地球物理反演
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2、异常数据d=Δg：一系列有限的有误差的 离散的观测值
3、m和d关系： d=f(m)
g f 4 3 h R 3 3 ( x 2 h2 ) 2
非线性问题——纽带
1、模型m球体：物性参数——密度差σ 几何参数——半径R和中心埋深h
地球物理反演分类
2、异常数据d=Δg：一系列有限的有误差的 离散的观测值
• 欧几里得空间： 1. (a,b)=(b,a) 2. (ka,b)=k(a,b) 3. (a+b,c)=(a,c)+(b,c) 4. (a,a) ≥0,而(a,a)=0当且仅当a=0 a,b,c – 向量；k—实数。 • 长度：
a (a, a) ai2
i 1
n
地球物理反演——模型构制
3、m和d关系： d=f(m) 两种关系： 线性关系 非线性关系
1、模型m：两种模型 离散模型 连续模型
2× 2 = 4 线性离散反演 非线性离散反演 线性连续反演 非线性连续反演
地球物理正反演与基础数学概念的对比
地球物理d=f(m) 和d=Gm
正问题：由m求d，类似于计算函数。 反问题：由d求m，类似于解方程，所以地球物理 反问题是解方程的继续。 基础数学y=f(x)和y=ax
数据拟合
T
最小方差解
1 T
最小范数解
模型最短
m (G G) G d
N阶
m GT (GGT )1 d
M阶
（1）非奇异？ （2）奇异？ （3）病态？
线性反演
（1）M=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，纯欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
1 2
已知 G 1 1
d 10998
2
未知
5499 m 5499
2 1 2 2
1
E m m min
思考：若u0=0.5，如何求解？
讨论
1 2
m G (GG ) d
T
当 r (GG T ) M , 解存在; 当r (GG T ) M , 解不存在;因逆矩阵不存在. (a 这等同于M 个方程中线性无关的方程个数小于M ) (b 这种情况下, 称数据方程是奇异的, GG T 是奇异阵) (c GG T RRT 有些特征值为零) 3 当 r (GG T ) M , 解存在, 但 GG T 有一些特征值很小, GG T的条件数 C GG
2.2 纯欠定问题的解法
纯欠定问题：N>M=r 数学角度： 由于数据不足, 存在无穷 多个解，且误差均为零！
例子
d M 1 GM N mN 1
（r为G的秩）
(0,2) (1,1) (2,0)
m1 m2 d1 2
先验信息：“择缺补充”原则
先验信息 (priori information) 1. 未知量的物理性质及可能的数值范围
T T
1
m1 d1 1 m2 d 2 2 m m d 2 2 3 1
1 0 G 0 1 1 1
1 d 2 2
2 / 3 m 5 / 3
E 1/ 3
地球物理：最小二乘模型
d M 1 GM N mN 1
超定问题：M>N=r
（r为G的秩）
数学角度：由于存在矛盾方程，因此无解！
例子
m1 d1 1 m2 d 2 2 m m d 2 2 3 1
地球物理：最小二乘模型
误差向量
e d Gm
•误差向量方差表征其离散程度
地球物理反演——模型构制
非线性反演
d=f(m)
（1）梯度法：传统的最速下降法 （2）尝试法：从初始模型 出发，通过 mo 正演做反演，可以人机交互联作 （3）人工神经网络（ANN）法 （4）蒙特卡洛法 （5）模拟退火法 （6）遗传算法 （7）多尺度反演法
地球物理反演——多解性问题
多解性问题：地球物理勘探反演解释中共 同存在的问题 原因至少有二， 1 、观测的异常数据通常是有限的和离散的； 2 、地球物理问题本身固有的。 以磁异常的反演为例，决定磁异常特征的 两个主要因素是场源的几何因子（形态、位置） 和物性因子（磁化强度的大小、方向）。当这 些因素不同的组合时可以获得相同的磁异常分 布特征。以下为三个反演多解性的典型例子。
m GT (GGT )1 d
m G (GG ) d
T
T 1
例子
m1 m2 d1 2
已知 G 1 1
d 2
未知
1 m 1
[1]
E2
m G (GG ) d
T
T 1
实例
一个数据的地球平均密度问题.假设分界面u0=0.7937
1 1833 (u ) u du 1 2 0 6 10998 1 2
