圆锥曲线常用解法、常规题型与性质概要

圆锥曲线八种解题方法、七种常规题型和性质
总论：常用的八种方法
1、定义法
2、韦达定理法
3、设而不求点差法
4、弦长公式法
5、数形结合法
6、参数法（点参数、K 参数、角参数）
7、代入法中的顺序
8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型
（1）中点弦问题
（2）焦点三角形问题
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。

2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题
常用的八种方法
1、定义法
（1）椭圆有两种定义。

第一定义中，r 1+r 2=2a 。

第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。

（2）双曲线有两种定义。

第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。

（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。

3、设而不求法
解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。

设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
（1）)0(122
22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有
020
20=+k b
y a x 。

(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122
22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有
020
20=-k b
y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率)
4、弦长公式法
弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2
0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=
12·|
|12a k △
·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

5、数形结合法
解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如“2x+y ”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2
”,令
d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“
23+-x y ”，令2
3
+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……
6、参数法
（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。

如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。

除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y 1-1,y 1） （2）斜率为参数
当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。

（3）角参数
当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。

7、代入法中的顺序 这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q ”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。

不同的代入方法常会
影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

八、充分利用曲线系方程法
一、定义法【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________
(2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,为 。

分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

（2）B 在抛物线内，如图，作QR ⊥l 交于R ，则当B 、Q 、R 距离和最小。

解：（1）（2，2）
连PF ，当A 、P 、F 三点共线时，PF AP PH AP +=+)1(1
30
24---=
x y 即 y=22(x-1),代入y 2=4x 得P(2,22)，
（注：它为直线AF 与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（
1,4
1
） 过Q 作QR ⊥l 交于R ，当B 、Q 、R 三点共线时，QR BQ QF BQ +=+最小，此时Q 点的纵坐标为1，代入y 2=4x 得x=
41，∴Q(1,4
1) 点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细
体会。

例2、F 是椭圆13
42
2=+y x 的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，上一动点。

（1）PF PA +的最小值为 （2）PF PA 2+的最小值为
分析：PF 为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径F P '解：（1）4-5
设另一焦点为F '，则F '(-1,0)连A F ',P F '
542)(22-='-≥-'-='-+=+F A a PA F P a F P a PA PF PA
当P 是F 'A 的延长线与椭圆的交点时, PF PA +取得最小值为4-5。

（2）作出右准线l ，作PH ⊥l 交于H ，因a 2=4，b 2=3，c 2=1， a=2，c=1，e=2
1， ∴PH PF PH PF ==
2,2
1
即 ∴PH PA PF PA +=+2
当A 、P 、H 三点共线时，其和最小，最小值为3142
=-=-A x c
a 例3、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2=4外切,轨迹方程。

分析：作图时，要注意相切时的“图形特征”：图中的A 、M 、C 共线，B 、D 、M 共线）径”（如图中的MD MC =）。

解：如图，MD MC =，
∴26-=--=-MB MA DB MB MA AC 即 ∴8=+MB MA （*）
∴点M 的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b 2
=15轨迹方程为
15
162
2+y x 点评：得到方程（*求解，即列出4)1()1(222
2=+-+
++y x y x 方程推导了一遍，较繁琐！
例4、△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=
5
3
sinA,求点A 的轨迹方程。

分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系。

解：sinC-sinB=
53sinA 2RsinC-2RsinB=53
·2RsinA ∴BC AC AB 5
3
=-
即6=-AC AB （*）
∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10
∴a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为
116
92
2=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 例5、定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。

分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x 1,x 12)，B(x 2，X 22)，又设AB 中点为M(x 0y 0)用弦长公式及中点公式得出y 0关于x 0的函数表达式，再用函数思想求出最短距离。

（2）M 到x 轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M 到准线的距离，想到用定义法。

解法一：设A(x 1，x 12)，B(x 2，x 22)，AB 中点M(x 0，y 0)
则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-+-0
2
2210
212
2221221229)()(y x x x x x x x x x 由①得(x 1-x 2)2[1+(x 1+x 2)2]=9
即[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]·[1+(x 1+x 2)2]=9 ④ 由②、③得2x 1x 2=(2x 0)2-2y 0=4x 02-2y 0 代入④得 [(2x 0)2-(8x 02-4y 0)]·[1+(2x 0)2]=9
∴2
2
00419
44x x y +=
-， 11
49)14(49442
02
0202
00-+++=+
=x x x x y ≥,5192=- 4
5
0≥
y 当4x 02+1=3 即 220±
=x 时，45)(min 0=y 此时)4
5
,22(±
M 法二：如图，222+=AA MM ∴232
≥MM ， 即411≥+MM ① ② ③
∴4
5
1≥
MM ， 当AB 经过焦点F 时取得最小值。

