拉普拉斯变换的应用及综合举例
拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换及应用
ε
e-st 0
1 + e-εs
=
Lim
ε0
εs
=1
【例3】 求单位单位脉冲函数δ（t）与单位阶跃函数1（t）的关系
【解】
由以上两例可见：在区间（0，ε）内，
1ε（t） =
1
ε
t
所以
δε（t）
=
1
ε
d1ε（t） dt
=
1
ε
= δε（t）
d1ε（t） Lim
ε 0 dt
=εLim0δε（t）
d1（t） = δε（t）
1
a+s
e-(a+s)t
∞
0
1
= a+s
【例6】
求正弦函数f（t） = sin（ωt ） 的象函数
【解】
∫ F（s）= L 〔 sin（ωt ）〕=
∞
0
sinωte-stdt
∫=
∞
0
1 2j
（ ejωt - e-jωt ）e-stdt
〔 ∫ ∫ 1
= 2j
- ∞
0
e-(s-jω)tdt
∞
0
e-(s+jω)tdt
0
（t ＜ 0）
设函数1ε（t） =
1
ε
t
（0 ≤t ≤ε）
1
（t ＞ε）
则单位阶跃函数1（t）定义为
1ε（t）
=
lim
ε0
1ε（t）
1ε（t） 1
0
t
ε
0 1ε（t） =
1
（t ＜ 0） （t ≥ 0）
∫ - - F（s） = L【f （t）】=
∞ 0
指数函数的拉普拉斯变换
指数函数的拉普拉斯变换【知识文章】指数函数的拉普拉斯变换引言：指数函数是数学中常见的一类函数，其具有独特的性质和广泛的应用。
为了更深入地理解指数函数及其变换，本文将通过介绍和探讨指数函数的拉普拉斯变换来详细解析其特点和应用。
希望通过本文的阐述，读者能够对指数函数及其拉普拉斯变换有一个全面的理解，为后续的学习和应用打下基础。
一、指数函数的定义与性质：1. 指数函数的基本形式：指数函数一般可以表示为 f(x) = e^x，其中e 是自然对数的底数。
2. 指数函数的特点：指数函数具有快速增长和单调递增的特性，其曲线呈现出与 x 轴正向无穷大趋近的趋势。
3. 指数函数的应用：指数函数在自然科学、工程技术、经济学等领域有广泛的应用，如描述物质衰变、电路充电等过程。
二、拉普拉斯变换的基本概念：1. 拉普拉斯变换的定义：拉普拉斯变换是对函数进行积分变换的一种方法，可以将一个函数从时域表示转换为复频域表示。
2. 拉普拉斯变换的表达式：指数函数的拉普拉斯变换为F(s) = ∫[0,+∞]e^(-st)f(t)dt，其中 s 是复变量，F(s) 是拉普拉斯变换后的函数。
3. 拉普拉斯变换的性质：拉普拉斯变换具有线性性、时移性、频移性、微分性和积分性等基本性质，利用这些性质可以简化变换的计算过程。
三、指数函数的拉普拉斯变换及应用：1. 指数函数的拉普拉斯变换：对指数函数 f(x) = e^x 进行拉普拉斯变换，根据变换的定义，可得F(s) = ∫[0, +∞]e^(-st)e^x dx。
2. 解析过程与结果：通过对指数函数的拉普拉斯变换的详细计算和求解，可以得到 F(s) = 1 / (s-1) 的结果。
3. 应用举例：基于指数函数的拉普拉斯变换结果，我们可以在电路充电问题、衰减过程的模拟等实际应用中，利用拉普拉斯变换的特性进行计算和分析。
个人观点与理解：指数函数的拉普拉斯变换在数学和工程领域具有重要意义。
通过将指数函数从时域转换到频域，我们可以更加灵活地处理指数函数相关问题和应用。
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用在电路中，拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在分析电路的动态行为、求解电路的传递函数和时域响应等方面起着至关重要的作用。
拉普拉斯变换可以帮助我们将微分方程转化为代数方程，从而简化了电路分析的复杂性，使得我们能够更加方便地理解电路的工作原理和性能特性。
1. 拉普拉斯变换的基本概念和原理拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的数学工具，它可以将一个时域函数转化为复频域函数，从而方便进行系统的动态分析和响应预测。
在电路分析中，我们经常会遇到包含电压、电流随时间变化的问题，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将这些时域函数转化为复频域函数，更好地理解电路的行为和响应。
2. 拉普拉斯变换在电路分析中的应用通过拉普拉斯变换，我们可以方便地求解电路的传递函数，从而可以预测电路的动态响应和稳态性能。
这对于电路的设计和优化至关重要，因为我们可以通过分析传递函数，预测电路在不同频率下的响应特性，从而更好地进行电路参数选择和性能优化。
