最新电磁场与电磁波期末复习要点

第一章
矢量分析
①
A A
A e =u r uu r
u r
②
cos A B
A B
θ⋅=⋅u r u r
u r u r
③
A u r 在
B u r 上的分量B AB A B
A COS B
A θ⋅==u r u r
u r u r
④
e x y z x y z x
y
z
A B e e A
A A B
B
B
⨯=u r u r
r r r
⑤
A B A B
⨯=-⨯u r u r u r u r ,
()A B C A B A C
⨯+=⨯+⨯u r u r u r u r u r u r u r ,
()()()A B C B C A C A B ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯u r u r u r u r u r u r u r u r u r (标量三重积)，()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅u r u r u r u r u r u r u r u r u r
⑥ 标量函数的梯度x
y
z
u u u u
x
y
z
e e e ∂∂∂∇=++∂∂∂u u r u u r u u r
⑦
求矢量的散度=y x z
A x y z
A A A ∂∂∂∇⋅++
∂∂∂u r 散度定理：矢量场的散度在体积V 上的体积分等于在矢量场在限定该体积的闭合曲面S 上的面积分，即
V
S
FdV F d S ∇⋅=⋅⎰
⎰u r u r u r
Ñ，散度定理是矢量场中的体积分与闭合曲面积分之间的一个变换关系。

⑧
给定一矢量函数和两个点，求沿某一曲线积分E dl ⋅⎰u r r
，x y C
C
E dl E dx E dy ⋅=+⎰⎰u r r
积分与路径无关就是保守场。

⑨ 如何判断一个矢量是否可以由一个标量函数的梯度表示或者由一个矢量函数的旋度表示？如果
0A ∇⋅=u r 0A ∇⨯=u r
，则既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；如果0A ∇⋅u r ≠，则该矢量可以由一个标量函数的梯度表示；如果0A ∇⨯u r
≠，则该矢量可以由一个矢量函数的旋度表示。

矢量的源分布为A ∇⋅u r A ∇⨯u r
.
⑩ 证明()0u ∇⨯∇=和()0A ∇⋅∇⨯=u r
证明：解 （1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有
()d d d
S
C
C
u
u u l l ∂∇⨯∇=∇==∂⎰⎰⎰
S l g g 蜒由于曲面S 是任意的，故有
()0u ∇⨯∇=
（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，由散度定理有
1
2
()d ()d ()d ()d S
S S τ
τ∇∇⨯=∇⨯=∇⨯+∇⨯⎰⎰⎰⎰A A S A S A S g g g g Ñ 其中1S 和2S 如题1.27图所示。