∴M 到x 轴的最短距离为
4
5 点评：解法一是列出方程组，利用整体消元思想消x 1，x 2，从而形成y 0关于x 0的函数，这是一种“设而不求”的方法。

而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M 到x 轴的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A 、B 到准线的距离和，结合定义与三角形中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但此解法中有缺点，即没有验证AB 是否能经过焦点F ，而且点M 的坐标也不能直接得出。

二、韦达定理法【典型例题】
例6、已知椭圆
)52(11
2
2≤≤=-+m m y m x 过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次交于A 、B 、C 、D 、设f(m)=CD AB -,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。

分析：此题初看很复杂，对f(m)的结构不知如何运算，因A 、B 来源于“不同系统”，A 在准线上，B 在椭圆上，同样C 在椭圆上，D “投影”到x 轴上，立即可得防
()(22)(2)()(D A B C D A B x x x x x x x m f ---=---= )()(2D A C B x x x x +-+=
)(2C B X x +=
此时问题已明朗化，只需用韦达定理即可。

解：（1）椭圆
11
2
2=-+m y m x 中，a 2=m ，b 2=m-1，c 2=1，左焦点则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x 2+my 2-m(m-1)=0 得(m-1)x 2+m(x+1)2-m 2+m=0 ∴(2m-1)x 2+2mx+2m-m 2=0
设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),则x 1+x 2=-
)52(1
22≤≤-m m m
1
2222)()(2)()(2)(2121-⋅
=+=+-+=---=-=m m x x x x x x x x x x CD AB m f C A C D A B
（2）)1
21
1(2121122
)(-+=-+-=
m m m m f
∴当m=5时，92
10)(min =
m f 当m=2时，3
2
4)(max =
m f 点评：此题因最终需求C B x x +，而BC 斜率已知为1，故可也用“点差法”设BC 中点为M(x 0,y 0),通过将B 、C 坐标代入作差，得
01
00=⋅-+k m y
m x ，将y 0=x 0+1，k=1代入得01100=-++m x m x ，∴1
20--=m m x ，可见122--=+m m x x C B
当然，解本题的关键在于对CD AB m f -=)(的认识，通过线段在x 轴的“投影”发现C B x x m f +=)(是解此题的要点。

三、点差法
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。

解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。

我们称这种代点作差的方法为“点差法”。

1.以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆
14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y
又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642
222=+y x
两式相减得0)(4)(2
22
12
22
1=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x
∴
2
1
244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y
即21-
=AB k ，故所求直线的方程为)2(2
1
1--=-x y ，即042=-+y x 。

例2、已知双曲线12
2
2
=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。

若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足
题设的条件。

本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B
则221=+x x ，221=+y y
12212
1=-y x ，12
2
22
2=-y x
两式相减，得
0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22
12
1=--=x x y y k AB
故直线)1(21:-=-x y AB
由⎪⎩
⎪⎨⎧=--=-12)
1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x
∴ 08324)4(2<-=⨯⨯--=∆
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。

评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。

由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。

（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一
般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。

2.过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆
125
752
2=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线21=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2
1
0=
x 12021==+x x x ， 0212y y y =+
又 125752
12
1=+x
y ，125
752
22
2=+x y
两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴
212123
y x x y y -
=-- 32
121=--=
x x y y k ∴ 323
0=-
y ，即210-=y ∴点M 的坐标为)2
1
,21(-。

例4、已知椭圆
125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则
x x x 221=+， y y y 221=+
又 125752
12
1=+x
y ，125
752
22
2=+x y
两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即
y
x
x x y y 32121-=--
32
121=--=
x x y y k ∴33=-y x
，即0=+y x 由⎪⎩⎪
⎨⎧=+=+125
75022x y y x ，得)235,235(-
P )235,235(-Q
点M 在椭圆内
∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2
3
5235(0<<-
=+x y x 例1 已知椭圆2
212
x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .
则22
1112x y +=，（1）222212
x y +=，（2） ()()12-得：
()2222121202x x y y -+-=，()1212
1212
02x x y y y y x x +-∴++=-. 又12
121212
2,2,
2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=.
弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）. 例2
直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2
:1f y x =+的相交弦
是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .
解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=.
()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5
1
AB MN y k k x +∴==
-. 又()2
111y x =+，（1）()2
221y x =+，（2）
()()12-得：()
()()()2
2
12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++，
12
1212
2AB y y k x x x x -∴=
=++-.
于是
5
221
y x x +=+-，即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为2
27y x =-（在已知抛物
线内）.
3.求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的
横坐标为
2
1
，求椭圆的方程。