3. 拉普拉斯变换在滤波器设计中的应用滤波器是电子系统中常见的一个功能模块，它可以对信号进行滤波和频率选择，通过应用拉普拉斯变换，我们可以方便地分析滤波器的频率响应和频率特性。
这对于滤波器的设计和性能评估非常重要，因为我们可以通过分析频率响应，选择合适的滤波器类型和参数，从而满足系统对信号处理的要求。
4. 拉普拉斯变换在控制系统中的应用控制系统是现代工程技术中一个重要的方向，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将控制系统的微分方程转化为代数方程，从而方便进行控制系统的分析和设计。
拉普拉斯变换在控制系统中的应用，可以帮助我们更好地理解控制系统的稳定性、性能和鲁棒性，从而更好地设计和优化控制系统。
5. 总结与展望通过对拉普拉斯变换在电路分析中的应用进行深入探讨，我们可以看到，在电路设计、滤波器设计和控制系统设计中，拉普拉斯变换都扮演着非常重要的角色。
它为我们提供了一种方便、高效的数学工具，帮助我们更好地理解电路的动态行为和系统的频率特性。
信号与系统教学课件第九章拉普拉斯变换
其他数值计算方法简介
数值逆变换方法
介绍基于数值计算的拉普拉斯逆 变换方法，如直接数值积分法、
离散化方法等。
优缺点分析
比较各种数值计算方法的优缺点， 如计算精度、计算速度、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ用范围 等。
应用场景
根据实际需求，选择适合的数值计 算方法进行拉普拉斯逆变换求解， 并给出具体应用场景和实例。
04 拉普拉斯变换在信号处理 中的应用举例
频移性质
时域函数的频移对 应频域函数的相移 和幅度变化。
积分性质
时域函数的积分对 应频域函数的除法 运算。
拉普拉斯变换与傅里叶变换关系
01
02
03
04
拉普拉斯变换是傅里叶变换的 推广，可以处理不收敛的信号
。
傅里叶变换是拉普拉斯变换在 虚轴上的特例，即s=jω时的拉
普拉斯变换。
拉普拉斯变换提供了更广泛的 信号分析工具，适用于更复杂
信号与系统教学课件第九章拉普拉 斯变换
目录
• 拉普拉斯变换基本概念 • 拉普拉斯变换在信号与系统中的应用 • 拉普拉斯逆变换及计算方法 • 拉普拉斯变换在信号处理中的应用举
例
目录
• 拉普拉斯变换在控制系统稳定性分析 中的应用
• 总结回顾与拓展延伸
01 拉普拉斯变换基本概念
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变 换，用于将时间域函数转换为复
上升时间与峰值时间
上升时间是指系统响应从某一低电平上升到高电平所需的时间，峰值时间是指系统响应达到最大值所需的时 间。上升时间和峰值时间是评价系统快速性的重要指标之一。
超调量与调节时间
超调量是指系统响应在达到稳态值之前出现的最大偏离量，调节时间是指系统响应从瞬态过程进入稳态过程 所需的时间。超调量和调节时间是评价系统准确性和稳定性的重要参数。
拉普拉斯变换的应用
x(t ) et ， y (t ) et
作业
数学物理方法
P131
1，（1），（2），（3）
2
Lpj ( p) Rj ( p) E0
化简得到
p2 2
E0 1 j ( p) L p R / L p2 2
数学物理方法
最后对上式进行反演。由于
1 ( R / L )t 1 ，L [ 2 L [ ]e ] sin t p R/L p
1
设 L[ j (t )] j ( p) ，则由导数定理
dj (t ) L[ ] pj ( p) j (0) pj ( p) dt
于是微分方程变成
E0 Lpj ( p) Rj ( p) p
数学物理方法
解代数方程
E0 E0 1 L j ( p) ( ) p( Lp R) R p Lp R
反演得到：
y(t ) t cos t 3sin t
数学物理方法
例 6.4.7
求解微分方程组
dx(t ) x(t ) y (t ) et dt dy (t ) 3 x(t ) 2 y (t ) 2et dt 初始条件： x(0) 1 ， y (0) 1
解：对方程组进行拉氏变换有
1 px ( p ) 1 x ( p ) y ( p ) p 1 py ( p ) 1 3 x ( p) 2 y ( p) 2 p 1
数学物理方法
解代数方程组得
1 1 ， y ( p) x ( p) p 1 p 1
解：求变换有
L[ y(t )] y ( p)
d2 L[ 2 y (t )] p 2 y ( p) py (0) y '(0) dt
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
第七章拉普拉斯变换
2024/8/1
1[ 2s
1
j
s
1
j
]
s2
s
2
.