由斯托克斯定理，有
1
1
()d d S C ∇⨯=⎰⎰A S A l g g Ñ， 2
2
()d d S C ∇⨯=⎰⎰A S A l g g Ñ
由题1.27图可知1C 和2C 是方向相反的同一回路，则有 1
2
d d C C =-⎰⎰A l A l g g 蜒
所以得到
1
2
2
2
()d d d d d 0C C C C τ
τ∇∇⨯=+=-+=⎰⎰⎰⎰⎰A A l A l A l A l g g g g g 蜒蜒
由于体积τ是任意的，故有 ()0∇∇⨯=A g
附：圆柱坐标系中：散度11()z
F F F F z
φρρρρρφ∂∂∂∇⋅=
++∂∂∂u r ；
旋度 ()111()()[]z
z z z z
e e e F F F F F F F e e e z z z F F F ρ
φφρφρρφρ
φ
ρρρρφρφρρρφρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯=
=-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂u u r
u u r u r u r u u r u u r u r
球坐标系中： 散度22111()(sin )sin sin r F F r F F r r r r φ
θθθθθφ
∂∂∂∇⋅=++∂∂∂u r
旋度
2
sin ()11111()[(sin )][][]sin sin sin sin r
r r r r e re r e rF F F rF F F e F e e r r
r r r r r F rF r F θφ
φθθφθφθ
φ
θθθθφθθφθφθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇⨯==-+-+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂u r u u r
u u r u r u r u u r u u r
第二章 电磁场的基本规律
① 电荷守恒定律（电流连续性方程）
1
题1.27图
积分形式：S
V
d
J d S dV dt ρ⋅=-⎰⎰u r u r Ñ 微分形式：J t
ρ
∂∇⋅=-∂u r 对于恒定电流场0J ∇⋅=u r （恒定电流场是一个无散度的场）
②
电位移()()()0r r r D E P ε=+r r r
u r u r u r
③ 麦克斯韦方程组
积分形式：C S S D H dl J d S d S t ∂⋅=⋅+⋅∂⎰⎰⎰u r
u u r r u r u r u
r Ñ
C S B E dl d S t ∂⋅=-⋅∂⎰⎰u r
u r r u r Ñ 0S
B d S ⋅=⎰u r u r Ñ
S
V
D d S dV ρ⋅=⎰⎰u r u r Ñ
微分形式：D
H J t
∂∇⨯=+∂u r u u r u r
B E t
∂∇⨯=-∂u r u r
0B ∇⋅=u r
D ρ∇⋅=u r
④
媒质的本构关系：D E ε=u r u r , B H μ=u r u u r
，J E σ=u r u r
⑤ 电磁场的边界条件 情况一：边界条件的一般形式
12()n S e H H J ⨯-=u u r u u r u u u r u u r 12()0n e E E ⨯-=u u r u u r u u r 12()0n e B B ⋅-=u u r u u r u u r 12()n S e D D ρ⋅-=u u r u u r u u r
情况二：两种媒质都不是理想导体的边界条件
12()0n e H H ⨯-=u u r u u r u u u r 12()0n e E E ⨯-=u u r u u r u u r 12()0n e B B ⋅-=u u r u u r u u r 12()0n e D D ⋅-=u u r u u r u u r
情况三：理想导体的边界条件
1n S e H J ⨯=u u r u u r u u r 10n e E ⨯=u u r u u r 10n e B ⨯=u u r u u r 1n S e D ρ⨯=u u r u u r
第三章
静态电磁场及其边值问题的解
① 静电场的基本方程和边界条件
基本方程
积分形式 0S V C D d S dV E dl ρ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩⎰⎰⎰u r u r
u r r ÑÑ 微分形式 =0D D E E ρε⎧∇⋅=⎪⎨∇⋅=⎪⎩u r
u r u
r u r （）
《静电场是有源无旋场》 边界条件12()0n e E E ⨯-=u u r u u r u u r 12()n S e D D ρ⋅-=u u r u u r u u r
② 标量电位φ满足的边界条件 一般情况121
2S n n
ϕϕ
εερ∂∂-=-∂∂ 分界面上不存在自由面电荷0S
ρ= 121
2n n
ϕϕ
εε∂∂=∂∂
若第二种媒质为导体，达到静电平衡后导体内部的电场为0，导体表面上电位的边界条件 n
S ϕϕ
ερ=⎧⎪
⎨∂=-⎪∂⎩常数
'()
3'
4r q r r E r r πε-=⋅-r
u
r r u r u r r ()()r E r ϕ=-∇r u r r '
()4q
r C r r ϕπε=
+-r
u
r r ③ 电场的能量2
111222e V V V
W E DdV E EdV E dV
εε=⋅=⋅=⎰⎰⎰u r u r u r u r
电场的能量密度21122e w D E E ε=⋅=u r u
r
④ 磁场的能量m 12V
W H BdV =⋅⎰u u
r u r
磁场的能量密度22m 111222
B w B H H μμ=⋅=
=u
r u u r ⑤ 静态场的边值问题及解的唯一性定理：在场域V 的边界面S 上给定ϕ或
n
ϕ
∂∂的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 内具有唯一解.
⑥ 镜像法：用位于场域边界外虚设的较为简单的镜像电荷来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分
布，在保持边界条件不变的情况下，将分界面移去，这样就把原来有分界面的非均匀媒质空间变换成无界的单一媒质空间来求解.
镜像法的理论依据：静电场解的唯一性定理.
应用镜像法的两个要点：（1）正确找出镜像电荷的个数、位置以及电荷量的大小和符号，以满足边界条件不变为其准则；（2）注意保持待求解的场域（称为有效区）内的电荷分布不变，即镜像电荷必须置于有效区之外.
对于非垂直相交的两导体平面构成的边界，若夹角为=
n
πθ，则所有镜像电荷的数目为21n -个
⑦
矢量磁位A u r
：根据恒定磁场的无散度特征（0B ∇⋅=u r ）可以用一矢量的旋度A ∇⨯u r 来计算磁感应强度B u r ，B A =∇⨯u r u r ，A u r
即为矢量磁位
标量磁位：在没有传导电流的区域（J u r ）由于0H ∇⨯=u u r ，可引入标量磁位m ϕ使得m H ϕ=-∇u u r
在恒定磁场分析中引入A u r
和m ϕ的优点：在均匀、线性和各向同性的磁介质中，矢量磁位满足泊松方程2
A J μ∇=-u r u r 或拉普拉斯方程（0J =u r 时）20A ∇=u r ；在均匀、线性和各向同性的磁介质中，
标量磁位m ϕ满足拉普拉斯方程2
0m ϕ∇
=
⑧ 镜像法例题：
如题4.24（a ）图所示，在0<z 的下半空间是介电常数为ε的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷q ，求：（1）0>z 和0<z 的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q '。

