(整理)定积分应用二重积分三重积分.

积分的应用

定积分的应用 平面图形面积

1、图形由0)(≥=x f y ,a x =,b x =及0=y 围成：

⎰=b

a

dx x f A )(.

2、 图形由)(x f y =,)(x g y =,a x =及b x =围成：

⎰-=b

a

dx x g x f A )]()([,

其中：],[),()(b a x x g x f ∈≥.

3曲线由参数方程)(),(t y y t x x ==给出时，在],[21t t t ∈上所围图形的面积公式为

dt t x t y A t t )()(2

1

'=⎰

4曲边扇形的面积

由曲线)(θϕ=r 及矢径)(,βαβθαθ<==所围成的曲边扇形的面积公式为

θ

θϕθβ

α

βαd d r A ⎰⎰==22)]([2121

例1求由x y 22

=,4-=x y 所围成的图形的面积A .

解：由 ⎩⎨⎧-==4

22x y x y 得 ⎩⎨⎧-==22y x 或 ⎩⎨⎧==48

y x .

⎰--+=4

2 2]21)4[(dy y y A .18642

14

232=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-+=-y y y

例2

计算由曲线3)cos 1(=+θr 和直线1cos =θr 所围成图形的面积

解：⎩⎨

⎧==+1

cos 3)cos 1(θθr r 解之得3

,2πθ±==r . 则 θθ

θθθθπ

π

πd d S ]cos 1)cos 1(9[]cos 1)cos 1(9[2130223322⎰⎰-+=-+=- 3cos 29][tan 2

cos 229cos 1)cos 1(960430304302302-=-=-+=⎰⎰⎰⎰ππππ

πθθθ

θθθθt

dt d d d 3

23]tan 31[tan 293)tan 1(sec 2960360

22=-+=-+=⎰ππ

t t dt t t

平面曲线的弧长

光滑（即连续可微分的）曲线)(x y y =在区间[a ，b ]上的弧长公式为

dx y s b

a

21'+=⎰

.

曲线由参数方程)(),(t y y t x x ==给出，则t 在区间[a ，b ]上的弧长为

⎰

'+'=b

a

dt t y t x s )()(22.

曲线由极坐标方程)(θr r =给出，则曲线上弧AB 的长为

⎰

⎰

'+==B

A

d r r ds s B A θθθθθ)()(22）

（）

（.

例 计算曲线]2

,0[,2πθθ∈=r 的弧长（如图7—5所示） 解法1 （对θ的积分）,2θθd dr =得r

dr d 2=θ，弧微分

θθθθd rd dr ds 2

2

2

4)()(+=+= 1)]16

1[(38])4[(31423

2023

2202

2

3

-+=+=+=⎰πθθθθπd S 解法2 （对r 的积分）θ从0到2

π

，则r 由0变到42

π，而dr r ds 4

1+=.由上可得

弧长为]1)16

1[(38])41[(38412

3

240234

2

2

-+=+=+=

⎰

πππr dr r S 旋转体的侧面积

1函数)(x f y =在],[b a 上绕x 轴旋转的旋转体的侧面积公式为dx x f x f S b

a )(1)(22'+=⎰π.

2曲线],[),(d c y y x ∈=ϕ绕y 轴旋转所成曲面的表面积公式dy y y S d c )(1)(22ϕϕπ'+=⎰.

例1 计算圆222R y x =+在21x x x ≤≤上的弧段绕x 轴旋转一周所形成的球面的表面积 解对曲线22x R y -=,21x x x ≤≤应用公式得

)(22121222

1

2

1

x x R Rdx dx y y S x x x x -=='+=⎰⎰πππ

当R x R x =-=21,时，则得半径为R 球的表面积公式24R S π=

如果平面曲线由参数方程βα≤≤⎩⎨

⎧==x t y y t x x )

()(给出，那么由它绕x 轴旋转所得旋转体的

侧面积公式为dt t y t x t y S ⎰'+'=β

α

π)()()(222. 例2 计算由星形线⎪⎩⎪⎨

⎧==t

R y t R x 3

3

sin cos 绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积。 解 由曲线的对称性及公式得

220

42

2

02

2

2

2

3

5

12cos sin 12)cos sin 3()sin cos 3(sin 22R tdt t R

dt t t R t t R t R S ππππ

π

=

=+⋅=⎰

⎰ 例3 求抛物线)0(202x x px y ≤≤=绕x 轴、y 轴旋转所成曲面的表面积