线性代数知识点汇总第一章
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线性代数知识点汇总第一章
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线性代数知识点总结
第一章 行列式
第一节：二阶与三阶行列式
把表达式11221221a a a a -称为
1112
2122
a a a a 所确定的二阶行列式，并记作
1112
2112
a a a a ，
即1112
112212212122
.a a D a a a a a a =
=-结果为一个数。
同理，把表达式112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++---称为由数
表11
1213
21
222331
32
33a a a a a a a a a 所确定的三阶行列式，记作1112
13
2122
23313233
a a a a a a a a a 。 即111213
2122
23313233
a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231,a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- 二三阶行列式的计算：对角线法则
注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。 利用行列式计算二元方程组和三元方程组：
对二元方程组1111221
2112222
a x a x
b a x a x b +=⎧⎨
+=⎩
设1112
2122
a a D a a =
≠1121222
b a D b a =
111
2212
.a b D a b =
则1122221111122122
b a b a D
x a a D
a a ==
，
1112122211122122
.a b a b D
x a a D
a a ==
对三元方程组111122133121122223323113223333
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩，
设11
1213
21
222331
32
33
0a a a D a a a a a a =≠，
1
121312
22233
3233b a a D b a a b a a =，1111322122331333a b a D a b a a b a =，11
12
1
32122231
323
a a
b D a a b a a b =， 则11D x D =
，22D
x D =，33D x D
=。（课本上没有） 注意：以上规律还能推广到n 元线性方程组的求解上。
第二节：全排列及其逆序数
全排列：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）。
n 个不同的元素的所有排列的总数，通常用P n (或A n )表示。（课本P5）
逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。 排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）
计算排列逆序数的方法：
方法一：分别计算出排在1,2,,1,n n -L 前面比它大的数码之和即分别算出1,2,,1,n n -L 这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。 方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）
第三节：n 阶行列式的定义
定义：n 阶行列式111212122
212
=
L L M M O M L
n n
n n nn
a a a a a a D a a a 等于所有取自不同行、不同列的n 个元素的乘积 1212n p p np a a a L 的代数和，其中p 1 p 2 … p n 是1， 2， … ，n 的一个排列，每一项的符号由其
逆序数决定。()()
1112112222112211220100n
t n n nn nn nn
a a a a a D a a a a a a a =
=-=L L L
L L M M O M L
也可简记为()det ij a ，其中ij a 为行列式D 的（i ，j 元）
。 根据定义，有()()
121212111212122212121=
=-∑L L L L
L M M O M L
n n n n
t p p p n p p np p p p n n nn
a a a a a a D a a a a a a 说明：
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一