解：设椭圆的方程为12222=+b
x a y ，则502
2=-b a ┅┅①
设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则
210=
x ，2
1
2300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又122
122
1=+b x
a y ，122
222
2=+b
x a y 两式相减得0))(())((2121221212=-++-+x x x x a y y y y b 即0)()(212212=-+--x x a y y b
∴
22
2121b
a x x y y =-- ∴ 322=
b a ┅┅② 联立①②解得752
=a ，252
=b
∴所求椭圆的方程是125
752
2=+
x y 例3 已知ABC ∆的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ∆的重心
G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程.
解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则A G M 、、三点共
线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是0
022812
82012
x y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪⎩+，
解得0011
4
x y =⎧⎨
=-⎩，()11,4M ∴-.
设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又2
1132y x =，（1）2
2232y x =，（2）
()()12-得：()22121232y y x x -=-，1212123232
48
BC y y k x x y y -∴=
===--+-.
BC ∴所在直线方程为()4411y x +=--，即4400x y +-=.
例4 已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的一条准线方程是1x =，有一条倾斜角为4π的
直线交椭圆于A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭，求椭圆方程. 解 设()()1122,,A x y B x y 、，则12121
1,2x x y y +=-+=，且2211221x y a b +=，（1）
22
22221x y a b
+=，（2） ()()12-得：2222121222x x y y a b
--=-，()()2212122212121
12
b x x y y b x x a y y a +--∴
=-=-⋅-+， 2
1221221AB
y y b k x x a
-∴===-，222a b ∴=，
（3） 又21a c
=，2a c ∴=，（4）而222
a b c =+，（5） 由（3），（4），（5）可得2
211
,24
a b ==， 所求椭圆方程为2211124
x y +=.
4.圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦2
1P P 的中点，则12432
12
1=+y x ，12432
22
2=+y x 两式相减得，0)(4)(32
22
12
22
1=-+-y y x x 即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x
x x x 221=+，y y y 221=+，
4
1
2121-=--x x y y
∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。

它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立⎩⎨
⎧+==m x y x y 43，得⎩⎨⎧-=-=m
y m x 3 则必须满足22
433x y -<，
即22
433)3(m m -<，解得13
13
213132<<-m 5. 求直线的斜率
例5 已知椭圆
221259x y +=上不同的三点()()11229,,4,,,5A x y B C x y ⎛⎫
⎪⎝⎭
与焦点()4,0F 的距离成等差数列.（1）求证：128x x +=；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k .
（1）证 略.
（2）解
128x x +=，∴设线段AC 的中点为()04,D y .
又A C 、在椭圆上，∴22111259x y +=，（1）22
221259x y +=，（2） ()()12-得：
22221212259x x y y --=-， ()()1212121200
998362525225x x y y x x y y y y +-∴
=-=-⋅=--+.
∴直线DT 的斜率02536DT y k =
，∴直线DT 的方程为()0
025436
y y y x -=-. 令0y =，得6425x =，即64,025T ⎛⎫
⎪⎝⎭，∴直线BT 的斜率9
55644425
k -==-.
6. 确定参数的范围
例 6 若抛物线2
:C y x =上存在不同的两点关于直线():3l y m x =-对称，求实数
m 的取值范围.
解 当0m =时，显然满足.
当0m ≠时，设抛物线C 上关于直线():3l y m x =-对称的两点分别为()()1122,,P x y Q x y 、，且PQ 的中点为()00,M x y ，则211y x =，
（1）222y x =，（2）
()()12-得：221212y y x x -=-，1212120
11
2PQ y y k x x y y y -∴=
==
-+， 又1
PQ k m
=-
，02m y ∴=-.
中点()00,M x y 在直线():3l y m x =-上，()003y m x ∴=-，于是05
2
x =. 中点在抛物线2y x =区域内
M 200y x ∴<，即2
522m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
，解得m <<综上可知，所求实数m
的取值范围是(. 7. 证明定值问题
例7 已知AB 是椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是AB 的
中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值.
证明
设()()1122,,,A x y B x y 且12x x ≠，
则2211221x y a b +=，（1）22
22221x y a b +=，（2） ()()12-得：2222
121222x x y y a b
--=-，
()()2121221212b x x y y x x a y y +-∴=--+，()()
21212
2
1212AB b x x y y k x x a y y +-∴==--+. 又1212OP
y y k x x +=
+，221
AB OP
b k k a ∴=-⋅，22AB OP b k k a ∴⋅=-（定值）. 8. 其它。

看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。

例9，过抛物线)0(22
>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物
线于A （x y 11,），B （22,y x ）． （1）求该抛物线上纵坐标为
p
2
的点到其焦点F 的距离； （2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求0
21y y y +的值，并证明直线AB 的斜
率是非零常数.
解(1)略(2)：设A （y 12,y 1）,B(y 22
,y 2)，则 k AB =
1
22
1
2
2121
y y y y y y +=
--
∵k PA =
022
2202012012011
,1y y y y y y k y y y y y y PB +=--=+=-- 由题意，k AB =-k AC , ∴
0210
2012,11y y y y y y y -=++-=+则
则：k AB =0
21
y -为定值。