11
• 例2．已知F(s) 5s 1 ，求L1[F(s)]. (s 1)(s 2)
解：F (s) 5s 1 2 1 3 1 , L[eat ] 1
(s 1)(s 2) s 1 s 2
sa
L1[F (s)] 2L1[ 1 ] 3L1[ 1 ]
2024/8/1
2
例1．求单位阶跃函数u(t)
0, 1,
f (t) 1的拉氏变换.
1,
t t
0，符号函数 0
sgn
t
0,
1,
t 0 | t | 0， t0
解： (1)L[u(t)]
est dt 1 est
0
s
0
1 s
,
Re(s) 0
即：L[u(t)] 1 , Re(s) 0； s
2024/8/1
3
一般规定：在拉氏变换中f (t)均理解为：f (t) 0，t 0.
即写下f (t) sin t时，理解为f (t) u(t)sin t，象函数F(s) 1，Re(s) 0 s
的象原函数可写为f (t) 1,即：L1[1] 1. s
例2．求指数函数f (t) ekt的拉氏变换（k为实数）.
L[ t f (t)dt] 1 F(s).
0
s
推广： L[
t
dt
t
dt
00
t 0
f
(t)dt]
1 sn
F (s).
２．象函数的积分
设L[ f (t)] F(s)，则 L[ f (t)]
拉普拉斯变换及其应用
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
① A(s)=0无重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.3
拉氏反变换
② A(s)=0有重根
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.4
拉氏变换应用举例
例：求典型一阶系统的单位阶跃响应
第二章 拉普拉斯变换及其应用
4 积分定理
上式表明，在初始条件为零的前提下，原函数的n重积分的拉氏式等于其象函 数除以 。
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
5 位移定理
上式表明， 即可，
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
6 延迟定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
在应用拉氏变换时，常需借用拉氏变换运算定理，叙述如下：
7 相似定理
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.2 拉氏变换的运算定理
拉氏变换是经典控制理论的数学基础。
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
具体实例如下：
第二章 拉普拉斯变换及其应用
2.1 拉氏变换的概念
例：求单位阶跃函数（Unit Step Function）1(t)的象函数。
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，广泛应用于电路分析和信号处理领域。
它是一种将时间域中的函数转换为频域中的函数的方法，可以简化电路分析的计算过程，提高计算效率和精确度。
本文将探讨拉普拉斯变换在电路中的应用。
一、拉普拉斯变换的定义与性质首先，我们来对拉普拉斯变换进行简要介绍。
拉普拉斯变换可以将时域函数 f(t) 转换为频域函数 F(s)，其定义如下：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中，s 是复数变量，表示频域中的频率。
拉普拉斯变换具有线性性质和位移性质等重要性质，使得它成为电路分析中的重要工具。
二、1. 电路响应的计算拉普拉斯变换可以方便地计算电路的时域响应。
通过将电路中的元件和信号源转换为拉普拉斯域中的等效函数，可以建立电路的等效电路方程。
然后，对等效电路方程进行拉普拉斯变换，得到频域中的等效电路方程。
最后，通过求解频域方程，可以得到电路在不同频率下的响应。
2. 电路传递函数的求解电路传递函数是描述输入和输出关系的重要指标。
拉普拉斯变换可以方便地求解电路的传递函数。
通过将电路中的元件抽象为阻抗和导纳的拉普拉斯域表达式，并根据电路的串并联关系，可以得到电路的总阻抗和总导纳。
然后，将输入电压和输出电压的拉普拉斯域表达式相除，可以得到电路的传递函数。
3. 时域响应的计算得到电路的传递函数后，可以通过拉普拉斯逆变换将传递函数转换为时域响应。
通过对传递函数进行部分分式展开或使用拉普拉斯逆变换表格，可以获得电路的时域响应。
这在实际电路设计和故障诊断中非常有用，可以根据输入信号和电路响应来判断电路的性能和健康状况。
4. 稳定性分析拉普拉斯变换还可以用于电路的稳定性分析。
通过计算电路的传递函数，可以得到系统的极点和零点。
根据极点的位置，可以判断电路的稳定性。
拉普拉斯变换的极点在左半平面内时，电路是稳定的；而极点在右半平面内时，电路是不稳定的。
拉普拉斯变换
1的拉氏变换为
£[1] 1 , ( p 0) p
例2 求指数函数f (t) eat , (t 0, a为常数)的拉氏变换.
