第6章 离散时间信号的傅里叶变换

信号
？
系统
响应
信号与系统
第六章 离散时间信号的傅立叶变换
信号
？
系统
响应
6.1 LTI离散时间系统对复指数信号的响应
设离散时间LTI系统冲激响应为h[n],输入信号f[n]
为复指数信号 z0 n ，则系统响应y[n] 为：
f [n] z0
n
h[n]

y [n] = f[n]*h[n]
解：y[n] f [n] * h[n]
N 1 N 1
ak e
k 0 n 0
N 1
N 1
j ( k m ) 0 n
信号
？
系统
响应
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
观察： e
k 0
N 1 n 0
N 1
0，k m
j(k m ) 0 n
N ，k m
N 1 k 0 k m
- jm0 n 则： f [ n ] e ak N
1 f [ n] 2

2
F ()e jn d
两边用 n n0 代替 n
1 f [n n0 ] 2

2
[ F ()e jn0 ]e jn d
信号
？
系统
响应
6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质
4.频移特性
F f [ n ] F (),则 如果
3
n
f[n]
0 /
2 1 0 1 2
F( )
频谱
2

1

0 0 0
2

信号
？
系统
响应
(2)
1 f [ n] 2
1 2
F ( )e
2
jn
d



[2 d ( 2l )]e jn d 1
l

F( )
频谱
2d()
F e j0n f [n] F ( 0 )
F ()
n


f [n]e jn
两边以 0代替
F ( 0 )
n j 0 n jn { f [ n ] e } e
信号
？
系统
响应
例: 求下列离散时间信号的傅立叶变换。 (1) 解:

0

2

信号
？
系统
响应
相位谱
a sin() () tan { } 1 a cos()
1
( )
0.5236
2

0

2

0.5236
f[n]
1
信号
？
系统
响应
信号
1 2 1 4
a 1/ 2
n
3 2 1 0 1 2 3
（3） F ()
n
4
2
0
2
4

信号
？
系统
响应
6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质
1.周期性
F ( 2 ) F ()
离散时间信号的傅立叶变换 F () 是以 2 为周期的：
2.线性
F f [ n ] F1 () , 如果 1 F f2[n] F2 () ,则
（1）
f [n] d [n]
n
（2） f [n] a
n
u[n] ,
a 1
（3）f [n] a
,
a 1

1, n N1 （4） f [n] 0, n N1
F ()
n

f [n]e jn
信号
？
系统
响应
解： （1）
F ()
n
jn d [ n ] e
n f[ ] , f1[n] N 0 , n为N的整数倍 其它
信号 f [n] 的傅氏变换的时域展宽特性为：
F f [ n ] F (),则 如果
f1[n] F ( N )
F
信号
？
系统
响应
证明：由于信号 f1[n] 仅在n为N的整数倍时不为零，所以
y[n] z0
n 0
n
k
h[n] f (n k ) h[n]z
k
n

nk 0
n
n
h[n]z0

n
z0 H ( Z 0 ) 其中：H [ z 0 ]
n

h[n]z0
z ：特征函数
H ( z0 ) ：系统的特征值
信号
？
系统
F
F
N 1
2k f [n] 2 ak d ( 2l ) N k 0 l
2k f [n] 2 ak d ( ) (6.4.9) N k
F

信号
？
系统
响应
5.时域展宽特性
信号 f [n] 时间上展宽 N倍的信号 f1[n] 可表示为:
0
0
0

2
2 0
2 0
jd( 0 )
信号
？
系统
响应
考虑：离散时间周期信号的傅立叶变换。
傅氏级数： f [n]
a e
k 0 k
l
N 1
jkn (2 / N )
e
j 0 n
2 d ( 0 2l )
信号
？
系统
响应
7. 时域卷积特性
F F f [n] F () , h[n] H () ，则:

0 0
（2） F () 2 d ( 2l )
l
1 f [ n] 2

2
F ()e jn d
信号
？
系统
响应
1 解： （1） f [n] 2
信号
3

0 0
e
jn
sin(0 n) d n
0 / 3

筛选性
（2）
F ()
d [n] 1
F
n n jn a u [ n ] e ,
a 1
1 , j 1 ae
a 1
信号
？
系统
响应
幅度谱
F ()
1 [1 a cos()]2 a2 sin 2 ()
F()
2
a 1/ 2
2/3 2
定义函数 F () 为： F () lim Nak
N
ak
可表示为 a 1 F () k
n


f [n]e jn
N
k 0
非周期信号的傅氏变换 F ()与对该非周期信号 进行周期延拓后的周期 信号的傅氏级数 ak的关系
信号
？
系统
响应
f N [n] 的傅氏级数可表示为：
f[n]
0
n
信号
？
系统
响应
fN [n]
N
0
N
n
f N [n] 傅氏系数可表示为：
1 ak N