地球物理反演——多解性问题
反演多解性之1——球体 磁矩相同，中心埋深相同的大球与小球产生相 同的磁异常
地球物理反演——多解性问题
反演多解性之1——球体 磁矩相同，中心埋深相同的大球与小球产生相 同的磁异常，为什么？ 球体的磁场特征分析
（当垂直磁化时，is=I=90°,则有）:
m0 ms 2 2 Za = 2 R x ) 5 ( 4p ( x 2 + R 2 ) 2 m0 ms H ax = 3Rx 5 4p ( x 2 + R 2 ) 2
决定异常形态的是sinγ和 cosγ,若固定γ不变,则异常形 态相似。
g = a - is
反演多解性之3——水平板体 不同深度的磁化率层可以产生形态相似的磁异常
0m
反演多解性之3——水平板体 不同深度的磁化率层可以产生形态相似的磁异常
50m
反演多解性之3——水平板体 不同深度的磁化率层可以产生形态相似的磁异常
T
T 1
1
GG T
max 很大. min
(a条件数大, 称为坏条件问题) (b条件数大, 解d Gm称为病态问题) (c数据中的误差会被放大)
讨论：
超定问题
T
d M 1 GM N mN 1
欠定问题
T T
E (d Gm) (d Gm) 极小值 E m m (d Gm)
D T = Za
ms = M s ?V
地球物理反演——多解性问题
反演多解性之2——板体 γ角相同，板状体产状不同，可以产生形态相 似的磁异常
地球物理反演——多解性问题
反演多解性之2——板体 γ角相同，板状体产状不同，可以产生形态相 似的磁异常，为什么？ 倾斜磁化板状体磁场
sm rB Za = (cos gD j + sin g ln ) 2p rA
三维反 演成像
地下储 层剩余 油分布m
地球物理正反演研究对象 1、模型m：物性参数和几何参数 2、异常数据d：一系列有限的有误差的离散的 观测值 3、 m和d数学物理关系：非线性问题d=f(m)， 线性问题d=Gm（课程 重点） 数据是模型的函数（泛函）， 它是连接模型和数据的“纽带”
地球物理正反演研究对象
连续模型的离散化
地球物理反演——模型构制
线性反演
d M GM N mN
（1）M=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
150m
反演多解性之3——水平板体 不同深度的磁化率层可以产生形态相似的磁异常
200m
第二章 参数化 模型的最小长 度解
两个概念：
•参数化模型：用有限个参数表征的模型（离散、连续模型） • 几何参数、物性参数 •最小长度：欧几里得空间的长度，是L2范数意义下的长度 （其它范数 L1， L ）
T j 1 n
其它类型：m′ m〞 m-<m>
欠定问题d=Gm（r=M<N） 条件极值问题：在d=Gm约束下，求
E m m mi min
T 2 i 1
N
无条件极值问题：
E m m (d Gm) min
T
T
—拉格朗日算子(Lagrange乘子、乘数矢量) 最小范数解 or 最小模型解
地球物理问题d=Gm （解方程：已知d，求m）
函数求极小值问题
2.2 纯欠定问题的解法
线性反演
（1）M=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，纯欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
线性反演
d M GM N mN
（1）M=N=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
2.1 线性反演问题的最小方差解
第一章 线性反演 理论概述
地球物理反演五大问题
存在性 — 留给数学家研究 模型构制 — 重点 非唯一性(多解性) — 重点 结果的评价 稳定性
数学物理关系:线性和非线性 数学物理关系：d=f(m)，线性问题d=Gm 产生何种“关系”至少取决于 （1）方法 重磁勘探：泊松方程或拉普拉斯方程 直流电法：拉普拉斯方程 交流电法：麦克斯韦方程 地震勘探：波动方程 地 热：热传导方程 （2）模型建立 规则体、地下剖分、界面、…
地球物理反演
绪
论
地球物理？
物理 》》》 地球问题 地球科学 应用物理学
地球物理定义和分类
重力勘探 磁力勘探 电法勘探 地震勘探 放射性测量 地热测量
地球物理
地面 航空 海洋 地下 卫星
地球物理依赖于……
数学和物理 电子技术 计算机技术
地球物理研究方法