解 由式(27 1)知 £[eat ] eate ptdt e dt ( pa)t
0
0
同上例,这个积分在p a时收敛于 1 ,即 pa
£[ f (t a)(t a)] eapF( p)
无锡职业技术学院数学教研室
(2)在使用该性质时,不能忽视假设条件a 0和当t 0时,f (t)=0
否则会引起混乱.该性质表明,f (t a)的拉氏变换等于f (t)的拉氏变
换乘以因子eap .
例7 求£[(t a)],(a 0).
(t
)
注:(1)此处定义的函数 (t)是广泛意义下的函数,它不能用逐点
的对应来定义(讲清该函数涉及大纲外的内容[实变函数与泛函分
析]);
(2)上述极限也不是通常定义的极限,在通常意义下,
lim
0
(t
)是
不存在, 只有广泛意义下, 这个极限才有效.
显然,对任何 0,有
无锡职业技术学院数学教研室
第一个积分为零,对于第二个积分,令t a u,则
£[ f (t a)] f (u)e p(au)dt eap f (u)e pudu eap F ( p)
0
0
说明: (1)在这个性质中, f (t a)表示函数f (t)在时间上滞后a个
单位,所以这个性质也常称为延滞性性质.也常表示为
£[eat f (t)] eat f (t)e ptdt
信号与系统第22讲-拉普拉斯变换的性质
内容提要
➢ 拉普拉斯变换的性质 ➢ 应用举例
内容提要
➢ 拉普拉斯变换的性质 ➢ 应用举例
线性
x1 tL X1 s, ROC=R1 x2 tL X2 s, ROC=R2 ax1 t bx2 tLaX1 s bX2 s, ROC包含R1 R2
线性
x(t) eb|t| x(t) ebtu(t) ebtu(t)
x(0 ) lim sX (s) s
终值定理
若因果信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)， 且X(s)除了在s=0处可以有一阶极点外， 其余极点均在s平面的左半平面，则：
lim x(t) lim sX (s)
t
s0
内容提要
➢ 拉普拉斯变换的性质 ➢ 应用举例
应用举例
关于一个拉普拉斯变换为有理分式X(s)的实 信号x(t)给出如下5个条件： 1) X(s)只有两个极点； 2) X(s)在有限s平面内没有零点； 3) X(s)有一个极点在s=-1+j； 4) e2tx(t)不是绝对可积的； 5) X(0)=8。 试确定X(s)并给出它的收敛域。
(s 1)2 (s 2)
根据部分分式展开，可得：
X
(s)
(s
1 1)2
1+ s 1
s
3
2
,
e{s} -1
根据X(s)极点的位置和收敛域的形式可知， 每一项反变换都是右边信号，所以：
x(t) 2tet et 3e2t u(t)
初值定理
若因果信号x(t)的拉普拉斯变换为X(s)， 且在t=0时不包含冲激或高阶奇异函 数，则：
X1(s)
s
1
b
,
e{s}> - b
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用拉普拉斯变换是一种常见的数学工具，广泛应用于电路分析和控制系统的研究中。
通过将电路方程转化为拉普拉斯域中的代数方程，可以更容易地进行电路分析和系统设计。
下面将介绍拉普拉斯变换在电路中的几个常见应用。
1.电路响应分析：通过拉普拉斯变换，可以将电路方程从时域转换为复频域，从而方便地计算电路的频率响应。
比如，对于一个电路系统，我们可以通过拉普拉斯变换将输入信号和系统响应变换到复频域，通过计算响应函数的数学表达式，可以得到输出信号的频率特性，如增益、相位等信息。
2.电路稳态分析：拉普拉斯变换在直流稳态分析中也具有重要的应用。
对于稳态分析，输入信号为常数或者正弦信号。
通过拉普拉斯变换，可以将稳态电路方程变换到复频域，从而更便捷地进行电压和电流的计算。
比如，拉普拉斯变换可以用来求解电阻、电容、电感等被嵌入电路的网络元件的电压和电流。
3.电路传递函数计算：传递函数是描述线性时不变电路性质的重要工具，它描述了输入信号和输出信号之间的关系。
利用拉普拉斯变换，可以通过电路的输入和输出信号的拉普拉斯变换表达式，求解电路的传递函数。
传递函数可以提供电路的频率响应和系统稳定性等重要信息，对于电路设计和控制系统分析非常有用。
4.电路解析解的求解：通过将电路方程转换到拉普拉斯域中，可以很容易地求解电路的解析解。
这对于攻克复杂电路问题非常有帮助，因为在复频域中，许多电路元件的数学模型更简单，从而更容易得到电压和电流的解析表达式。
对于工程实践中的问题，例如滤波器设计和电路振荡等，利用拉普拉斯变换可以更高效地得到解析解。
5.电路平衡点分析：在拉普拉斯域中进行电路分析，可以方便地分析电路的稳定性。
通过计算拉普拉斯变换的极点和零点，可以判断电路的稳定性，并得到系统响应的特征。
这对于系统设计和控制电路很重要。
在实际应用中，拉普拉斯变换在电路分析中被广泛使用。
它能够帮助工程师更好地理解电路的频率特性、系统稳定性和响应，并且提供了设计更高性能电路和系统的有效工具。
拉普拉斯变换讲解
拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．1.1 拉氏变换的基本概念定义 设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即（7-1）称（1-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作，即．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换．解．1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即328.957812028.6⨯⨯=N 53)164.1(⨯164.1lg 53)20lg 28.9lg 5781(lg 3128.6lg lg ++-+=N N )(t f 0≥t dte tf pt ⎰∞+-0)(P P )(P F dte tf P F pt ⎰∞+-=)()()(t f )()]([P F t f L =)(P F )(t f )(t f )(t f )(P F )(P F )()]([1t f P F L =-)]([)(1P F L t f -=)(t f 0≥t 0<t 0)(=t f P P at t f =)(a t ，0≥⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-∞+-+-=-==00][)(][dte pa e p at etd pa dt ateat L pt pt ptpt2020][0p a e p a dt e papt pt =-=+=∞+-∞+-⎰)0(>p 0=t )(t i )(t Q ⎩⎨⎧=≠=.0,1,0,0)(t t t Q，所以，当时，；当时，．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设，当0时，的极限称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为函数．当时，的值为；当时，的值为无穷大，即．和的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何，有，所以．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例1-2 求的拉氏变换．解 根据拉氏变换的定义，有，即．例1-3 求单位阶梯函数的拉氏变换．解，．t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→0≠t 0)(=t i 0=t ∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim)0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<=εεεδεt t t t ，，，00100)(ε→)(t εδ)(lim )(0t t εεδδ→=-δ0≠t )(t δ00=t )(t δ⎩⎨⎧=∞≠=0,0,0)(t t t δ)(t εδ)(t δ0>ε11)(0==⎰⎰∞+∞-dt dt t εεεδ1)(=⎰∞+∞-dt t δ-δ-δ1-δ-δ)(t δdte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p pt pe p e p e p p e 1)]([=t L δ⎩⎨⎧≥<=0,10,0)(t t t u p e p dt e dt et u t u L pt pt pt1]1[1)()]([00=-=⋅==∞+-∞+-∞+-⎰⎰)0(>p例1-4求指数函数（为常数）的拉氏变换． 解 ，即．类似可得；．习题1–1求1-4题中函数的拉氏变换1．．2．．3．4．是常数）．1.2 拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换． 性质1 (线性性质) 若 ，是常数，且，，则． （7-2）证明．例7-5 求下列函数的拉氏变换：（1）； （2）．解（1）．（2）． 性质2（平移性质） 若，则（为常数）． （7-3）证明．位移性质表明：象原函数乘以等于其象函数左右平移个单位．ate tf =)(a dt e dt e e e L t a p ptat at ⎰⎰∞+--∞+-=⋅=0)(0][)(1a p a p >-=)(1][a p a p e L at >-=)0(][sin 22>+=p p t L ωωω)0(][cos 22>+=p p pt L ωωte tf 4)(-=2)(t t f =atte t f =)(ϕωϕω，()sin()(+=t t f 1a 2a )()]([11p F t f L =)()]([22p F t f L =)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a +=dte tf a dt et f a dt et f a t f a t f a t f a L pt ptpt-∞+-∞+-∞+⎰⎰⎰+=+=+)()()]()([)]()([02211221102211)()()]([)]([22112211p F a p F a t f L a t f L a +=+=)1(1)(at e a t f --=t t t f cos sin )(=)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[a p p a p p a e L L a e L a e a L at at at +=+-=-=-=----412221]2sin 21[]cos [sin 222+=+⋅==p p t L t t L )()]([p F t f L =)()]([a p F t f e L at -=a ⎰⎰∞+--∞+--===)(0)()()()]([a p F dt e t f dt et f e t f e L t a p ptat atat e a例1-6 求 ，和． 