例10、抛物线方程，直线与轴的交点在抛物线准线的右边。

y p x p x y t x 210=+>+=()() （1）求证：直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A 、B ，且OA ⊥OB ，求p 关于t 的函数f(t)的表达式。

（1）证明：抛物线的准线为114：x p
=--
由直线x+y=t 与x 轴的交点（t ，0）在准线右边，得 t p
t p >--++>14
440，而 由消去得x y t
y p x y +==+⎧⎨⎩21()
x t p x t p 2220-++-=()()
∆=+--()()2422t p t p =++>p t p ()440 故直线与抛物线总有两个交点。

（2）解：设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2) ∴+=+=-x x t p x x t p 121222， 1-=⨯∴⊥O B O A k k OB OA Q 则x x y y 12120+= 又y y t x t x 1212=--()() ∴+=-+=x x y y t t p 1212220() ∴==+p f t t t ()22
又，得函数的定义域是p t p f t >++>0440() ()()-⋃+∞200，，
【同步练习】
1、已知：F 1，F 2是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，过F 1作直线交双曲线左支于点
A 、
B ，若m AB =，△ABF 2的周长为（ ）
A 、4a
B 、4a+m
C 、4a+2m
D 、4a-m
2、若点P 到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P 点的轨迹方程是 （ ）
A 、y 2=-16x
B 、y 2=-32x
C 、y 2=16x
D 、y 2=32x
3、已知△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长依次成等差数列，且AC AB >，点B 、C 的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A 、
13422=+y x B 、)0(1342
2>=+x y x C 、)0(13422<=+x y x D 、)00(13
42
2≠>=+y x y x 且 4、过原点的椭圆的一个焦点为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程是
（ ）
A 、)1(49)2
1(2
2
-≠=
+-x y x B 、)1(49
)21(22-≠=++x y x C 、)1(49)21(22-≠=-+x y x D 、)1(4
9)21(22
-≠=++x y x
5、已知双曲线
116
92
2=-y x 上一点M 的横坐标为4，则点M 到左焦点的距离是 6、抛物线y=2x 2截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是 7、已知抛物线y 2=2x 的弦AB 所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB 中点的轨迹方程是
8、过双曲线x 2-y 2=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x 2-y 2=1的交点个数只有一个，则k=
10、设点P 是椭圆
19
252
2=+y x 上的动点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，求sin ∠F 1PF 2的最大值。

11、已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列，若直线l 与此椭圆相交于A 、B 两点，且AB 中点M 为(-2，1)，34=AB ，求直线l 的方程和椭圆方程。

12、已知直线l 和双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 及其渐近线的交点从左到右依次为
A 、
B 、
C 、
D 。

求证：CD AB =。

参考答案
1、C
a BF BF a AF AF 2,21212=-=-，
∴,24,42222m a AB BF AF a AB BF AF +=++=-+选C
2、C 点P 到F 与到x+4=0等距离，P 点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y 2=16x ，选C
3、D
∵22⨯=+AC AB ，且AC AB >
∵点A 的轨迹为椭圆在y 轴右方的部分、又A 、B 、C 三点不共线，即y ≠0，故选D 。

4、A 设中心为(x ，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4
得4)2()12(122=+-+y x ，∴4
9)21(2
2=
+-y x ①又c<a,∴2
)1(2
2<+-y x ∴(x-1)2+y 2<4 ②，由①，②得x ≠-1，选A
5、
329 左准线为x=-59，M 到左准线距离为529)59(4=--=d 则M 到左焦点的距离为329
52935=⋅=ed 6、)2
1
(21>=y x 设弦为AB ，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)AB 中点为(x ，y)，则y 1=2x 12，
y 2=2x 22，y 1-y 2=2(x 12-x 22)
∴
)(2212
121x x x x y y +=-- ∴2=2·2x ，21=x
将21=
x 代入y=2x 2得2
1
=y ，轨迹方程是21=
x (y>2
1
)
7、y 2=x+2(x>2)
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 中点M(x ，y)，则
2)(),
(2,2,2212
12
1212
221222121=+⋅---=-==y y x x y y x x y y x y x y
∵20+-=
=x y k k MP AB ，∴
222
=⋅+y x y
，即y 2=x+2 又弦中点在已知抛物线内P ，即y 2<2x ，即x+2<2x ，∴x>2 8、4
22,8,4222====c c b a ，令22=x 代入方程得8-y 2=4 ∴y 2=4，y=
±2，弦长为4
9、12±±
或 ①⎩⎨⎧=∆≠-0
12k 得10、解：a 2=25，设F 1、F 2设=11,PF r PF 则⎩⎨⎧-+=+2122212122r r r r r r θ ①2-②得2r 1r 2 ∴1+cos θ=21224r r b ∴1+cos θ的最小值为22
2a
b ，即1+cos θ2518≥
cos θ257-
≥， 257arccos 0-≤≤πθ则当2
π
θ=时，sin θ取值得最大值1， 即sin ∠F 1PF 2的最大值为1。