观测：以现代电子技术为基础的观测与 信息的取得 处理：以现代数字处理技术和计算技术 为基础的数据处理 异常 异常 地球物理解释：以数学和物理为基础的 反演解释处理（基础是正演） 异常 模型 地质解释：以地质理论为指导的综合 分析与地质解释
E eT e (d Gm)T (d Gm)
目标函数
d d m G d d Gm m G Gm
T T T T T T
求极值
E T T G d G Gm 0 T m
m (G G) G d
T T
1
正态方程
地球物理：最小二乘模型
m (G G) G d
响应函数的正演问题 d=f(m)
（1）解析方法
球体在剖面上的重力异常
g f m h (x h )
2 2 3 2
（2）数值方法 （3）物理模拟方法
水槽实验等
有限差分、有限单元法、积分方程法等等
非线性问题的线性化
（1）参数置换法
地震震源计算 用统计法求取弹性介质的吸收系数
（2）泰勒级数展开法
函数：y=f(x)，线性函数y=ax（计算函数是乘法） 方程：b=f(x)，线性方程b=ax（解方程是除法）
反演相关概念
反演域：空间域和频率域 模 型：规则体、界面和场源剖分 模型和数据的关系：线性反演和 非线性反演 反演方式：通过正演做反演和 直接反演 迭代方式：人机交互式反演和 软件自动迭代反演
m (G G) G d
T T
1
d M 1 GM N mN 1
(G d ) N 1 (G G) N N mN 1
T T
讨论 GT G (1) GT G 非奇异： 正交分解
r<N 零特征值
(2) GT G 奇异：
(3) GT G 病态：小特征值， G条件数较大
参数化模型的最小长度解基本思想
PREM
先验信息 (priori information) 2. 其他已知的地质、地球物理和钻井资料 3. 模型参数加权 （第4节详述） 4. “最简单”地球物理模型 “最简单”是指在保留实际地球物理 模型基本特征不变的情况下，对地球物 理模型的一种简化。
E m m m2 j min
地球物理反演
地球物理反演理论：研究把地球物理 学中的观测数据映射到相应的地球物理 模型的理论和方法 本课程特点：只研究各种地球物理观 测数据反演方法的共同理论、共同问题、 共同的解决措施。
正反演图示—磁法为例
地面磁 异常d 正演 地下磁性 矿体m
反演
正反演图示—电法为例
地面视 电阻率 异常d
三维正 演模拟
3、m和d关系： d=f(m)
g f 4 3 h R 3 3 ( x 2 h2 ) 2
非线性问题——纽带
1、模型m球体：物性参数——密度差σ 几何参数——半径R和中心埋深h
地球物理反演分类
2、异常数据d=Δg：一系列有限的有误差的 离散的观测值
• 欧几里得空间： 1. (a,b)=(b,a) 2. (ka,b)=k(a,b) 3. (a+b,c)=(a,c)+(b,c) 4. (a,a) ≥0,而(a,a)=0当且仅当a=0 a,b,c – 向量；k—实数。 • 长度：
a (a, a) ai2
i 1
n
地球物理反演——模型构制
3、m和d关系： d=f(m) 两种关系： 线性关系 非线性关系
1、模型m：两种模型 离散模型 连续模型
2× 2 = 4 线性离散反演 非线性离散反演 线性连续反演 非线性连续反演
地球物理正反演与基础数学概念的对比
地球物理d=f(m) 和d=Gm
正问题：由m求d，类似于计算函数。 反问题：由d求m，类似于解方程，所以地球物理 反问题是解方程的继续。 基础数学y=f(x)和y=ax
数据拟合
T
最小方差解
1 T
最小范数解
模型最短
m (G G) G d
N阶
m GT (GGT )1 d
M阶
（1）非奇异？ （2）奇异？ （3）病态？
线性反演
（1）M=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，纯欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
1 2
已知 G 1 1
d 10998
2
未知
5499 m 5499
2 1 2 2
1
E m m min
思考：若u0=0.5，如何求解？
讨论
1 2
m G (GG ) d
T
当 r (GG T ) M , 解存在; 当r (GG T ) M , 解不存在;因逆矩阵不存在. (a 这等同于M 个方程中线性无关的方程个数小于M ) (b 这种情况下, 称数据方程是奇异的, GG T 是奇异阵) (c GG T RRT 有些特征值为零) 3 当 r (GG T ) M , 解存在, 但 GG T 有一些特征值很小, GG T的条件数 C GG
