ( s 1) 1 2 ( s 1) X ( s) . 2 2 [( s 1) 1]
(2) 求 Laplace 逆变换，得
3 t x ( t ) e 2t , 2
1 t 1 2 3 y( t ) e t . 2 2 2
14
P232 例9.24
(跳过?)
解 (1) 由于 f ( t ) sin t 0 f ( x ) sin(t x ) d x , 因此原方程为 f (t ) a t f (t ) sin t . (2) 令 F ( s)
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x ( t ) t t e t , y( t ) 1 e t t e t .
12
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
3 1 1 s X ( s ) 2 s 2 X ( s ) 2 sY ( s ) 2 s 1 , 3 1 2 2 sX ( s ) s Y ( s ) s 2Y ( s ) 3 . 2 2 s
1
( t 1) u( t 1)
1
t
由于
1 [ u( t ) ] , s
1 [ t u( t ) ] 2 , s
(1 t ) u( t )
利用线性性质及延迟性质有
1 1 1 s [ f (t ) ] 2 2 e . s s s
8
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] ,
1 1 , Y ( s) . 求解得 X ( s ) s 1 s 1
5
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
求解得 X ( s )
1 1 , Y ( s) . s 1 s 1
t (2) 求 Laplace 逆变换，得 x( t ) y( t ) e .
[ f (t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得
t
F ( s) a [ t ] F ( s)
F ( s) a a . 2 4 s s
a 1 , [ sin t ] 2 F ( s ) 2 s s 1
at 3 . (3) 求 Laplace 逆变换，得 f ( t ) a t 6
y( t )
1
[ Y ( s ) ] sin t .
3
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] ,
对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得
6 s X ( s ) 3 s X ( s ) 3 sX ( s ) X ( s ) , s1 3! . 求解此方程得 X ( s ) 4 ( s 1)
15
P230 例 9.20
解 设物体的运动方程为 x x(t ) , 根据 Newton 定律有
mx( t ) F0 ( t ) , x(0) x(0) 0 .
令 X ( s)
2
[ x(t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得
ms X ( s ) F0 ,
[ y( t ) ] ,
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
1 2 s2 ssY s)) X sX ( s )( ), , ( 1 Y ( s) s )sX ( s) Y ( s ( 2 s 1 s s( s 1) 整理得 1 1 2 2 2 sY sY )( ( s)2 X ( s) (( ss )) ( s X 1( )s X s2 ) sY . 2 . s s ( s 1)
§9.4 Laplace 变换的应用及综合举例
一、求解常微分方程(组) 二、综合举例 *三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
1
一、求解常微分方程(组)
工具
[ f ( n ) ( t ) ] s n F ( s ) s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 ) .
2 2
1 2s 1 . , Y ( s) 求解得 X ( s ) 2 2 2 s( s 1) s ( s 1)
11
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
1 1 2s 1 , , 2 求解得 X ( s ) 2 2 2 s ( s 1) s ( s 1) 1 1 1 1 Y ( s) . . 2 2 s s 1 ( s 1) s( s 1)
6
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
2 s sX ( s ) s Y ( s ) e , 2 2 X ( s ) s 3Y ( s ) e s . s 1 s 求解得 X ( s ) e , Y ( s ) 0 . s

1 X ( s) 2. m s
F0
F0 t. 求 Laplace 逆变换，得物体的运动方程为 x( t ) m
16
例 设有如图所示的 R 和 L 串联电路，在 t 0 时刻接到直流 电势 E 上，求电流 i ( t ) .
P233 例9.25 K E L
解 由 Kirchhoff 定律知，i (t ) 满足方程
步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； (2) 求解代数方程得到象函数；
(3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。
微分方程(组)
Laplace
得到象函数 求 解
Laplace
正变换
逆变换
象函数的 代数方程(组)
微分方程(组) 的解
2
P218 例9.6
解 (1)Leabharlann Baidu令 Y ( s )
R
R i (t ) L i (t ) E , i (0) 0 .
令 I ( s)
[ i (t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得
E R I ( s ) L sI ( s ) , s
E 1 1 E 求解此方程得 I ( s ) R s s R s( R sL) L
[ y( t ) ] ,
对方程两边取 Laplace 变换，有
s 2Y ( s ) sy(0) y(0) 2Y ( s ) 0 ,
代入初值即得 s 2Y ( s ) 2Y ( s ) 0 ,
Y ( s)

s
2 2
.
(2) 求 Laplace 逆变换，得
A , 可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，振幅为 m0 角频率为 0 , 称 0 为该系统的自然频率或固有频率。
20
*三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
s 1 , sX ( s ) 1 X ( s ) Y ( s ) ( s 1 X ( s) Y ( s) , s 1 s 1 s1 2 3 X ( s ) ( s 2 ) Y ( s ) sY ( s ) 1 3 X ( s ) 2Y ( s ) . . s 1 s 1
3 2
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x( t )
1
[ X ( s ) ] t 3 e t .
4
P229 例9.19
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
整理得
解 (1) 由 Newton 定律及 Hooke 定律有
m x( t ) f ( t ) k x( t ) .
即物体运动的微分方程为
m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 .
18
解 (1) m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 .
求Laplace逆变换，得 i ( t )
E (1 e R
R t L
.
).
17
例 质量为 m 的物体挂在弹簧系数为 k 的弹簧一端(如图)，作用在物体上 的外力为 f ( t )。若物体自静止平衡 位置 x 0 处开始运动， 求该物体 的运动规律 x( t ) .
(跳过?)
1
x( t )
[ X ( s) ]
1 [sin 0 t f ( t )] . m 0
当 f ( t ) 具体给出时，即可以求的运动方程 x(t ) . 例如 设物体在 t 0 时受到冲击力 f ( t ) A ( t ) , A 为常数。
A sin 0 t . 此时 x( t ) m 0