11、设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x
由题意：C 、2C 、c c
a +2
成等差数列，
∴222
24c a c c
a c c =++=即，
∴a 2=2(a 2-b 2),∴a 2=2b 2
椭圆方程为1222
22=+b
y b x ，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)
则
1222
12
21=+b
y b x ①
122
2
2
222=+b y b x ②
④ ⑤ ①-②得022
2
2
2122221=-+-b
y y b x x ∴
022
2=⋅+k b y b x m
m 即
02
2
=+-k ∴k=1 直线AB 方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x 2+2y 2-2b 2=0得x 2+2(x+3)2-2b 2=0 ∴3x 2+12x+18-2b 2=0， 342)218(12123
1
112221=--=
+-=b x x AB 解得b 2
=12， ∴椭圆方程为
112
242
2=+y x ，直线l 方程为x-y+3=0 12、证明：设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，AD 中点为M(x 0，y 0)直线l 的斜率为k ，则
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-112
2
222222
12
21b y a x b y a x ①-②得02220
20=⋅-
k b
y a x ③ 设
),(),,(),,(002211
y x M BC y x C y x B '''''''中点为， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-0022
12
2
21222
112211b y a x b y a x ④-⑤得02221
021
=⋅-'k b
y a x ⑥
由③、⑥知M 、M '均在直线022:
22=⋅-'k b
y
a x l 上，而M 、M '又在直线l 上 ， 若l 过原点，则B 、C 重合于原点，命题成立
若l 与x 轴垂直，则由对称性知命题成立
若l 不过原点且与x 轴不垂直，则M 与M '重合 ∴CD AB =
四、弦长公式法
若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)]([)(b kx b kx x x +-++-=
212
1x x k -+=
212212
4)(1x x x x k
-++= 同理：
① ②
|AB|=122
121224)(||11y y y y y y k
-+-+
特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=?
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2
0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则
||||AB k x x A B =+-=12·|
|12a k △
·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。

例 求直线x y -+=10被椭圆x y 22416+=所截得的线段AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系，减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。

例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14
:2
2
=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （
由⎪⎩
⎪⎨⎧=-+=14122y x x y 得
224(1)40x x -+-=得23250x x --= 则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==+35322121x x x x 得，
23
8
320942
4)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为
12
22
=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长
练习2：设抛物线x y 42
=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值
分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （
联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=++=12
2122y x x y 得03462
=-+x x
则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=+21322121x x x x 3
11
2)21(4)32(24)(12212212=
-⨯--=-++=∴x x x x k AB 解: 设),(),,2211y x B y x A （
联立方程:⎩⎨⎧+==m
x y x
y 242得0)44(422=+-+m x m x
则⎪⎩
⎪⎨⎧=
-=+412
2121m x x m x x 53)1(54)(122212212
=--=-++=m m x x x x k
AB
4-=∴m
例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长AB 分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-且AB 的中点在已知直线上
解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=⋅∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k
设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （
联立方程⎩⎨
⎧+-=+=3
2
x y b
x y 化简得032
=-++b x x
121-=+∴x x AB ∴中点)2
1
,21(b M +--
在直线0=+y x 上 1=∴b 022
=-+∴x x
则 ⎩⎨
⎧-=-=+2
1
2121x x x x
238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB
小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过
程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式 作业：
（1） 过抛物线24y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且
316
=
AB ，
求α的值 （2） 已知椭圆方程12
22
=+y x 及点)2,0(-B ，过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，2F 为椭圆的右焦点，求2CDF ∆的面积。

【典型例题】 五、数形结合法
例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。

分析：由此根式结构联想到距离公式，
解：S=2
2)3()2(-++b a 设Q(-2,3),
则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min
5
5
35
|
1322|=
-⨯+- 点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）
例2：已知点P(x,y)是圆x 2
+y 2
-6x-4y+12=0上一动点，求x
y
的最值。

解：设O （0，0），则
x y 表示直线OP 的斜率，由图可知，当直线OP 与圆相切时，x
y 取得最值，设最值为k ，则切线：y=kx,即kx-y=0
圆(x-3)2+(y-2)2
=1,由圆心（3，2）到直线kx-y=0的距离为1得
11
|23|2
=+-k k ,
∴4
3
3±=
k ∴433,433max
min +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
⎪⎭⎫
⎝⎛x y x y 例3：直线l ：ax+y+2=0平分双曲线
19
162
2=-y x 的斜率为1的弦，求a 的取值范围. 分析：由题意，直线l 恒过定点P(0,-2)，平分弦即过弦中点，可先求出弦中点的轨迹，再求轨迹上的点M 与点P 的连线的斜率即-a 的范围。

