高考数学复习考点44 抛物线(讲解)(解析版)

考点44 抛物线(讲解)【思维导图】

【常见考法】

考点一 抛物线的定义及运用

1．已知抛物线2y x =上的点M 到其焦点的距离为2，则M 的横坐标是 。 【答案】

74

【解析】抛物线2y x =焦点1(,0)4

F ，准线方程为1

4x =-，

设点M 的横坐标为0x ，根据抛物线的定义，0017

||2,44

MF x x =+

=∴=. 2．已知抛物线2:12C x y =上一点P ，直线:3l y =-，过点P 作PA l ⊥，垂足为A ，圆22

:(4)1

M x y -+=上有一动点N ，则||||PA PN +最小值为 。 【答案】4

【解析】设抛物线C 的焦点为F ，则(0,3)F ，因为直线:3l y =-为抛物线的准线，所以||||PA PF =，所

以||||PA PN +||||PF PN =+||FN ≥||1FM ≥-14==，当且仅当N 为线段FM 与圆M 的交点时，等号成立.

3．已知第四象限内抛物线216y x =上的一点M 到y 轴的距离是该点到抛物线焦点距离的1

5

，则点M 的坐标为 。 【答案】()1,4-

【解析】设(,)M x y ，则根据题意及抛物线的定义可得:1

(4)5

x x =

+，解得1x =， 代入抛物线方程得：4y =±，又点M 在第四象限，所以4y =-，故(1,4)M -.

4．若点A 为抛物线24y x =上一点，F 是抛物线的焦点，|6|AF =，点P 为直线1x =-上的动点，则

||||PA PF +的最小值为 。

【答案】【解析】由抛物线的定义得： |162

=+

=+=A A p

|AF x x ，5A x =，

代入2

4y x =得：220=A y ，不妨设(5,A ，

点F 关于直线1x =-的对称点为()3,0E -，

||||||||+=+≥=

=PA PF PA PE AE 考点二 抛物线的标准方程

1．抛物线()2

20y px p =>的焦点是双曲线22x y p -=的一个焦点，则p = 。

【答案】8

【解析】抛物线()2

20y px p =>的焦点为,02p ⎛⎫

⎪⎝⎭

,

双曲线2

2

x y p -=,为22

1x y p p

-=,则22c p =,c =焦点为：)或()

,所以有

2

p

=,解得0p =或8p =,又因为0p >,所以8p =. 2．已知A ，B 是过抛物线22y px =（0p >）焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足

2AF FB =，||3

OAB S AB ∆=

，则抛物线的标准方程为 。 【答案】2

4y x =

【解析】设1122(,),(,)A x y B x y , 2AF FB =，

则122y y =-，又由抛物线焦点弦性质， 2

12y y p =-，

所以22

22y p -=-，得21,y p y =

=， 11322AF BF BF p

+== ， 得339

,,424

BF p AF p AB p =

==．

21219(|))224

OAB p S y y p p ∆=

⋅⋅+== ， 得2p = ，抛物线的标准方程为2

4y x =

考点三 直线与抛物线的位置关系

1．已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点()2,1P -，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线24y x = （1）只有一个公共点；

（2）有两个公共点； （3）没有公共点? 【答案】（1）0k =或12k =

或1k =-，（2）112k -<<且0k ≠，（3）1

2

k >或1k <- 【解析】设直线l 的方程为：1(2)y k x -=+，即(2)1y k x =++. 联立22222

(2)1

(424)44104y k x k x k k x k k y x

=++⎧⇒++-+++=⎨

=⎩ （1）因为直线与抛物线只有一个公共点，

等价于方程2222(424)4410k x k k x k k ++-+++=只有一个根. 当0k =时，410x -+=，符合题意.

当0k ≠时，2

2

2

2

(424)4(441)0k k k k k ∆=+--++=， 整理得：2210k k +-=，解得1

2

k =或1k =-. 综上可得：0k =或1

2

k =

或1k =-. （2）因为直线与抛物线有两个公共点，

等价于方程2222(424)4410k x k k x k k ++-+++=只有两个根.

所以0k ≠，2222

(424)4(441)0k k k k k ∆=+--++>，

即2210k k +-<，解得1

12

k -<<

且0k ≠. （3）因为直线与抛物线没有公共点，

等价于方程2222(424)4410k x k k x k k ++-+++=无根. 所以0k ≠，2

2

2

2

(424)4(441)0k k k k k ∆=+--++<， 即2210k k +->，解得1

2

k >

或1k <-. 2．设双曲线x 2

a −y 2

b =1(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y =1

2x 2+2相切，则该双曲线的离心率为 。 【答案】√5

【解析】双曲线渐近线为y =±b

a x ，不妨取y =b

a x ，联立渐近线与抛物线方程得 x 2−

2b a

x +4=0∵ 渐近线与抛物线相切∴(−

2b a

)2

−4×1×4=0∴

4b 2a 2

=16∴b 2=4a 2