苏科版七年级下册第8章《幂的运算》解题策略

。通过转
化两个幂的底数或指数，从而使两个幂达到符合相应运算的条件
.具体转化方法如下 :
1.化为底数相同
如果两个幂的底数可以化成同一个数的幂的形式， 那么这两个幂就可以用幂的乘方公式
(a m ) n amn ，把它们化作同底数幂 .
例 1 计算 : 9 a 1 27 2a .
分析 因这两个幂不满足相乘的条件， 故需要转化 .注意到底数 9 和 27 分别是 3 的 2 和 3 次幂，说明这两个幂可以把底数都化成 3，
即:
a1
9
2a
27
2 a1
3 2a
(3 ) (3 )
2a 2 6a
33
8a 2
3.
2.化为指数相同
(1) 当指数相近时，可以反用积的乘方公式
am n a m ga n ，把含较大指数的幂写成两个
幂的积，并使其中一个幂的指数和指数最小的幂的指数相同
.
例 2 计算 : 1038 Байду номын сангаас0 36 .
分析 因幂的减法运算需要指数和底数皆相同，故需要把它们的指数化的相等 指数 38 和 36 很接近，说明可以把它们的指数都化成 36.
(或减法 )运算 .幂的乘法 (或除法 )运算 ;若底数
相同，则底数不变，指数处于上层，则按下表中的降级规律，用对应的加法
(或减法 )运算 .
幂的乘方运算，底数不变，指数降级为乘法运算
.
疑问 :在幂的运算过程中，两个幂不符合上述运算特征怎么办
?
这是学生在学习幂的运算过程中遇到的最常见的困难，解决的方法是“转化”
底数幂的条件，指数又不相近，故可以考虑把指数化成它们的最大公约数
.
即 6 36 324 (63 )12 (32 )12 21612 912 (216 9)12 2712 .
二、求有关幂的等式中未知数的方法 当两个相等的幂的底数相等时，它们的指数也相等，如已知
a2 a x ，则 x 2 ;当两个
相等的幂的指数相等时，它们的底数也相等，如已知
24m ，
∴ m 17 .
三、比较幂的大小的方法 .
当两个幂的底数相同时，通过比较他们的指数可以判断它们的大小
.
如： 320
318 ， ( 1)20
( 1)18 ， ( 1)20
( 1)18 ， ( 1)27
(
1 )
23
.
3
3
3
3
3
3
当两个幂的指数相同时，通过比较它们的底数可以判断它们的大小
.
如： 520 320 ， ( 1)20 (1 )20 ， ( 1) 20 ( 1)20 ， ( 1 )27 ( 1)27 .
m 的值 .
2
分析 因等式两边有三个幂，且字母 m 在指数上，故需要先计算出等号左边的积，使
等号两边各保留一个幂，然后再化底数相等，最后用指数相等列等式
.
∵ 4m 1 812 (2 2 ) m 1 (2 3 )12 22m 2 236 22m 34 ，
(
1 )
4m
( 2)4m
2
∴ 2m 34 4m ，
即
38
10
36
10
2
36
36
10 10 10
2
36
(10 1) 10
37
9.9 10 .
.注意到
(2) 当指数不相近时，可以反用幂的乘方公式
amn (a m )n ，把指数化成它们的最大公约
数.
例 3 计算 : 636 324 .
分析 因这两个幂不符合相除的特征，故需要转化，注意到它们的底数不具备化成同
( agb) m a m gbm
除法
底数相同 a m an a m n 指数相同 a m bm ( a b) m
( a b)m am bm
三级运算
乘方
(a m) n amn [反之 amn (a m )n ]
通过上表可以看出，两个幂的运算公式满足下列三条规律 公式混淆 ):
( 记住这三条规律，可以避免
《幂的运算》解题策略
乘方运算是我们学习了加减乘除运算后的第五种运算，乘方运算的结果称为“幂”
，.
因此，乘方运算也称为幂的运算。在初中数学教材《幂的运算》一章的学习过程中，学生感
觉困难重重，主要原因有两点 : 一是对幂的内涵理解不够，导致计算方法 ( 公式 ) 棍淆 ;二是思
路不明确，无从下手 .本文将通过对运算法则的归类揭示乘方运算的内涵，从而得出解题的
3a xa ，则 x 3 .当两个相等的幂的
底数和指数都不相同时， 则无法直接转化为整式方程求未知数的值， 此时需要转化两个幂的
底数或指数，使它们相同 .当等式两边有多个幂时，需要依据运算符号进行运算，先转化成
只有两个幂的等式再进行求解 .
例 4 若 m 满足等式 : 4m 1 812
(
1 )
4m
，求
11，故可以考虑把指数
化成它们的最大公约数 11.
即 355 (35 )11 24311 ； 444 (4 4 )11 25611 ， 533 (53 )11 12511 .
∵ 125 243 256，
∴ 533 355 444 .
小结 在学习《幂的运算》 这一章节内容时， 记住公式是解题的基础， 熟练掌握转化底
底数相同，则底数不变 ;指数相同，则指数不变 . 幂的乘方运算中，底数不变二 -
3.底数之间的运算， 用原运算符号， 指数之间的运算， 用原运算符号的降级运算符号 (各 运算之间的降级关系如下表 )
幂的加法 (或减法 )运算中，系数处于低层，仍用原运算——加法 (或除法 )运算中，若指数根同，则指数不变，底数仍用原运算——乘法
5
3
5
3
5
3
当两个幂的指数和底数都不相同时， 此时它们不能直接比较大小， 必须先要把它们的底
数或指数化的相等，然后才能比较大小 .
例 5 比较大小 : 355 ， 444 ， 533 .
分析 因这三个幂底数和指数都不相等，故不能直接比较大小，需要转化
.注意到它们
的底数 3、4 、 5 不具备化成同底数幂的条件，指数有最大公约数
1.越低级的运算，对幂的要求越高 幕的加减运算 (一级运算 )，要求两个幂的底数和指数都相同 的底数和底数中有一项相同 ;幂的乘方运算则没有要求 .
;幂的乘除运算， 要求两个幂
2.幂的运算过程中，两个幂的相同部分不变
幂的加减运算中，底数和指数都不变，系数相加减
(即 :合并同类项 ).幂的乘除运算中，
策略
一、幂的运算公式及应用 幂的运算公式如下表 :
运算
先计算幂
后计算幂
一级运算
加法 底同指同 a m a m 2a m 减法 底同指同 5am 2a m 3a m
( a b) 2 a 2 2ab b2 ( a b )2 a 2 2ab b 2
二级运算
乘法
底数相同
mn
a ga
mn
a
指数相同 a m gb m (a gb) m