2.2 纯欠定问题的解法
纯欠定问题：N>M=r 数学角度： 由于数据不足, 存在无穷 多个解，且误差均为零！
例子
d M 1 GM N mN 1
（r为G的秩）
(0,2) (1,1) (2,0)
m1 m2 d1 2
先验信息：“择缺补充”原则
先验信息 (priori information) 1. 未知量的物理性质及可能的数值范围
T T
1
m1 d1 1 m2 d 2 2 m m d 2 2 3 1
1 0 G 0 1 1 1
1 d 2 2
2 / 3 m 5 / 3
E 1/ 3
地球物理：最小二乘模型
d M 1 GM N mN 1
超定问题：M>N=r
（r为G的秩）
数学角度：由于存在矛盾方程，因此无解！
例子
m1 d1 1 m2 d 2 2 m m d 2 2 3 1
地球物理：最小二乘模型
误差向量
e d Gm
•误差向量方差表征其离散程度
地球物理反演——模型构制
非线性反演
d=f(m)
（1）梯度法：传统的最速下降法 （2）尝试法：从初始模型 出发，通过 mo 正演做反演，可以人机交互联作 （3）人工神经网络（ANN）法 （4）蒙特卡洛法 （5）模拟退火法 （6）遗传算法 （7）多尺度反演法
地球物理反演——多解性问题
多解性问题：地球物理勘探反演解释中共 同存在的问题 原因至少有二， 1 、观测的异常数据通常是有限的和离散的； 2 、地球物理问题本身固有的。 以磁异常的反演为例，决定磁异常特征的 两个主要因素是场源的几何因子（形态、位置） 和物性因子（磁化强度的大小、方向）。当这 些因素不同的组合时可以获得相同的磁异常分 布特征。以下为三个反演多解性的典型例子。
m GT (GGT )1 d
m G (GG ) d
T
T 1
例子
m1 m2 d1 2
已知 G 1 1
d 2
未知
1 m 1
[1]
E2
m G (GG ) d
T
T 1
实例
一个数据的地球平均密度问题.假设分界面u0=0.7937
1 1833 (u ) u du 1 2 0 6 10998 1 2
地球物理反演——多解性问题
反演多解性之1——球体 磁矩相同，中心埋深相同的大球与小球产生相 同的磁异常
地球物理反演——多解性问题
反演多解性之1——球体 磁矩相同，中心埋深相同的大球与小球产生相 同的磁异常，为什么？ 球体的磁场特征分析
（当垂直磁化时，is=I=90°,则有）:
m0 ms 2 2 Za = 2 R x ) 5 ( 4p ( x 2 + R 2 ) 2 m0 ms H ax = 3Rx 5 4p ( x 2 + R 2 ) 2
决定异常形态的是sinγ和 cosγ,若固定γ不变,则异常形 态相似。
g = a - is
反演多解性之3——水平板体 不同深度的磁化率层可以产生形态相似的磁异常
0m
反演多解性之3——水平板体 不同深度的磁化率层可以产生形态相似的磁异常
50m
反演多解性之3——水平板体 不同深度的磁化率层可以产生形态相似的磁异常
T
T 1
1
GG T
max 很大. min
(a条件数大, 称为坏条件问题) (b条件数大, 解d Gm称为病态问题) (c数据中的误差会被放大)
讨论：
超定问题
T
d M 1 GM N mN 1
欠定问题
T T
E (d Gm) (d Gm) 极小值 E m m (d Gm)
D T = Za
ms = M s ?V
地球物理反演——多解性问题
反演多解性之2——板体 γ角相同，板状体产状不同，可以产生形态相 似的磁异常
地球物理反演——多解性问题
反演多解性之2——板体 γ角相同，板状体产状不同，可以产生形态相 似的磁异常，为什么？ 倾斜磁化板状体磁场
sm rB Za = (cos gD j + sin g ln ) 2p rA
三维反 演成像
地下储 层剩余 油分布m
地球物理正反演研究对象 1、模型m：物性参数和几何参数 2、异常数据d：一系列有限的有误差的离散的 观测值 3、 m和d数学物理关系：非线性问题d=f(m)， 线性问题d=Gm（课程 重点） 数据是模型的函数（泛函）， 它是连接模型和数据的“纽带”
地球物理正反演研究对象
连续模型的离散化
地球物理反演——模型构制
线性反演
d M GM N mN
（1）M=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
150m
反演多解性之3——水平板体 不同深度的磁化率层可以产生形态相似的磁异常
200m
第二章 参数化 模型的最小长 度解
两个概念：
