05第3章 圆锥投影

由图3-2，设平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影，d 是两经 线的微小夹角 d 的投影，d 是椭球体面上纬度的微小变化(d)而产生投影后 纬线半径的微小增量。
d
S
D
A
C d
d

B
d
D d A
C

d
B
图3-2 圆锥投影中两个面的微分线段
在上式中，尚有常数 和 K 还需要进一步确定。
17

首先研究本投影中长度比(n) 的变化情况。
n
为此先求 n 对 的一阶导数：

r
d dr r dn d d d r2
因为

d Md r
所以
d M d r
18
根据下式
dr d ( N cos ) d ( d d d
10
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经纬线长度比、面积比和角度变形公式：
m AD d AD Md d P mn Mrd n AB d AB rd r
sin

2

a b ab
或
tg (45

4
)
a b
d
S C
D A
d

B
d
d
D d A
C

d
B ’
11
正轴圆锥投影的一般公式为：
对于椭球体：
sin
f ( ) d m Md a b
ab x s cos 2
n

r
P mn
y sin
对于球体：
sin
f ( ) d m Rd a b
0
r0
1
0 N0ctg0
所以
C
2 0
2
S0
27
本投影只有一条无变形的纬线即单标准纬线，故又称为等面积切圆锥投影。
§3.3.2
指定投影区域中两条纬线无长度变形
根据指定条件：1和2上n1= n2=1 ，有 n12= n22=1 。由
n2
得：
2 2
r2

2 (C S ) r2
沿经纬线长度比、面积比和最大角度变形公式：
m之所以取负号在于和 的起算方向相反。
m
E d M Md 或
n
G r r
P mn ) a b
a b sin 2 ab

tg (45

4
9
正轴圆锥投影经、纬线长度比、面积比和角度变形公式推导(第二种方法)：

K , U mn
1 e1 sin e2 U tg ( 45 )( ) , 2 1 e1 sin x s cos , y sin K
1
e1
a2 b2 a2
rU K 2 P m2 n2 ( ) rU 0 r
n
2
2 2
r2

2 (C S ) r2
故
dn2 2 2M 2 4 r Mr (C S )2rM sin 3 2(C S ) sin r 2 d r r




假设在0处有极值，必须使
2(C S0 ) sin 0 r 2 0
化简得
d 2 n 0 M 0 (1 e1 ) n0 0 2 2 2 d0 r0 N0 (1 e1 sin )
2
21
§3.2.1 指定投影区域中一条纬线无长度变形
为了使通过 0 处长度比 n0 无变形，即在该纬线上保持主比例尺不变，有，
n0 1
即
n0
K
r0U 0

x d cos( ) d x ( sin( ))
y d sin( ) d y (cos( ))
8
代入高斯系数：
x 2 y 2 d d d ) ( ) ( cos( ))2 ( sin( ))2 ( ) 2 d d d x y G ( ) 2 ( ) 2 ( ( sin( )) ) 2 ( cos( )) ) 2 2 2 x x y y F 0 E(
K U
1 e1 sin e2 (其中U tg (45 )( ) ) 2 1 e1 sin
1
15
正轴等角圆锥投影的长度比、面积比和角度变形公式：
rU K 2 P m2 n2 ( ) rU 0 r
mn


K
16
正轴等角圆锥投影的一般公式为：
2 2 2 (C s) 2 r r2 x s cos , y sin 1 n , m r n a b P 1 sin 2 ab
2
本投影中仍有两个常数 和 C 待确定。
25
依照前面所使用的方法，先确定长度比最小的纬线。为此先求n2对 的一阶 导数，并使之等于零。 按
d mn 1 Md r
移项后
d
积分得
1

Mrd
2 1 1 (C Mrd ) (C S ) 2
或

2
2

(C S )
式中C为积分常数，S为椭球面上经差为1弧度和纬差为0到的梯形面积。
24
正轴等面积投影的一般公式为：
a cos (1 e12 sin 2 )
1 2 1 2
)
1
1 2 2 2 2 sin (1 e1 sin ) cos (1 e1 sin ) 2 (2e12 sin cos ) 2 a (1 e12 sin 2 )
a
sin (1 e12 sin 2 ) e12 cos2 sin (1 e sin )
2 (C S1 ) r12 2 (C S 2 ) r22
经纬线：正交。
x A A s

y x
A
s
y
a. 投影面同原面的关系
b. 投影面展开后的情况
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图3.1 正轴圆锥投影示意
正轴圆锥投影的极坐标公式：
f ( )