n
N 1 2 N 2
f N [n]e jk 0n
1 N
n


f [n]e jk 0n
信号
？
系统
响应
当 N 趋于无穷大时
k0 趋于连续变量
f N [n] 趋于 f [n]
1 jk 0n f N [ n] F ( k 0 ) e N N k
2
N 1 2
1 lim f N [n] lim N N 2

k
N 1 2 N 2
F (k 0 )e jk 0n 0
信号
？
系统
响应
f N [n] f [n]
am N
f [n]
1 ak N
k N

ak e jk0n
f [n]e
jk 0 n
傅氏级数
n N

傅氏系数
信号
？
系统
响应
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
DFS的物理含义
周期为N的离散时间信号 f [n], 可以表示为e j0n 及各次谐波的线性组合
f [n] ak
F f [n] F ()
证明:
F ()
F ()
n


f [n]e jn
f [n]e jn
两边取共轭 用 代替
n

F ()
n


f [n]e jn
信号 f [n] 是实的 F () F ()
F
f1[n]
n


f1[n]e jn
k


f1[kN ]e jkN
f1[kN ] f [k ]
F
f1[n]

f [k ]e jkN F ( N )
k
信号 f [n] 在时间上展宽 N倍，其频谱在频率上 压缩 N倍
信号
？
系统
响应
响应
考虑：
如果任一离散时间信号 f [n] 可以表示为:
f [ n]
k


n ak zk
(LTI的特性)
y[n]
k n a H ( z ) z k k k
信号
？
系统
响应
6.2
离散时间周期信号的傅立叶级数
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
对于离散时间信号 f [n] ,若存在非零的正整数 N，对 任意 n值有: f [n N ] f [n] 则称 f [n] 是以 N为周期的周期信号. 令 0 2 / N 则离散时间复指数信号 以 N为周期的 .
一一对应
例：周期单位脉冲序列dN[k]
1 N 1 1 - jk0 n X [m] d N [n]e N n 0 N
信号
？
系统
响应
6.3 离散时间信号的傅立叶变换
1.离散时间周期信号的傅立叶变换
设时限非周期信号 f [n] 如图所示，对它进行周期 拓展可构成周期信号 f N [n]
信号
？
系统
响应
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
推导系数 ak 的计算公式 :
N 1 k 0
f [n] ak e jk 0n
两端乘以
e
jm0 n
并在一个周期 N内关于n求和
j ( k m ) 0 n
f [n]e
n 0
N 1
jm0 n
ak e
n 0 k 0
a

n
e
jn
1 a , a 1 2 1 2a cos a
2
（4）
F ()
n N1
e
N1
jn
sin[(2 N1 1) / 2] sin( / 2)
信号
？
系统
响应
例2:求下列 F () 的傅立叶逆变换。
1, （1） F () 0,
e
j 0 n
(2) cos(0 n)
l
(3) sin(0 n)
(1)
F 1 2 d ( 2l )

频移特性
F e j0n 2 d ( 0 2l ) l

e
j0 n
2 d ( 0 2l )
F l
信号
？
系统
响应
(2)
cos(0n) (e

j0n
e
j0n
)/2
傅氏变换的线性
欧拉公式
F cos(0 n) [d ( 0 2l ) d ( 0 2l )]
l
F( )
d( 0 )
傅氏变换
2 2 0 2 0
对方波信号，当 N 2 时的时域展宽和频谱压缩情况 如图所示:
f[n]
1
时域展宽
n
2
0
2
f1 n
1
4
2
0
2
4
n
信号
？
系统
响应
F( )
5
频谱压缩
2

0

2

F(2)
5
2

0
2 2

2

信号
？wk.baidu.com
系统
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6. 共轭对称特性
F f [ n ] F (),则 如果
0 0 0

2 0
2
2 0

信号
？
系统
响应
(3) 同理可得
F sin(0 n) j [d ( 0 2l ) d ( 0 2l )] l
F( )
jd( 0 )
傅氏变换
2 2 0
2 0
j 0 n
e
关于时间变量 n是
信号
？
系统
响应
1.离散时间周期信号的傅立叶级数
离散傅里叶级数： 周期为N的离散时间信号f [n], 可以
表示为e j0n 及各次谐波的线性组合
f [n] ak e jk0n
k 0 N 1
离散傅氏级数
以N为周期
常数
1 N 1 - jk0 n 离散傅氏级数系数 ak f [n]e N n 0
N
0 d
k0
1 f [ n] 2



F ()e jn d
信号
？
系统
响应
频谱密度函数
F ()
n


f [n]e
jn
傅立叶变换
1 f [ n] 2

2
F ()e jn d
傅立叶逆变换
信号
？
系统
响应
举例
例1: 求下列离散时间信号的傅立叶变换。
F a1 f1[n] a2 f2[n] a1F1 () a2 F2 ()
a1 , a2
是常数
信号
？
系统
响应
6.4 离散时间信号傅立叶变换的性质
3.时移特性
F F (),则 如果 f [n]
f [n n0 ] e
F
jn0
F ()
证明：