解 （1）在点电荷q 的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。

根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题4.24图（b ）、（c ）所示）
0q q εεεε-'=-+，位于 h z -=
0q q εεεε-''=+， 位于 h z =
上半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q '共同产生，即
101044q q R R ϕπεπε'=+=
'04q πε⎧⎫ 下半空间内的电位由点电荷q 和镜像电荷q ''共同产生，即
224q q R ϕπε''+==
（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为
()1200120()p z z z z E E n P P σε===⋅-=-=021002232
0()()2()()z hq z z r h εεϕϕ
επεε=-∂∂-=-∂∂++
极化电荷总电量为
d 2d P P P S q S r r σσπ∞
===⎰⎰0223200()d ()hq r
r r h εεεε∞
--=++⎰00()q q εεεε-'-=+
第四章 时变电磁场
① 时谐电磁场
{}
()()()(,)(,)(,)(,)Re ()()()y x z j r j r j r j t
r t x x y z x xm y ym z zm r t y r t z r t F e F e F e F e F r e e F r e e F r e e φφφω⎡⎤=++=++⎣⎦
r r r r u u r r r u r u u r u u r u r u u r r u u r r u r r
=Re ()j t m F r e ω•⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
r
（★）
例题：（1）将下面的场矢量的瞬时值形式写为复数形式 (,)cos()sin()z t x xm x y ym y E e E t kz e E t kz ωφωφ=-++-+u r u u r u u r
解：由于(,)cos()cos()2
z t x xm x y ym y E e E t kz e E t kz π
ωφωφ=-++-+-u r u u r u u r
=()()2
Re y x j t kz j t kz x xm y ym e E e e E e πωφωφ-+--+⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
u u r u u r
根据式子★，可知电场强度的复矢量为
()()2
()()y y x x j kz j j kz j jkz m x xm y ym x xm y ym E z e E e e E e e E e e jE e e πφφφφ•
-+--+-=+=-u u r u u r u u r u u r
（2）已知电场强度复矢量()=e cos()m x xm z E z jE k z •
u u r
，其中xm E 和z k 为实常数。

写出电
场强度的瞬时矢量。

解：根据式★，可得电场强度的瞬时矢量
()2(,)Re cos()Re cos()j t j t x xm z x xm z E z t e jE k z e e E k z e πωω+⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
u r u u r u u r
=cos()cos()2
x xm z e E k z t πω+u u r
② 坡印廷矢量：它表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量，其方向就是就是
电磁能量传输的方向
S E H =⨯u r u r u u r
单位瓦特每平方米（描述电磁能量传输的物理量）
题 4.24图（b ）
题 4.24图（a ）
题 4.24图（c ）
③
平均坡印廷矢量：在时谐电磁场中，一个周期T 内的平均能量密度矢量av S u u u r
（即平均坡印廷矢量）
为200
12T av S SdT SdT T π
ω
ω
π
==⎰⎰
u u u r u r u r ，用复矢量来计算则为1Re 2av S E H *
⎡⎤=⨯⎢
⎥⎣⎦u u u r u r u u r
④ 关于坡印廷矢量的例题
第五章 均匀平面波在无界空间中的传播
① 理想介质中的均匀平面波的传播特点：
（1）是一个横电磁波（TEM 波）电场E 和磁场H 都在垂直于传播方向的横向平面内，且存在以下关系
式1n H e E η
=⨯u u r u u r u r 或n E H e η=⨯u r u u r u u r
（2）在传播过程中，电场E 和磁场H 的振幅无衰减，波形不变化。