解：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是双曲线上的点，且AB 的斜率为1，AB 的中点为M(x 0,y 0)
则： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-1916
1916
22
2
22
12
1y x y x ①-②得
019
16,0916
002
212
2
212
=⋅-=---y x y y x
x 即
即M(X 0,y 0)在直线9x-16y=0上。

由 9x-16y=0 得C ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
-
79,7
16,D ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛79,716
19
162
2=-y x ∴点M 的轨迹方程为9x-16y=0(x<-
7716或x>7
7
16) k PD =
167
297
16079
2,16729716079
2+=-
-
-=-=++
-PD k 由图知，当动直线l 的斜率k ∈⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-16729,169169,16729时，l 过斜率为1的弦AB
的中点M ，而k=-a
①
②
∴a 的取值范围为：⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--⋃⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-
16972,169169,16729 点评：此题是利用代数运算与几何特征相结合的方法而解得的，由图得知，弦AB 中点轨迹
并不是一条直线（9x-16y=0），而是这条直线上的两条射线（无端点）。

再利用图形中的特殊点（射线的端点C 、D ）的属性（斜率）说明所求变量a 的取值范围。

六、参数法
例4（k 参数）：过y 2
=x 上一点A （4，2）作倾斜角互补的两条直线AB 、AC 交抛物线于B 、C 两点。

求证：直线BC 的斜率是定值。

分析：（1）点A 为定点，点B 、C 为动点，因直线AB 、AC 的倾斜角互补，所以k AB 与k AC
相反，故可用“k 参数”法，设AB 的斜率为k ，写出直线AB 的方程，将AB 的方程与抛物线方程联立，因A 为已知交点，则方程有一根已知故用韦达定理容易解出点B 坐标，同理可得点C 坐标，再求BC 斜率。

（2）因点B 、C 在抛物线上移动，也可用“点参数”法，设B （x 1,y 1）,C(x 2,y 2),因x 1=y 12,x 2=y 22
,
即可设B （y 12,y 1）,C(y 22
,y 2)。

再考虑k AB =-k AC 得参数y 1,y 2的关系。

解法1：设AB 的斜率为k ，则AC 的斜率为-k
AB ：y-2=k(x-4),与y 2
=x 联立得：
y-2=k(y 2-4),即ky 2
-y-4k+2=0 ∵y=2是此方程的一解， ∴2y B=
k
k
y k k B 21,24-=+-
x B =y B 2
=
,4412
2
k k k +- ∴B ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-k k k k k 21,44122 ∵k AC =-k,以-k 代替k 代入B 点坐标得C ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-+++k k k k k 21,44122 ∴k BC =4144144121212
2
2-=+--
++--
+-
k k
k k k k k k
k k 为定值 解法2：设B （y 12
,y 1）,C(y 22
,y 2)，则 k BC =
1
22
1
2
2121y y y y y y +=
--
∵k AB =
2
1
42,214222
221121+=--=+=--y y y k y y y AB 由题意，k AB =-k AC ,
∴
4,2
1
212121-=++-=+y y y y 则 则：k BC =4
1
-
为定值。

点评：解法1运算量较大，但其方法是一种基本方法，因k 的变化而造成了一系列的变化，最终求出BC 的斜率为定值；解法2利用点B ，C 在抛物线上设点，形成含两个参数y 1,y 2的问题，用整体思想解题，运算量较小。

例5（角参数）：在圆x 2+y 2
=4上，有一定点A （2，0）和两动点B ，C （A ，B ，C 按逆时
针排列），当B ，C 两点保持∠BAC=3
π
时，求△ABC 的重心的轨迹。

分析：圆周角∠BAC=3
π可转化为圆心角∠BOC=32π
令B （2cos θ，2sin θ）则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+3
2π
))
则重心可用θ表示出来。

解：连OB ，OC ，∵∠BAC=3
π，∴∠BOC=32π
设B （2cos θ,2sin θ）(0<θ<34π),则C(2cos(θ+32π),2sin(θ+3
2π
))
设重心G （x ，y ），则：
x=)]32cos(2cos 22[31πθθ+++
y=)]32sin(2sin 20[31π
θθ+
++ 即： x=)]3cos(1[32πθ++ )3cos(123π
θ+=-x
y=)3sin(32πθ+ )3sin(23π
θ+=y
θ+)35,
3(3π
ππ∈ ∴1)23()123(22
=+-y x 。

（x<21）
即)2
1(94)32(2
2<=+-x y x
点评：要注意参数θ的范围，θ+3π∈（3
π，35π
）它是一个旋转角，因此最终的轨迹是一
段圆弧，而不是一个圆。

七、代入法中的顺序
例6（参数法，代入法中的顺序）、求直线3x-4y+10=0与椭圆12
22=+y a
x (a>0)有公共
点时a 的取值范围
分析:将直线方程代入椭圆方程消元得一元二次方程应有解,用判别式△≥0可求得a 的
取值范围。

