错位重排公式推导

错位重排：
错位重排是指一种比较难理解的复杂数学模型，是伯努利和欧拉在错装信封时发现的，因此又称伯努利-欧拉装错信封问题。

简介：
表述为：编号是1、2、…、n的n封信，装入编号为1、2、…、n的n个信封，要求每封信和信封的编号不同，问有多少种装法？
对这类问题有个固定的递推公式，记n封信的错位重排数为Dn，则D1=0，D2=1，
Dn=（n-1）（Dn-2+Dn-1）此处n-2、n-1为下标。

n>2
我们只需记住Dn的前几项：D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44。

我们只需要记住结论，进行计算就可以。

【例】五个盒子都贴了标签，全部贴错的可能性有多少种？
即全贴错标签，N个项数全部排错的可能数，可以总结出数列：0，1，2，9，44，265，………
可以得到这样一个递推公式：（N-1）*（A+B）=C （A是第一项，B是第二项，C是第三项，N是项数）
s(n)=(n-1) [ s（n-1）+s（n-2）]
s(2)=1,s(3)=2
s(4)=3*(1+2)=9
s(5)=4*(2+9)=44
s(6)=5*(9+44)=265 ....................
公式由来把编号1→n的小球放到编号1→n的盒子里，全错位排列（1号球不在1号盒，2号球不在2号盒，依次类推），共有几种情况？
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设n个球全放错的情况有s(n)种，那么可以有如下思路：
不妨设1号球选择2号盒，接下来会有两种情况：
第一种情况：2号球选择1号盒，剩下（n-2）个球去错排，有s（n-2）种情况
第二种情况：2号球不选择1号盒，则题目可转化为把编号为2→n的小球分别放入编号为1、3、4……→n的盒子错位重排（即2号球不在1号盒、3号球不在3号盒…n号球不在n号盒），相当于n-1个球错位重排，有s(n-1)种
因为1号球可以放到[2,n]中任意一个盒子里，共（n-1）种选择，于是s(n)=(n-1) *[s(n-1)+s(n-2)]
s(1)=0
s(2)=1
s(3)=2
s(4)=3*(1+2)=9
s(5)=4*(2+9)=44
s(6)=5*(9+44)=265 ....................
【例题】四位厨师聚餐时各做了一道拿手菜。

现在要求每人去品尝一道菜，但不能尝自己做的那道菜。

问共有几种不同的尝法？
A．6种B．9种C．12种D．15种
根据4位厨师的错位重排数D4=9，所以由公式可以看出是有9种。