（3）电场E 和磁场H
同相位
E H
η==
u r u u r
（4
）波的相速p
v =
μ、ε有关，与频率无关，是非色散波
（5）电场能量密度等于磁场能量密度
② 弱导电媒质（满足条件
1σ
ωε
=）
此时α≈
Np/m β
= rad/m
12))22c j j σσηωεωε-=
+≈+
p v ωβ=≈
2π
λβ
=
≈
（2）良导体（满足
1σ
ωε
?）
此时αβ≈≈
(1c
j η≈
=+
p v ωβ=≈
2v f π
λβ
=
=
≈
1
δ
α
=
=
=
③ 电磁波的极化：波的极化表征在空间给定点上电场强度矢量的取向随时间变化的特性，并用电场强度
矢量的端点在空间描绘出的轨迹来描述.
极化的三种状态：
一般情况下，延z 方向传播的均匀平面波的电场可表示为
cos()cos()x xm x y ym y E e E t kz e E t kz ωφωφ=-++-+u r u u r u u r
（1） 直线极化
直线极化的条件：0y
x φφπ-=±或
极化角：=arctan arctan()y ym x xm E E const E E α⎛⎫
=±= ⎪
⎝⎭
（2） 圆极化
圆极化的条件：,2
xm
ym m y x E E E π
φφ==-=±
合成波电场强度的大小：m E
E const ===
极化角：arctan(
)y x
E t E αω==±
当2
y x π
φφ-=
时，为左旋圆极化波；当2
y
x π
φφ-=-
时，为右旋圆极化波
（3） 椭圆极化
（4） 当和不满足上述条件时，就构成椭圆极化波。

直线极化和
圆极化都可以看做椭圆极化的特例。

④ 色散：在同一种导电媒质中，，不同频率的电磁波的电磁波的相速是不同的，这种现象称为色散。

⑤ 例题：
第六章 均匀平面波的反射与透射
①
② 电磁波对分界面的垂直入射
(1)对理想导体平面的垂直入射：
媒质一为理想介质，媒质二为理想导体，则20,1,0c ητ=Γ=-=，即产生全反射，媒质一
中的何成波为驻波。

11()()()2sin i r x im E z E z E z e j E z β=+=-u u r u u r u u r u u r
111
2
()()()cos i r y im H z H z H z e E z
βη=+=-u u r u u r u u r u u r
合成波的特点：1
(0,1,2,)2
n z n λ=-
=L 处为合成波电场的波节点和合成波磁场的波腹点；1
(21)(0,1,2,)4
n z n λ+=-
=L 处为合成波电场的波的波腹点和合成波磁场的波节点；
11E H 和的驻波在时间上有
2π的相移，在空间分布上错开4
λ。

(2)对理想介质分界面的垂直入射
反射系数和透射系数为实数，媒质一中的合成波中的电场为
111z (2sin )j z
x im E e E e
j z βτβ-+Γu u r u u r （）=
合成波电场的最大值：
1max
()
(1)im E z E =+Γu r
出现位置：1max
1,02(=0,1,2,3)(21),04
n Z n n λλ⎧-Γ>⎪=⎨+⎪-Γ<⎩L ，
驻波系数（驻波比）
max min
1=
1E S E +Γ=
-Γ
③ 平面波对介质分界面的斜入射
（1）斯耐尔反射定律r
i θθ=
斯耐尔折射定律
111
222
sin sin k n k n θθ==，
式中，1212
n c c
n v v =
===1和介质2的折射率.
（2）反射系数与透射系数 a)垂直极化入射
2121cos cos cos cos i t
i t
ηθηθηθηθ⊥-Γ=
+ 2212cos cos cos i
i t
ηθτηθηθ⊥
=
+ 且 1τ⊥⊥+Γ=
b)平行极化入射
1212cos cos cos cos i t i t ηθηθηθηθ-Γ=
+P 2122cos cos cos i
i t
ηθτηθηθ=
+P 且 1
2
1ητη+Γ=
P P （3）全反射
临界角2211
arcsin(
)arcsin()c
k n
k n θ==
发生全反射的条件：12i c n n θθ>≥且
发生全反射时
1⊥Γ=Γ=P 透射波沿分界面方向传播，透射波的振幅在垂直于分界面的方向
上呈指数衰减，形成表面波。

