《信号与系统》第二版_(郑君里)_高等教育出版社课件

u C
(t )
uS
(t )
即u'C
(t)
1 RC
u
C
(t
)
1 RC
u
S
(t
)...
...
........(1)
对于图（b）有
L R
diL (t) dt
iL
(t )
iS
(t )
即i ' L
(t )
R L
iL (t)
R L
iS
(t ) . . . . . . . .... . . . . . . .... . . (2)
例1 在图中，设R＝1，C＝0.5F，试求下列情况下的响应uC (t).
(1)uC (0 ) 4V , us (t) 0; (2)uC (0 ) 0, us (t) 1V ;
(3)uC (0 ) 0, us (t) e3tV (t 0); (2)uC (0 ) 0, us (t) (1 e3t )V (t 0);
uC (t) e2t
t 2e 3 e 2 d
0
2(e2t e3t )V (t 0)
R
+ us (t)
C
-
(4)us (t) (1 e3t )V，由线性叠加性原理的
uC (t) (1 e2t ) 2(e2t e3t )＝(1 e2t 2e3t )V (t 0)
+
uc (t)
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经典法求解微分方程
2)求非齐次方程 y' ' (t) 6 y' (t) 8 y(t) f (t)的特解y p (t) 由输入f (t)的形式,设方程的特解为 y p (t) Bet 将特解代入原微分方程 即可求得常数 B 1/ 3
3)求方程的全解
y (t )
yh (t)
设g (t )在t＝0时加入，对于因果系统，它不可能在t＝0以前引起响应，故
y(0 ) 0, 从而零状态响应y(t) eat
t 0
g( )ea d (t
0 )
此公式为求解一阶系统任意输入时零状态响应yzs (t)的一般公式.
当系统方程已知，强迫函数g（t）和系数a均确定时，带入上式即可求解。
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响应y(t)在t＝0处连续，即y(0+)＝y(0-) 在yt(t＝) 0新处稳有态跃变，即y(0+)≠y(b0-)y(t)
原稳态 a
原稳态 a
新稳态
0
t
0
t
y(0+)＝y(0-)＝a
y(0-)＝a， y(0+) ＝b
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零输入响应与零状态响应（cont.）
uR (t) RiL (t) 联立上式得
+
is (t)
-
R
iC (t) +
C
uc (t)
-
iL (t)
+
L uL (t)
-
带入（5）式得iL
(t )
iS
(t )
C
duC (t) dt
代入（3）式得
L
diL (t) dt
uC (t)
RiL (t)........................(1)
uC'' (t)
R L
uC' (t)
1 LC
uC
(t )
1 C
iS'
(t)
R LC
iS (t)
uC
(t )
1 C
t
[is (t) iL (t)]dt..................(2)
因此对于一般的n阶LTI系统，其微分方程
的形式可以写为 系统响应变量(输出)
将（2）带入（1）并求导一次，整理得
.
.
.
, dn1 dt n1
r(0 )]
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零输入响应与零状态响应（cont.）
零状态响应(受激响应，Zero-State Response: ZSR)
在初始状态为零的条件下，系统由外加输入（激励）信号引起的 响应
一般来说，系统由初始状态引起的ZIR和由外加激励引起的ZSR在 t＝0处可能有两种变化情况：
由一阶方程 y'(t) ay(t) g(t)求解零状态响应的方法
将方程两边同乘 eat得，
eat y' (t) a eat y(t) eat g (t)
即
d dt
[e
at
y(t)]
e at
g (t )
对上式从0 到t积分，得
e at
y(t)
t 0
t ea g( )d
0
即eat y(t) e0- t y(0) t ea g( )d 0
E0e(m) (t) E1e(
全解＝齐次解+特解
m1) (t)
r(t)
...
rh (t
)Emr1ep((1t) ()t
)
Em e(t )
齐次解C0：r (满n) (足t) 右C端1r激(n1励) (te)(t.)..及其Cn各1r阶(1)导(t)数 C都n为r(t零) 的0齐次方程，即
Aeat
-
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零输入响应与零状态响应（cont.）
思考：如果系统中既有初始状态又有外加输入，如 uC (0 ) 4V，us (t) (1 e3t )V 则有完全响应
uC (t) ( 4 e2t 1e2 t 2e 3t )V
零输入响应
零状态响应
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零输入响应与零状态响应
线性动态电路的完全响应 y(t) yzi (t) yzs (t)
零输入响应(储能响应， Zero-Input Response: ZIR)
从观察的初始时刻（例如t＝0）起不再施加输入信号（即零输入），仅 由该时刻系统本身具有的初始状态引起的响应
初始状态：反映一个系统在初始时刻的能量状态的量，例如：电系 统中，电容和电感在t时刻的储能分别为 一般W激c (励t) 都 12是C从utc2＝(t)0,时刻W加L (入t)， 这12 L样iL2系(t统) 的响应区间定为 0为+≤t≤∞。如果系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态定义
解：列写系统微分方程为u'C
(t )
1 RC
uC (t)
1 RC
us (t)
将元件参数代入方程得u'C (t) 2uC (t) 2us (t)
由系统的微分方程的一般表达式知a＝2, 故特征根＝ a＝ 2，g(t) 2us (t).