：纬线投影半径； f ：取决于投影性质； ：投影常数； ：经差。
正轴圆锥投影的直角坐标公式：
要使
dn 0 d
则 sin 应为零，所以 sin
以0表示最小长度比的纬圈。
20
为了证实0纬圈的长度比为最小，应证明 n 对 的二阶导数大于零。
d 2n d M M ( (sin )) 2 d d r r r N
以0代入，得:
2 1 2 3 2
a
sin (1 e12 sin 2 e12 cos2 ) (1 e12 sin 2 )
3 2
a
sin (1 e12 ) (1 e12 sin 2 )
3 2
M sin
19
所以
dn M M 2 ( r M sin ) (sin ) d r r r r
K K 1 r1U1 r2U 2
得

K
lg r1 lg r2 lg U 2 lg U 1
r1U 1


r2U 2

本投影具有两条标准纬线，称为双标准纬线等角圆锥投影或等角割圆锥投影 （或 Lambert投影）。
23
§3.3 等面积圆锥投影(Albers)
根据等面积条件P = mn = 1，得：
第三章 圆锥投影 （Conical Projection）
1
圆锥投影的一般公式 等角圆锥投影（Lambert） 等面积圆锥投影（Albers） 等距离圆锥投影 斜轴、横轴圆锥投影
圆锥投影的分析和应用
2
§3.1 圆锥投影的一般公式
圆锥投影的概念
设想用一个圆锥套在地球椭球体上，然后把地球椭球面上的经纬线网按照 一定条件投影到圆锥面上，最后沿着一条母线（经线）将圆锥面切开而展 成平面，就得到圆锥投影。
13
令esin=sin，则
ln d cos e1 2 d ln K ln tg (45 ) e1 ln tg (45 ) ln K cos cos 2 2 tg (45 ) 2 ln K ln U ln K ln tg e1 (45 ) 2 e1为第一偏心率 tg (45 ) e1 K 2 tg (45 )(1 e1 sin ) 2 ) (其中U U 2 1 e1 sin tg e1 (45 ) 2
2 n0 sin 0
26
同样，也可证明n2对的二阶导数大于零，说明n0为最小值。
§3.3.1 指定投影区域中一条纬线无长度变形且长度比为最小
根据投影条件，指定无长度变形所在纬线的纬度为0，其上n0 =1，且为最小。 可得：
2 n0 sin 0 sin 0
因为
n0
将代入，并导出0，则
3
圆锥投影的分类
按变形性质
等角投影、等面积投影和任意投影
按圆锥面与地球椭球体之间的关系
切圆锥投影、割圆锥投影
按圆锥面与地球椭球体所处的不同位置
正轴圆锥投影、横轴圆锥投影、斜轴圆锥投影
4
5
正轴圆锥投影的一般公式
纬线：投影为同心圆圆弧；
经线：投影为相交于一点的直线束，且夹角与经差（）成正比；
d


Md r

(1 e12 )d (1 e12 sin 2 ) e12 cos2 ln ln K d ln K (1 e12 sin 2 ) cos (1 e12 sin 2 ) cos d e1 cos2 e1 d ln K cos (1 e12 sin 2 ) cos
ab x s cos 2
n

R cos
P mn
y sin
12
§3.2
等角圆锥投影（Lambert）
等角圆锥投影条件：
m n (或a b)
将长度比公式代入，得：
或
0

改写为：
d Md r

积分：
d Md N cos
x s cos
x s s
y sin
s：纬线s 的投影半径，
在一定投影中是常数。
A
y
x
y
图3.1 正轴圆锥投影示意
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圆锥投影经、纬线长度比、面积比和角度变形公式：
一般公式：
x s cos
y sin
f ( )
对上式求偏导数：
1
K
r0U 0

由于制图区域中只有一条纬线无长度变形，表明0处长度比n0为最小，其余纬 线上的长度比皆大于1，即
sin 0
该投影在制图区域内具有一条标准纬线，称为等角切圆锥投影。
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§3.2.2
指定投影区域中两条纬线无长度变形
在投影区域内，确定纬度为1和2的两条纬线，并要求其长度比都等于1。 条件为n1 = n2 =1，亦即
式中 K 为积分常数，当 = 0 时， = K，故 K 为赤道的投影半径。
14
或按照以下方法进行积分
ln
d e cos e1 1 2 2 d ln K cos 1 e1 sin
1 1 1 ln tg (45 ) e1 ( )d (e1 sin ) ln K 2 2 1 e1 sin 1 e1 sin e e ln tg (45 ) 1 ln(1 e1 sin ) 1 ln(1 e1 sin ) ln K 2 2 2 1 e1 sin e21 ln tg (45 )( ) ln K ln U ln K 2 1 e1 sin