解 因为，，，由位移性质即得性质3（滞后性质） 若，则． （7-4）证明=，在拉氏变换的定义说明中已指出，当时，．因此，对于函数，当（即）时，，所以上式右端的第一个积分为，对于第二个积分，令，则滞后性质指出：象函数乘以等于其象原函数的图形沿轴向右平移个单位（如图1-3所示）．由于函数是当时才有非零数值．故与相比，在时间上滞后了一个值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在这个函数上再乘，所以滞后性质也表示为．例1-7 求．解 因为，由滞后性质得． 例1-8 求．解 因为，所以．例1-9 求下列函数的拉氏变换：（1） （2）解 （1）由图7-4容易看出，当时，的值是在的基础上加上了（），][at te L ]sin [t e L atω-]cos [t e L at ω-21][p t L =22][sin ωωω+=p t L 22][cos ωω+=p p t L 。
拉普拉斯变换及其应用(补充内容)
2
拉普拉斯变换的基本性质
证：
自动控制原理
Automatic Control Theory
d L [ f (t )] L f (t ) dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
0
f (t )e
st 0
3
拉普拉斯反变换
自动控制原理
Automatic Control Theory
根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况： （1）A(s)=0且无重根 若A(s)=0且无重根，则F(s)可展开成n个简单的部分分式之 和，即 ki kn k1 k2 F s s p1 s p2 s pi s pn 系数可由右式求出：
自动控制原理
Automatic Control Theory
原函数 f (t ) 积分的拉氏变换为:
F (s) f (t )dt t 0 L [ f (t )dt] s s
2
拉普拉斯变换的基本性质
4.位移性质 设
L [ f (t )] F ( s)
自动控制原理
Automatic Control Theory
st 1 est dt ( 1 e )0 s s
[ (1 e
1
)]
1 s
(1 (1 s)) 1
即
L [d (t )] 1
9
常用函数的拉氏变换
(5)正弦函数
自动控制原理
Automatic Control Theory
f (t ) sin k t
f ( n1) (0) 0 时,
df (t ) L [ ] sF ( s ) dt d 2 f (t ) 2 L [ ] s F (s) 2 dt d n f (t ) n L [ ] s F ( s) n dt
拉普拉斯变换的实际应用
拉普拉斯变换的实际应用在工程学上的应用应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s 域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
拉氏变换在微分方程(组)初值问题中的应用1．1 利用拉氏变换解常系数线性微分方程的初值问题例1 求初值问题Y”一2y +2y=e～，y(O)=0，Y (0)=1．例2求解初值问题用拉氏变换求常系数线性微分方程(组)，是把关于Y(t)的微分方程(组)转化成关于象函数l，(s)的代数方程，从而容易确定l，(s)．从象函数l，(s)求其拉氏逆变换即得原函数Y(t)．由于在求解过程中同时利用了初值条件，因此用拉氏变换求得的解是初值问题的解．如果把初值视为任意常数，则用拉氏变换求得的解就是通解．2 利用拉氏变换求积分方程用拉氏变换求解相关问题既方便又简洁．答案补充：应用拉普拉斯变换分析RLC电路,不需要确定积分常数拉普拉斯变换的数值逆在偏微分方程中的应用ut(t,x)-∫0^t(t-s)^-1/2uxx(s,x)ds=f(t,x)的数值解。
该方法选择适当的n可以达到相当高的精度。
用拉氏变换引入网络函数的概念，网络函数是分析电路正弦稳态响应的工具，最后，希望以系统的方式将电路的时域特性与频域特性联系起来，拉氏变换加深对电路功能的理解。
答案补充拉氏反变换：有理真分式、有理假分式、部分分式展开法、具有独立实根的有理真分式的拉氏反变换、具有共轭复根的有理真分式的拉氏反变换、具有实重根的有理真分式的拉氏反变换、具有多重复根的有理真分式的拉氏反变换、假分式的拉氏反变换（整理为一个多项式和有理真分式之和，然后分别求其拉氏反变换）、F（s）的零点极点、初值定理和终值定理、初值定理终值定理的应用。
s域电路分析拉氏变换用于电路分析具有两个特点：第一，拉氏变换将线性常系数微分方程转化为容易处理的线性多项式方程，第二，拉氏变换将电流和电压变量的初始值自动引入到多项式方程中，这样在变换处理过程中，初始条件就成为变换的一部分。
分段函数的拉普拉斯变换应用
