多项式最大公因式性质定理及求解方法

多项式最大公因式性质定理及求解方法

作者：xxx 指导教师：xxx

摘 要 对多项式最大公因式理论中的重要性质定理进行总结归纳及对其中一个性质定理的结构进行进一步的研究，以及研究最大公因式的几种求解方法：因式分解法；辗转相除法；矩阵的初等变换法．

关键词 公因式 最大公因式 辗转相除法 初等变换

最大公因式是多项式理论的核心概念，最大公因式的性质在多项式理论的研究中具有关键作用，本文将分三个方面阐述这些内容：首先总结归纳最大公因式的性质定理；其次对其中的一个重要性质定理作进一步的研究；最后将对最大公因式的求解方法：因式分解法、辗转相除法、矩阵的初等变换法进行研究．

本文所考虑的多项式均为数域F 上的一元多项式环]x [F 内的多项式．

§1．最大公因式的定义及性质

首先我们给出最大公因式的定义：

定义1：设)x (d 是多项式)x (f 与)x (g 的一个公因式，若是)x (d 能被)x (f 与)x (g 的每一个公因式整除，那么)x (d 叫做)x (f 与)x (g 的一个最大公因式．以))x (g ),x (f (表示)x (f 与)x (g 在]x [F 中最高项系数为1的最大公因式．

例1．如果)x (q )x (g )x (f ⋅=，那么)x (g 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．

证明：按定义1．有)x (g 是)x (f 与)x (g 的一个公因式，

设)x (h 是)x (f 和)x (g 的任一公因式，则有：

)x (g |)x (h ，

所以按定义，有)x (g 是)x (f 与)x (g 的最大公因式．

为研究多项式最大公因式的性质定理下面将给出一个引理：

引理1：如果多项式)x (h 是多项式)x (f 和)x (g 的公因式，)x (a 和)x (b 是]x [F 上的两个任意多项式，那么)x (h 一定是多项式)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．

证明：因为)x (h 是)x (f 的因式，

所以 可设 )x (m )x (h )x (f ⋅=， )x (n )x (h )x (g ⋅=，其中)x (m ，)x (n ∈]x [F ．

又因为 )x (n )x (b )()x (m )x (a )x (h )x (g )x (b )x (f )x (a ⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅x h

)]()()()()[(x n x b x m x a x h +⋅=．

所以 )x (h 是)x (g )x (b )x (f )x (a ⋅+⋅的因式．

注：应用引理1有时可以方便的求两个多项式的最大公因式．

例2：求12x 3x )x (f 3--=和52x 3x )x (g 3

-+=的最大公因式．

解：由上面的引理可知：所求的最大公因式一定是：

)1x (4)x (g )x (f -=+-的因式，

又因为 0)1(f =，0)1(g =，可知所求的最大公因式就是1x -．

定理1:设0)(≠x g ，)x (r )x (q )x (g )x (f +⋅=，其中))(())((x g x r ︒︒∂<∂，则有 ))x (r ),x (g ())x (g ),x (f (= ．

注：定理1的结论可以形象的叙述为：

)()(除式，余式被除式，除式=.

证明：设)x (d 是)x (g 和)x (r 的最大公因式，那么根据引理１得：)x (d 也是)x (f 的因式，从而)x (d 是)x (f 和)x (g 的公因式；其次，设]x [F )x (h ∈是)x (f 和)x (g 的任一公因式，那么由引理１得：)x (h 是)x (q )x (g )x (f )x (r ⋅-=的因式，所以)x (h 是)x (r 的因式.因此, )x (h 是)x (g 和)x (r 的公因式,从而可知)x (h 能够整除)x (d ；所以)x (d 是)x (f 和)x (g 的最大公因式．

根据引理１和定理１不难得到：

定理２：如果)x (f 和)x (g 不全是零多项式，那么)x (f 和)x (g 一定有最大公因式，并且)x (f 和)x (g 的最大公因式，除了一个零次多项式的因式差别之外是唯一确定的．

具体证明过程可参阅[1] 、[2]．

两个多项式的最大公因式存在的一条非常重要的性质：

定理３：若)x (d 是]x [F 的多项式)x (f 和)x (g 的公因式，则以下命题等价：

（i ）)x (d 为)x (f 和)x (g 的一个最大公因式；

（ii ）在]x [F 里存在多项式)x (u 与)x (v 使)x (d )x (g )x (v )x (f )x (u =⋅+⋅.

证明：由(i)推(ii):

若0)x (g )x (f ==，那么0)x (d =，这时]x [F 中任何两个多项式都可以取作)x (u 与)x (v ．

若)x (f 与)x (g 不都等于零，不妨假定0)x (g ≠，用辗转相除法来求（)x (f ，)x (g ）.用)x (g 去除)x (f 应用带余除法，得商式)x (q 1及余式)x (r 1．如果)x (r 1≠0，那么再以)x (r 1除)x (g ，得商式)x (q 2及余式)x (r 2．如果)x (r 2≠0，再以)x (r 2除)x (r 1，得商式)x (q 3及余式)x (r 3如此继续下去，因为余式的次数在带余除法中每次降低，所以作了有限次这种除法后，必然得出这样一个余式0x )(r k ≠，使得)()()(11x q x r x r k k k +-⋅=，于是我们得到一串等式：

)x (r )x (q )x (g )x (f 11+⋅=，

)x (r )x (q )x (r )x (g 221+⋅=，

)x (r )x (q )x (r )x (r 3321+⋅=，

(1)

)x (r )x (q ).x (r )x (r 1-k 1-k 2-k 3-k +=，

)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k +⋅=，

)x (q )x (r )x (r 1k k 1-k +⋅=．

则 )x (r k 就是)x (f 与)x (g 的一个最大公因式，考察等式组（1）的倒数第二个等式，得

)x (r )x (q )x (r )x (r k k 1-k 2-k =⋅-，

令 1)x (u 1=，)x (q )x (v k 1-=，那么上面的等式可以写成 :

)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 11-k 12-k =⋅+⋅． （

3） 由（1）的倒数第三个等式，得

)x (q )x (r )x (r )x (r 1-k 2-k 3-k 1-k ⋅-=．

把)x (r 1-k 的这个表达式带入(3)中，

并令 )x (v )x (u 12=，)x (q )x (v )x (u )x (v 1-k 112⋅-=，所以有

)x (r )x (v )x (r )x (u )x (r k 22-k 23-k =⋅+⋅．

如此继续利用（1）中的等式，最后可得到

)x (r )x (v )x (g )x (u )x (f k k k =⋅+⋅．

但)x (f 与)x (g 的最大公因式)x (d 等于F 中不为零的数c 与)x (r k 的积：

)x (r c )x (d k ⋅=，