也可考虑另一代入顺序，从椭圆方程出发设公共点P （用参数形式），代入直线方程，转化为三角问题：asinx+bcosx=c 何时有解。

解法一：由直线方程3x-4y+10=0得2543+=x y 代入椭圆方程得1)25
43(1222=++x x a
∴
0421
415)1691(
22
=+++x x a
△≥0，得0)1691(4214)415(
22≥+⋅⋅-a 解得3282≥a ，又a>0,∴3
7
2≥a 解法二：设有公共点为P ，因公共点P 在椭圆上，利用椭圆方程设P （acos ϕ，sin ϕ）
再代入直线方程得3acos ϕ-4sin ϕ+10=0
4sin ϕ-3acos ϕ=10。

16
910cos 16
93sin 16
942
2
2
+=
+-
+a a a a ϕϕ
令sin α=
16
932
+a a ，cos α=
16
942
+a ，
则sin(ϕ-α)=
16
9102
+a ，
由1)sin(≤-αϕ 即sin 2
(ϕ-α)≤1得
116
91002≤+a ∴9a 2≥84，a 2
≥328(a>0)
∴a ≥321
2
点评：解法1，2给出了两种不同的条件代入顺序，其解法1的思路清晰，是常用方法，但运算量较大，对运算能力提出较高的要求，解法2先考虑椭圆，设公共点再代入直线，技巧性强，但运算较易，考虑一般关系：“设直线l ：Ax+By+C=0与椭圆12
2
22
=+b y a x 有公共点,
求应满足的条件”此时，若用解法一则难于运算，而用解法二，设有公共点P ，利用椭圆，设P （acos ϕ，bsin ϕ）代入直线方程得Aacos ϕ+Bbsin ϕ=-C 。

∴
12
222≤+-b
B a A C
时上式有解。

∴C 2≤A 2a 2+B 2b 2 因此，从此题我们可以体会到条件的代入顺序的重要性。

八、充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。

典型例题 求经过两已知圆C x y x y 12
2
420：+-+=和C x y y 22
2
24：+--=0的交点，且圆心在直线l ：2410x y +-=上的圆的方程。

解：设所求圆的方程为：
x y x y x y y 222242240+-+++--=λ()
即()()()11421402
2
+++-+--=λλλλx y x y ，
其圆心为C （
2111
+-+λλλ，） 又C 在直线l 上，∴22141110⋅
++⋅-+-=λλλ，解得λ=1
3
，代入所设圆的方程得x y x y 22310+-+-=为所求。

评注：此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。

【同步练习】
1、若实数x 、y 满足x 2+y 2
-2x+4y=0，则x-2y 的最大值是（ ）
A 、5
B 、10
C 、9
D 、5+25
2、若关于x 的方程)2(12-=-x k x 有两个不等实根，则实数k 的取值范围是 （ ） A 、)33
,33(-
B 、)3,3(-
C 、⎥⎦⎤ ⎝
⎛-
0,33D 、⎪⎪⎭
⎫⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛--33,2121,33 3、方程03)1()3(2
2
=+---++y x y x 表示的图形是（ ）
A 、椭圆
B 、双曲线
C 、抛物线
D 、以上都不对
4、已知P 、Q 分别在射线y=x(x>0)和y=-x(x>0)上，且△POQ 的面积为1，（0为原点），则线段PQ 中点M 的轨迹为（ ）
A 、双曲线x 2-y 2=1
B 、双曲线x 2-y 2
=1的右支
C 、半圆x 2
+y 2
=1(x<0) D 、一段圆弧x 2
+y 2
=1(x>
2
2) 5、一个等边三角形有两个顶点在抛物线y 2
=20x 上，第三个顶点在原点，则这个三角形的面积为
6、设P(a,b)是圆x 2+y 2=1上的动点，则动点Q(a 2-b 2
,ab)的轨迹方程是
7、实数x 、y 满足3x 2+2y 2
=6x ，则x+y 的最大值为
8、已知直线l ：2x+4y+3=0，P 是l 上的动点，O 为坐标原点，点Q 分为1：2，则点Q 的轨迹方程为
9、椭圆19
162
2=+y x 在第一象限上一动点P ，若A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)，则APBO S 四边形的最大值为
10、已知实数x 、y 满足x+y=4，求证：2
25)1()2(2
2
≥-++y x
11、△ABC 中,A(3,0)2=BC ，BC 在y 轴上，且在[-3,3]间滑动，求△ABC 外心的轨迹方程。

12、设A 、B 是抛物线y 2
=2Px(p>0)上的点,且∠AOB=90°（O 为原点）。

求证：直线AB 过定点。

参考答案 1、B
x-2y=b ，圆(x-1)2
+(y+2)2
=5，由(1，2)到x-2y-b=0的距离等于
5得
55
41=-+b
，∴b=0或b=10
则b 的最大值为10，选B 。