分段函数的拉普拉斯变换应用1. 引言在数学中，分段函数是指一个函数在不同的定义域内有不同的表达式。
分段函数在实际问题中经常出现，并且其在工程、物理等领域中有重要的应用。
本文将介绍分段函数的拉普拉斯变换及其在信号处理中的应用。
2. 分段函数的定义分段函数是指函数在定义域内有不同的表达式。
它通常由多个函数拼接而成。
例如，定义在区间 $[0,1]$ 上的分段函数 $f(x)$ 可以表示为：$$f(x) = \begin{cases} 0, & x<0 \\ x, & 0\le x < 1 \\ 1, & x\ge 1\end{cases}$$在 $x=0$ 和 $x=1$ 处，$f(x)$ 分别有一个“跳跃”。
因此，$f(x)$ 是一个分段函数。
3. 分段函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换是一种重要的信号处理方法，它将时间域信号转换为复频域上的函数。
分段函数也可以通过拉普拉斯变换来进行处理。
定义在整个实数轴上的函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换如下：$$F(s) = \mathcal{L}\{ f(t) \} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$$其中，$s$ 是一个复数。
对于分段函数 $f(t)$，我们可以将其表示为多个函数的组合：$$f(t) = \sum_{i=1}^n f_i(t) u_i(t)$$其中，$u_i(t)$ 是单位阶跃函数。
对 $f_i(t)$ 进行拉普拉斯变换，得到其拉普拉斯变换 $F_i(s)$。
则 $f(t)$ 的拉普拉斯变换可以表示为：$$F(s) = \sum_{i=1}^n F_i(s) U_i(s)$$其中，$U_i(s)$ 是 $u_i(t)$ 的拉普拉斯变换。
例如，对于前文中的分段函数 $f(x)$，我们有：$$f(x) = x u_0(x) + (1-x) u_{-1}(x)$$其中，$u_0(x)$ 是 $x\ge 0$ 时为 $1$，否则为 $0$ 的函数；$u_{-1}(x)$ 是 $x<0$ 时为 $1$，否则为 $0$ 的函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(2) 求 Laplace 逆变换，得
3 t x ( t ) e 2t , 2
1 t 1 2 3 y( t ) e t . 2 2 2
14
P232 例9.24
(跳过?)
解 (1) 由于 f ( t ) sin t 0 f ( x ) sin(t x ) d x , 因此原方程为 f (t ) a t f (t ) sin t . (2) 令 F ( s)
求Laplace逆变换，得 i ( t )
E (1 e R
R t L
.
).
17
例 质量为 m 的物体挂在弹簧系数为 k 的弹簧一端(如图)，作用在物体上 的外力为 f ( t )。若物体自静止平衡 位置 x 0 处开始运动， 求该物体 的运动规律 x( t ) .
(跳过?)
1 1 , Y ( s) . 求解得 X ( s ) s 1 s 1
5
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
求解得 X ( s )
1 1 , Y ( s) . s 1 s 1
t (2) 求 Laplace 逆变换，得 x( t ) y( t ) e .
[ y( t ) ] ,
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
1 2 s2 ssY s)) X sX ( s )( ), , ( 1 Y ( s) s )sX ( s) Y ( s ( 2 s 1 s s( s 1) 整理得 1 1 2 2 2 sY sY )( ( s)2 X ( s) (( ss )) ( s X 1( )s X s2 ) sY . 2 . s s ( s 1)
1
( t 1) u( t 1)
1
t
由于
1 [ u( t ) ] , s
1 [ t u( t ) ] 2 , s
(1 t ) u( t )
利用线性性质及延迟性质有
1 1 1 s [ f (t ) ] 2 2 e . s s s
8
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] ,
步骤 (1) 将微分方程(组)化为象函数的代数方程(组)； (2) 求解代数方程得到象函数；
(3) 求 Laplace 逆变换得到微分方程(组)的解。
微分方程(组)
Laplace
得到象函数 求 解
Laplace
正变换
逆变换
象函数的 代数方程(组)
微分方程(组) 的解
2
P218 例9.6
解 (1) 令 Y ( s )
2
X ( s)
1 1 3 3 2 3 , 2 , Y ( s) 2( s 1) s 2s 2( s 1) s
13
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
1 1 3 3 2 3 , X ( s) 2 , Y ( s) 2( s 1) s 2s 2( s 1) s
(2) 求 Laplace 逆变换，得 x(t ) u(t 1) , y(t ) 0 .
