十字相乘法完整版ppt课件
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小结：
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一 定同号,符号与一次项系数相同；
当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异 号，绝对值大的数与一次项系数同号
4
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7x 10 x2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7x 18
5
例2 分解因式： x2 6x 16
解： x2 6x 16
14 3
解得：ab
4 5
，∴原式
=
(2x–3y+4)(x+3y+5)
19
14
因式分解 x4 + 4 都是平方项
猜测使用完全平方公式
解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
完全平方 公式
平方差公 式
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4 2）(m2–1)(n2–1)+4mn
15
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
18
待定系数法
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：3aa23bb
x2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
十字相乘法： 简记口诀： 对于二首次尾三项分式解的，分交解因叉式相，乘借，用一个十字
叉帮助我们求分和解因凑式中，，这横种方写法因叫式做。十字相乘法。
1
x2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
p
x
q
2
x px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法： 对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
13
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
怎因么为结它果还 与可刚以才继不续 一因样式呢分？解
= (x+1)(x4+2x2+1–x2) = (x+1)[(x2+1)2–x2] = (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
= (a + d) (b – c)
11
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配 成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
6
2
例3 分解因式 3x2－10x＋3
x
－3
2
解：3x －10x＋3
=(x－3)(3x－1)
3
－
x－9x－x=－101x
7
（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 － 15x － 18 ( 3 ) -6x2 +3x +18
双十字相乘法
双十字相乘法适用于二次六项式的因式 分解，而待定系数法则没有这个限制。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20
2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20
2 4 –3 15 3 1206–+–1435==13–43
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
2
例1 分解因式 x2－2 6x＋8
2
解：x －6x＋8
=(x－2)(x－4)
xFra Baidu bibliotek
－2
x
－4
－4x－2x=－6x
简记口诀：首尾分解，交叉相乘， 求和凑中，横写因式。
3
练一练：将下列各式分解因式
x2 5x 6 x2 -x 6 x2 7x 12 x2 3x 10
( 4 ) 2x2+5xy - 12y2 ( 5 ) 6x2 - 7xy – 5y2
8
(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
9
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd
解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd)
还有别的 解法吗？
= a (b – c) + d (b – c) = (a + d) (b – c)
10
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd
－5
6
－5
2
－
－1－10=－111
1
1
－5＋6=1
17
2 2
练习2 将 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2
分解因式 2 2
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2 2 2
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
16
2
2 2
练习1 将 2(6x ＋x) －11(6x ＋x) ＋5
分解因式
2 2
2
解：2(6x ＋x)－11(6x ＋x) ＋5
2
2
= [(6x ＋x) －5][2(6x ＋x)－1]
2
2
= (6x ＋x－5) (12x ＋2x－1 )
2
= (6x －5)(x ＋1) (12x ＋2x－1 )
1
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一 定同号,符号与一次项系数相同；
当常数项为负数时,拆分成的两个有理数异 号，绝对值大的数与一次项系数同号
4
练一练：将下列各式分解因式
x2 +7x 10 x2 -2x 8 y2 7 y 12 x2 7x 18
5
例2 分解因式： x2 6x 16
解： x2 6x 16
14 3
解得：ab
4 5
，∴原式
=
(2x–3y+4)(x+3y+5)
19
14
因式分解 x4 + 4 都是平方项
猜测使用完全平方公式
解：原式 = x4 + 4x2 + 4 – 4x2
= (x2+2)2 – (2x)2
完全平方 公式
平方差公 式
= (x2+2x+2)(x2–2x+2)
拆项添项法随堂练习：
1）x4–23x2y2+y4 2）(m2–1)(n2–1)+4mn
15
2
1
(2x＋y)
－1
1
－2 (x－2y)
2
－4＋1=－3
2(2x＋y) － (x－ 2 y)=3x＋4y
18
待定系数法
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
通过比较两式同类项的系数可得：3aa23bb
x2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
十字相乘法： 简记口诀： 对于二首次尾三项分式解的，分交解因叉式相，乘借，用一个十字
叉帮助我们求分和解因凑式中，，这横种方写法因叫式做。十字相乘法。
1
x2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
x
p
x
q
2
x px＋qx=(p＋q)x pq
十字相乘法： 对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉
= (a+2)2 – (b–1)2
= (a+b+1)(a–b+3)
13
拆项添项法
回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1 。
另解：原式 = (x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)
= (x+1)(x4+x2+1)
怎因么为结它果还 与可刚以才继不续 一因样式呢分？解
= (x+1)(x4+2x2+1–x2) = (x+1)[(x2+1)2–x2] = (x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)
解：原式 = (ab + bd) – (ac + cd)
= b (a + d) – c (a + d)
= (a + d) (b – c)
11
配方法
配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配 成完全平方式，再用平方差公式进行分解。
因式分解 a2–b2+4a+2b+3
解：原式 = (a2+4a+4) – (b2–2b+1)
x2 6x 16
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
6
2
例3 分解因式 3x2－10x＋3
x
－3
2
解：3x －10x＋3
=(x－3)(3x－1)
3
－
x－9x－x=－101x
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（1）2x2 + 13x + 15 （2）3x2 － 15x － 18 ( 3 ) -6x2 +3x +18
双十字相乘法
双十字相乘法适用于二次六项式的因式 分解，而待定系数法则没有这个限制。
因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20
2 x2 + 3 xy – 9 y2 + 14 x – 3 y + 20
2 4 –3 15 3 1206–+–1435==13–43
∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。
2
例1 分解因式 x2－2 6x＋8
2
解：x －6x＋8
=(x－2)(x－4)
xFra Baidu bibliotek
－2
x
－4
－4x－2x=－6x
简记口诀：首尾分解，交叉相乘， 求和凑中，横写因式。
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练一练：将下列各式分解因式
x2 5x 6 x2 -x 6 x2 7x 12 x2 3x 10
( 4 ) 2x2+5xy - 12y2 ( 5 ) 6x2 - 7xy – 5y2
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(6)（x+y）2 + 4(x+y) - 5 (7) 2（a+b）2 + 3(a+b) – 2 (8) 2(6x2 ＋x) 2－11(6x2 ＋x) ＋5
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分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd
解：原式 = (ab – ac) + (bd – cd)
还有别的 解法吗？
= a (b – c) + d (b – c) = (a + d) (b – c)
10
分组分解法
要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、 去括号等一些变换达到因式分解的目的。
例1：因式分解 ab–ac+bd–cd
－5
6
－5
2
－
－1－10=－111
1
1
－5＋6=1
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2 2
练习2 将 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2
分解因式 2 2
解： 2x －3xy－2y ＋3x＋4y－2 2 2
=(2x －3xy－2y )＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y－1)(x－2y＋2)
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2
2 2
练习1 将 2(6x ＋x) －11(6x ＋x) ＋5
分解因式
2 2
2
解：2(6x ＋x)－11(6x ＋x) ＋5
2
2
= [(6x ＋x) －5][2(6x ＋x)－1]
2
2
= (6x ＋x－5) (12x ＋2x－1 )
2
= (6x －5)(x ＋1) (12x ＋2x－1 )
1