或用参数法，令θθsin 52,cos 51+-=+=y x 代
入得
)sin(55)sin 5
52cos 55(
55sin 52cos 552θαθθθθ-+=-+=-+=-y x 最大值为10。

选B
2、C 作图，知当⎥⎦
⎤
⎝⎛-∈0,33k 时，直线y=k(x-2)与半圆有两交点， 选C
3、B
方程即2
3
2)1()3(2
2
+-⋅
=
-++y x y x
令F(-3,1) P(x,y), l: x-y+3=0, PH ⊥l 于H 则2=PH
PF ，由双曲线第二定义知
选B 。

4、B
用“点参数”法，设P(x 1,x 1)(x 1>0)，Q(x 2,-x 2)(x 2>0) 则
1222
1
21=⋅x x ，∴x 1x 2=1，设M(x ，y)，
则2x=x 1+x 2，2y=x 1-x 2，∴(2x)2-(2y)2
=4x 1x 2
则x 2-y 2
=1(x>0)。

选B
5、12003。

设此三角形为△OAB ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)由OB OA =得
2
2
222121y x y x +=+， ∴22
21212020x x x x +=+ (x 1-x 2)(x 1+x 2+20)=0，∵x 1>0，x 2>0 ∴x 1=x 2 则2
22
1y y =，y 1=-y 2，∴A 、B 关于x 轴对称，A 、B 在y=x 3
3
±
上 将x y 3
3
=
代入y 2=20x 得A(60,203)，∴B(60,-203)
边长为403面积为
31200)340(4
3
2= 6、x 2+4y 2
=1
令a=cos θ，bsin θ，则Q(cos2θ,
2
1
sin2θ)，设Q(x ，y) 则x 2
+4y 2
=1
7、
2
10
+1 3(x-1)2+2y 2
=3, (x-1)2
+
13
22
=y 令x-1=cos
ϕ
，
y=
23sin ϕ，则x+y=cos ϕ+2
3sin ϕ+1 最大值为12
10
1231+=++
8、2x+4y+1=0
设Q(x ，y)，P(x 1，y 1)，则2
1121
0,21121011++=++
=
y y x x ∴x 1=3x ，y 1=3y ， ∵2x 1+4y 1+3=0
∴2×3x+4×3y+3=0即2x+4y+1=0
9、26
设P(4cos ϕ,3sin ϕ)(0<ϕ<
2
π
) )4
(26)cos (sin 6cos 4321sin 3421πϕϕϕϕϕ+=+=⨯⨯+⨯⨯=
+=∆∆sn S S S OBP OAP APBO 四边形 当ϕ=
4
π
时,APBO S 四边形的最大值为26 10、证明：设P(x,y)，A(-2，1)则2
2
2)1()2(PA y x =-++
过A 作AH ⊥l 交于H ，其中l ：x+y=4 则2
52
4
12=
-+-=
AH ∴2
5=
≥AH PA ，则2
252
≥
PA
当P 在H(
2
7
,21)时取等号 ∴2
25)1()2(2
2≥
-++y x 11、解：设C 在B 的上方，设B(0,t)， 则C(0,t+2)，-3≤t ≤1 设外心为M(x,y)，因BC 的中垂线为y=t+1 ①
AB 中点为)2
,23(t ，3t k AB -
= AB 的中垂线为)23
(32-=-x t t y ② 由①、②消去t 得)22)(3
4(62
≤≤--=y x y 这就是点M 的轨迹方程。

12、解：设OA ：y=kx ，代入y 2=2px 得k 2x 2
=2px 则k p y k p x 2,22== ∴)2,
2(2k p k
p A 同理由OB ：y=-k
1x 可得B(2pk 2
,-2pk)
2
2
2
22111112222k k k
k k k k
k pk k p pk k p k AB -=-=-+=-+= ∴)2(12:2
2
pk x k
k pk y AB --= 令x=2p 得y=0，说明AB 恒过定点（2p ，0）
解析几何七种常规题型及方法
常规题型及解题的技巧方法 A:常规题型方面 （1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，
(,)x y 22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。

典型例题 给定双曲线x y 2
2
2
1-=。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。

分析：设P x y 111(,)，P x y 222(,)代入方程得x y 1
2
1221-=，x y 22
22
2
1-=。

两式相减得 ()()()()x x x x y y y y 121212121
2
0+--
+-=。

又设中点P （x,y ），将x x x 122+=，y y y 122+=代入，当x x 12≠时得 22201212x y
y y x x -
--=·。

又k y y x x y x =
--=--12121
2
，
代入得2402
2
x y x y --+=。

当弦P P 12斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是2402
2
x y x y --+=
说明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。