•参数化模型：用有限个参数表征的模型（离散、连续模型） • 几何参数、物性参数 •最小长度：欧几里得空间的长度，是L2范数意义下的长度 （其它范数 L1， L ）
T j 1 n
其它类型：m′ m〞 m-<m>
欠定问题d=Gm（r=M<N） 条件极值问题：在d=Gm约束下，求
E m m mi min
T 2 i 1
N
无条件极值问题：
E m m (d Gm) min
T
T
—拉格朗日算子(Lagrange乘子、乘数矢量) 最小范数解 or 最小模型解
地球物理问题d=Gm （解方程：已知d，求m）
函数求极小值问题
2.2 纯欠定问题的解法
线性反演
（1）M=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，纯欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
线性反演
d M GM N mN
（1）M=N=r时，——克莱姆法则 （2）M>N=r时，超定问题—— 最小二乘法模型 （3）N>M=r时，欠定问题—— 解的欧几里德长度为最小模型 （4）Min(M,N)>r时，混定问题—— 阻尼最小二乘法模型（马奎特方法） (r为矩阵G的秩)
2.1 线性反演问题的最小方差解
第一章 线性反演 理论概述
地球物理反演五大问题
存在性 — 留给数学家研究 模型构制 — 重点 非唯一性(多解性) — 重点 结果的评价 稳定性
数学物理关系:线性和非线性 数学物理关系：d=f(m)，线性问题d=Gm 产生何种“关系”至少取决于 （1）方法 重磁勘探：泊松方程或拉普拉斯方程 直流电法：拉普拉斯方程 交流电法：麦克斯韦方程 地震勘探：波动方程 地 热：热传导方程 （2）模型建立 规则体、地下剖分、界面、…
地球物理反演
绪
论
地球物理？
物理 》》》 地球问题 地球科学 应用物理学
地球物理定义和分类
重力勘探 磁力勘探 电法勘探 地震勘探 放射性测量 地热测量
地球物理
地面 航空 海洋 地下 卫星
地球物理依赖于……
数学和物理 电子技术 计算机技术
地球物理研究方法
观测：以现代电子技术为基础的观测与 信息的取得 处理：以现代数字处理技术和计算技术 为基础的数据处理 异常 异常 地球物理解释：以数学和物理为基础的 反演解释处理（基础是正演） 异常 模型 地质解释：以地质理论为指导的综合 分析与地质解释
E eT e (d Gm)T (d Gm)
目标函数
d d m G d d Gm m G Gm
T T T T T T
求极值
E T T G d G Gm 0 T m
m (G G) G d
T T
1
正态方程
地球物理：最小二乘模型
m (G G) G d
响应函数的正演问题 d=f(m)
（1）解析方法
球体在剖面上的重力异常
g f m h (x h )
2 2 3 2
（2）数值方法 （3）物理模拟方法
水槽实验等
有限差分、有限单元法、积分方程法等等
非线性问题的线性化
（1）参数置换法
地震震源计算 用统计法求取弹性介质的吸收系数
（2）泰勒级数展开法
函数：y=f(x)，线性函数y=ax（计算函数是乘法） 方程：b=f(x)，线性方程b=ax（解方程是除法）
反演相关概念
反演域：空间域和频率域 模 型：规则体、界面和场源剖分 模型和数据的关系：线性反演和 非线性反演 反演方式：通过正演做反演和 直接反演 迭代方式：人机交互式反演和 软件自动迭代反演
m (G G) G d
T T
1
d M 1 GM N mN 1
(G d ) N 1 (G G) N N mN 1
T T
讨论 GT G (1) GT G 非奇异： 正交分解
r<N 零特征值
(2) GT G 奇异：
(3) GT G 病态：小特征值， G条件数较大
参数化模型的最小长度解基本思想
PREM
先验信息 (priori information) 2. 其他已知的地质、地球物理和钻井资料 3. 模型参数加权 （第4节详述） 4. “最简单”地球物理模型 “最简单”是指在保留实际地球物理 模型基本特征不变的情况下，对地球物 理模型的一种简化。
E m m m2 j min
地球物理反演
地球物理反演理论：研究把地球物理 学中的观测数据映射到相应的地球物理 模型的理论和方法 本课程特点：只研究各种地球物理观 测数据反演方法的共同理论、共同问题、 共同的解决措施。
正反演图示—磁法为例
地面磁 异常d 正演 地下磁性 矿体m
反演
正反演图示—电法为例
地面视 电阻率 异常d
三维正 演模拟