7
二、综合举例
P231 例9.21
解 如图，函数 f (t ) 可写为
f (t )
f (t ) (1 t ) u(t ) (t 1) u(t 1)
u(t ) t u(t ) (t 1) u(t 1) ,
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x( t )
1
[ X ( s ) ] et
1
1
[
2s ] 2 2 ( s 1)
1
et
[(
1 t ) ] t e s 2 1
[
1 t t e sin t . ] 2 s 1
10
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ f (t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得
t
F ( s) a [ t ] F ( s)
F ( s) a a . 2 4 s s
a 1 , [ sin t ] 2 F ( s ) 2 s s 1
at 3 . (3) 求 Laplace 逆变换，得 f ( t ) a t 6
R
R i (t ) L i (t ) E , i (0) 0 .
令 I ( s)
[ i (t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得
E R I ( s ) L sI ( s ) , s
E 1 1 E 求解此方程得 I ( s ) R s s R s( R sL) L
2 2
1 2s 1 . , Y ( s) 求解得 X ( s ) 2 2 2 s( s 1) s ( s 1)
11
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
1 1 2s 1 , , 2 求解得 X ( s ) 2 2 2 s ( s 1) s ( s 1) 1 1 1 1 Y ( s) . . 2 2 s s 1 ( s 1) s( s 1)
1
x( t )
[ X ( s) ]
1 [sin 0 t f ( t )] . m 0
当 f ( t ) 具体给出时，即可以求的运动方程 x(t ) . 例如 设物体在 t 0 时受到冲击力 f ( t ) A ( t ) , A 为常数。
A sin 0 t . 此时 x( t ) m 0
6
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
2 s sX ( s ) s Y ( s ) e , 2 2 X ( s ) s 3Y ( s ) e s . s 1 s 求解得 X ( s ) e , Y ( s ) 0 . s
3 2
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x( t )
1
[ X ( s ) ] t 3 e t .
4
P229 例9.19
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
整理得
A , 可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，振幅为 m0 角频率为 0 , 称 0 为该系统的自然频率或固有频率。
20
*三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
s 1 , sX ( s ) 1 X ( s ) Y ( s ) ( s 1 X ( s) Y ( s) , s 1 s 1 s1 2 3 X ( s ) ( s 2 ) Y ( s ) sY ( s ) 1 3 X ( s ) 2Y ( s ) . . s 1 s 1
7 t 1 t 3 3t (2) 求 Laplace 逆变换，得 x( t ) e t e e . 4 2 4
9
解 (1) 令 X ( s)
2
[ x(t ) ] , 对方程两边取 Laplace 变换有
2( s 1) s X ( s ) 2 sX ( s ) 2 X s , 2 ( s 1) 1 2 ( s 1) X ( s) . 2 2 [( s 1) 1]
15
P230 例 9.20
解 设物体的运动方程为 x x(t ) , 根据 Newton 定律有
mx( t ) F0 ( t ) , x(0) x(0) 0 .
令 X ( s)
2
[ x(t ) ] , 在方程两边取 Laplace 变换得
ms X ( s ) F0 ,
1
0 [ 2 ] sin 0 t , 并利用卷积定理有 2 s 0
1
x(sin 0 t f ( t )] . m 0
当 f ( t ) 具体给出时，即可以求的运动方程 x(t ) .
19
解 (3) 由
1
0 [ 2 ] sin 0 t , 利用卷积定理有 2 s 0
对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有
s 2 X ( s ) s 1 4 [ sX ( s ) 1] 3 X ( s ) 1 , s1
s 2 6s 6 7 1 3 X ( s) . 2 2 ( s 1) ( s 3) 4( s 1) 2( s 1) 4( s 3)
解 (1) 由 Newton 定律及 Hooke 定律有
m x( t ) f ( t ) k x( t ) .
即物体运动的微分方程为
m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 .
18
解 (1) m x( t ) k x( t ) f ( t ) , x(0) x(0) 0 .
(2) 求 Laplace 逆变换，得
x ( t ) t t e t , y( t ) 1 e t t e t .
12
解 (1) 令 X ( s)
[ x( t ) ] , Y ( s )
[ y( t ) ] ,
对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得
3 1 1 s X ( s ) 2 s 2 X ( s ) 2 sY ( s ) 2 s 1 , 3 1 2 2 sX ( s ) s Y ( s ) s 2Y ( s ) 3 . 2 2 s