（4）无反射
布儒斯特角b
θ= 发生无反射的条件：在12μμ=的条件下，当i b θθ=时平行极化波无反射。

任意极化波以布儒斯特角入射到两种介质（1
2μμ=）分界面时，平行极化分量已全部透射了，
反射波中只包含垂直极化分量。

① 例题：
第七章 导行电磁波
① 导行电磁波的三种模式
根据纵向场分量z E 和z H 存在与否，可将导波系统中的电磁波分为三种模式： （1）横电磁波（TEM ）：00z z E H ==、
传播常数
TEM jk j γ==
相速度
p
v k
ω
=
=
波阻抗
x TEM
y E Z H η=
== （2）横磁波（TM ）：00z z E H ≠=、
z E 满足标量波动方程222
22
0z z c z E E k E x y
∂∂++=∂∂
其传播条件
c f f >=
（工作频率大于截止频率）
传播常数
j γβ==
波导波长
2g
π
λλβ
=
=
>
相速度
p
v v ωβ
=
=>
波阻抗
y x TM
y x E E Z H H =
=-=（3）横电波（TE ）：00z z E H =≠、
z H 满足标量波动方程22222
0z z
c z H H k H x y
∂∂++=∂∂
其传播条件
c f f >=
（工作频率大于截止频率）
传播常数、波导波长、相速度 与上面的相同。

波阻抗
y x
TE
y x
E E Z H H =
=-=
平行双线，同轴线这一类能建立二维静态场的导波系统，可以传输TEM 波；空心波导只能传输TE 波TM 波.
② 矩形波导中波的传播参数
在空心波导中，能传输的模式应满足的条件是
m mn ()[()]c n c f f λλ><或，即工作频率f 高于该模式的截止频率m ()c n f （或工作波长λ小于该
模式的截止波长（m []c n λ））
截止频率m ()c n
f =
截止波长()c mn
c
v
f λ=
=
波导波长
2g
π
λλβ
=
=
>
相速度
p
v v ωβ
=
=>
波阻抗
y x TM
y x E E Z H H ==-=
y x
TE y x
E E Z H H =
=-=
矩形波导中的主摸：截止波长最长的模式称为主模，矩形波导中的主模是10TE 模，其截止波长为2c a λ=.
矩形波导中10TE 模相应的传输功率为
10
10
222
01ab sin ()24a
b
m
m TE TE P E dxdy E Z a Z π=
=⎰
⎰ ② 例题：
第八章 电磁辐射
③ 电偶极子的辐射：在电偶极子激发的电磁场中，21kr
r π
λ
=
=的区域称为近区，其中的电场、磁场
分布与静态电场、磁场分布相同，此区域的场称为感应场
3
0cos 2r Il E j
r θ
πωε=- 3
0sin 4Il E j
r θ
θπωε=- 2
sin 4Il H r φ
θπ=
21kr r π
λ
=
?区域的场称为远区场，又称为辐射场。

此区域的电场、磁场分别为
0sin sin 22jkr jkr Il Il k E j
e j e r r θηθθλλωε--== sin 2jkr Il
H j e r
φθλ-= 这是一个球面波，辐射是有方向性的，通常用E 面和H 面上的方向性图来表示辐射的方向性。

电偶极子的辐射功率为222140()2av r S l P S d S I R πλ=⋅==⎰u u u r u r ，其中22
80()r l R πλ
=称为电偶极子
的辐射电阻
④ 天线的基本电参数：主瓣宽度、副瓣电平、前后比、方向性系数、效率、增益系数、输入阻抗、有效
长度、极化、频带宽度。

⑤ 例题：
已知矩形波导的横截面尺寸为22310a b mm ⨯=⨯，试求当工作波长10mm λ=时，波导中能传输哪些波型？30mm λ=时呢？
解：波导中能传输的模式应满足条件
()mn c λλ< （工作波长小于截止波长）
或 ()mn c f f > （工作频率大于截止频率）
在矩形波导中截止波长为
c λ=
由传输条件
λ<
当=10mm λ时上式可写为 122
2
2m n<101023⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
能满足传输条件的m 和n 为 （1）m=0,n<2有以下波型 01TE
（2）m=1,n<1.95有以下波型 101111TE ,TE ,TM （3）m=2,n<1.8有以下波型 202121TE ,TE ,TM （4）m=3,n<1.5有以下波型 303131TE ,TE ,TM （5）m=4,n<0.95有以下波型 40TE
当=30mm λ时，应满足 12
2
2
2m n<103023⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
（1）m=0,n<0.66（无波型存在） （2）m=1,n<0.5有以下波型 10TE （3）m=2,不满足条件。

故此时只能传输10TE 模。