(1)因在初始状态uC (0 ) 4V情况下, 无外加输入，其响应为零输入响应。
解 : (1)求齐次方程y"(t) 6 y' (t) 8 y(t) 0的齐次解yh (t), t 0, 初始条件y(0 ) 1, y' (0 ) 2,
特征方程为: 2 6 8 0 特征根为: 1 2，2 4
齐次解yh (t) K1e—2t K2e—4t
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算这未组来状响态应称的r为全(k系部) (统“0的过 )初去始”[状信r态息(0（。简),称ddt0r-状(0态）),，..它.,包ddtnn含11 了r(为0
)
]
计
在激励信号加入之后，由于受激励的影响，这组状态从t＝0-到t＝ 0+时刻可能发生变换
这组状r态(k为) (初0始)条件[r（(0简称),0dd+t r状(0态）),
由电路知识应有uC (0 )＝uC (0 ) 4V
根据RC电路的放电原理，ZIR为uC (t)＝uC (0 )e at 4e 2tV (t 0) (2)因us (t) 1V，则在零状态下，有
uC (t) e2t
t 2e2 d
0
(1 e2t )V (t 0)
(3)因us (t) e3tV，则ZSR有
对（4）式两边求导得到iC
(t )
C
duC (t) dt
系统激励信号(电压源或电流源)
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经典法求解微分方程
设激励信号为e(t)，系统响应为r(t)，则可以用一高阶的微分方程表示
C0r (n) (t) C1r (n1) (t) ... Cn1r (1) (t) Cnr(t)
特解的函数形式与激励函数形式有关，见表2－2，将激励代入微分方程 右端，比较系数定出特解。
例 :已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程为 y"(t) 6 y'(t) 8y(t) f (t), t 0, 初始条件y(0 ) 1, y' (0 ) 2, 输入信号f (t) etu(t), 求系统的完全响应y(t ).
r(t) Aeat
化齐 得简次 ：得解C：0的ACa形0ane式nat 是CC形1a1 An如a1 n1.e..at函C数.n..1的a C线nC性1nA组ae0合at ，C令特 n A征 eat方 程 0
，代入上式
对 应 的n个 根a1，a2，，an 称 为 微 分 方 程 的 特 征 根， 则 齐 次 解 为
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零输入响应与零状态响应（cont.）
例2 7 设有如图所示的RC电路，电容两端有起始电压u（ C 0），激 励源为e（t），求t 0时系统响应 电容两端电压u（ C t）。 解：列写系统的微分方程为
d dt
uc (t)
1 RC
uc (t)
1 RC
e(t )
根
据微分方
程
的
一般表达式可
图为一个二阶系统，可以列微分方程
+ uR (t) -
KCL：iC (t) iS (t) iL (t)....................(5) KVL ：uL (t) uC (t) uR (t)
VCR ：u L
(t )
L
diL (t) dt
1
uC (t) C
t
iC ( )d ............................(4)
由（1）（2）可以得到一阶微分方程的一般形式
y'(t) ay(t) g(t)
R
+ us (t) -
图 (a)
+
C
uc (t)
-
+
is (t) R
-
iL (t) L
输入信号的强迫函数 系统响应变量(输出)
图 (b)
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系统的微分方程及其响应（cont.）
自由响应：变化规律取 决于系统的特征根的响 应 强迫响应：变化规律取 决于外加激励的形式
t
e RCuc (t) uc (0 )
1 RC
t
e RCe( )d
0-
R
+
+ e(t) uc (0 ) C
-
整
理
得：uc
(t
)＝e
t RC
uc
(0
)
1 RC
t
e
t RC
e(
)d
0-
零输入响应
零状态响应
+
uc (t)
-
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零输入响应与零状态响应（cont.）
KVL：
uL
(t )
L
diL (t) dt
电压-电流关系-VCR： uC (t)
1 C
t
iC ( )d
uR (t) RiL (t)
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系统的微分方程及其响应（cont.）
图（a）为一个一阶系统，可以列微分方程
RC
duC (t) dt
知a＝
1 RC
，
将
方程
两
边
同
乘
以e
t RC
得
：
t
t
t
e RC
d dt
uc (t)
1 RC
e
u R C c
(t )
1 RC
eHale Waihona Puke Baidu
RC e(t)
即
d dt
[e
t RC
uc
(t
)]
1 RC
t
e RC e(t)
两边求积分得：
t
0-
d d
[eRCuc ( )]d
t
0-
1 RC
e RC e(
)d
t
e RCuc ( ) 0
Zaozhuang Univ.
第二章 连续时间系统的时域分析
物理与电子工程系 高珊
系统的微分方程及其响应
系统的微分方程
描述LTI系统的输入-输出特性
时域分析法
从微分方程出发，在时域中研究输入信号通过系统后响应变化规 律的方法
建立微分方程的基本依据
基尔霍夫定律i(t) 0
KCL：u(t) 0
y p (t)
K1e 2t
K 2e 4t
e 1 t
3
y(0 )
K1
K2
1 3
1
y'(0 )
2K1
4K2
1 3
2
解得K1 5 / 2, K2 11/ 6
y(t) 5 e2t 11 e4t 1 et , 2 6 3
通解(自由响应)
特解(强迫响应)
t0
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iL'' (t)
R L
iL' (t)
1 LC
iL (t)
1 LC
iS (t).....(3)
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) ... a1 y' (t) a0 y(t) bm f (m) (t) bm1 f (m1) (t) ... b1 f ' (t) b0 f (t)
n
rh (t) A1ea1t A2ea2t Aneant
Ai e ai t
i 1
k
如果a1为k阶重根则相对于a1的重根部分的齐次解为( Ait k i )ea1t , i 1
其中常数A1，A2，，An由初始条件决定
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经典法求解微分方程