理论力学(2)
理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
力F对x、y、z轴之矩为： Mx (F) = 0
M y (F) = 0
4 M z (F) = − Fd 5
法2：根据力对轴定义 ：
4 M z ( F ) = M z ( Fx ) = − Fd 5
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 分布荷载专题
分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷 若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 载。若分布荷载可以简化为沿物体中心线分布的平行力， 则称此力系为平行分布线荷载 简称线荷载 平行分布线荷载， 线荷载。 则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
已知： 三角形分布载荷的q、 已知 ： 三角形分布载荷的 、 梁长l， 合力、 梁长 ， 求 ： 合力 、 合力作用 线位置。 线位置。 l x 1 FR = ∫ qdx = ql 解：合力 0 l 2 设合力作用线距离A点距离为 点距离为d 设合力作用线距离 点距离为 y
B
问题: 如何用数学 问题 工具描述非共点力
F
A B
F
系对刚体的作用效
D
A
F
应?
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
返回
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对点之矩 ♣ 力对轴之矩 ♣ 合力矩定理 ♣ 分布荷载专题
2.1 力对点之矩与力对轴之矩
力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量 绕某一点转动效应的度量。 ♣ 力对点之矩：力使物体绕某一点转动效应的度量。
2l
3
l
3
q2
q1
l
第2章 力矩的概念和力系的等效与简化 章
理论力学第二章冯维明主编
与同号，刚体加速转动； 与异号，刚体减速转动。
Theoretical Mechanics
单位：弧度/秒2 (rad/s2 ) 或1/秒2 (1/s2 )
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第二章
刚体的基本运动
§2.3 转动刚体内各点的 速度与加速度
Theoretical Mechanics
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2.3 转动刚体内各点的速度与加速度
从动轮B 节圆半径r2 求轮B的角速度2（转速n2）
设两齿轮的节圆之间无相对滑动，接触点M1、 M2具有相同的速度v。
Theoretical Mechanics
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2.4 轮系的传动比
n1π v r1 1 r1 30 n2π v r2 2 r2 30
r1 2 1 , r2 r1 n2 n1tical Mechanics
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2.5 角速度和角加速度及点的速度和加速度的矢量表示法 定轴转动的刚体上任一固定矢量b对时间的变化率
b =常数，固结于定轴转动的刚体上，角速度为
db 结论 ωb dt
证：由于
。
b rB rA
∵ b 固结于刚体上
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2.2 刚体的定轴转动
定轴转动：在运动过程中， 刚体内（或其扩展部分）有 一条直线始终保持不动。 转轴：固定不动的直线。
Theoretical Mechanics
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2.2 刚体的定轴转动
转动方程
平面Ⅰ：固定且通过z轴
平面Ⅱ：与刚体固连
显然平面Ⅱ的位置确定了， 此刚体的位置也就确定了。
Theoretical Mechanics
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第二章
刚体的基本运动
例 题
理论力学2虚位移原理
7
2. 解析法 适用于完整、定常、双面约束
例：求A和B两点的虚位移
O
x
解：选1、2为系统的广义坐标，直角坐标原
点选在固定点O，则A、B坐标可表示为：
a
1 A(x1, y1)
x1 a sin1 y1 a cos1
x2 a sin1 b sin2 y2 a cos1 b cos2
y
2 b B(x2, y2)
0
m3 g
i 1
1. 分析主动力作用点的虚位移
2. 求主动力的虚功之和
14
rA
A
rC1
m1 g
M
O
rC2
m2g
rB
BF
解：
W 0
Fr M 0 m3 g B
rA rB rA rB L
FL M (FL M ) 0 0
LF M 0 M L F
15
例: 图示椭圆规机构,连杆A、B长为l,，杆重和摩擦力不计，
0
i 1
广义力及以广义力表示的质系平衡条件
k
Q jq j 0
j 1
广义力
任意点的虚位移与广义坐标虚位移的关系：
xi yi
zi W
xi
q1
yi
q1
zi
q1
n
i 1
q1
xi q2
q1
yi q2
q1
zi q2
r Fi
•
r ri
q2 q2 q2
L L L
n i 1
xi qk
r m2 g
解：根据虚位移原理
2
{Fixxi Fiyyi} 0
x1 l1 cos y1 l1 sin x2 l1 cos l2 cos y2 l1 sin l2 sin
理论力学第二章(力系的等效与简化)
z
x c
F
b
o
o x
a
M y ( F ) M o ( F ) Fc
F
M z ( F ) M o ( F ) Fa
15
2019年4月16日星期二
《理论力学》
3、力对点之矩与力对通过 该点的轴之矩的关系 （转动效果的度量）
z
Fz F
y
x A
o
y
力对点之矩矢：
M o (F ) r F
Fx Fxy cos Fx F sin cos
Fy
F
O Fx x
Fy Fxy sin
y F y F sin sin
Fxy
2019年4月16日星期二
Fz F cos
6
力的分解：
F Fx Fy Fz
力F在直角坐标系中的
Fz z
F
O x
Fy
解析式
Fx
2019年4月16日星期二
力矩的符号
M O F
2019年4月16日星期二
力偶矩的符号
M
27
《理论力学》
力偶系和力偶系的合成
MR =M1+M2+…+Mn
M
力偶系
2019年4月16日星期二 28
《理论力学》
§2-3 力系等效定理
1.力系的主矢和主矩 Fn 。 设刚体上作用一平面任意力系F 1 、F 2 · · · · · ·
的夹角可为任意值。 的夹角为90o。
36
在平面任意力系， M与 R
2019年4月16日星期二
思考： 主矢,主矩与简化中心的位置有无关系?
主矢：作用在简化中心，大小和方向却与中心的位 置无关； 主矩：作用在该刚体上，大小和方向一般与中心的 位置有关。
理论力学第二章(2)
合力FR 的大小等于原力系的主矢
合力FR 的作用线位置
MO FR
小结：平面任意力系简化结果讨论
主矢
FR 0
FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最后结果
说明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心的位置无关
平衡
与简化中心的位置无关
21
简化为一个力：
c os (FR
,
i)
Fx FR
,
cos(FR ,
j)
Fy FR
原力系的主矢与简化中心O的位置无关
主矩： 原力系中各力对简化中心O之矩的代数和称为原力
系对点O的主矩。
n
M O M O (F1) M O (F2 ) ...... M O (Fn ) M o (Fi ) i 1
主矩与简化中心的选择有关
称点O为简化中心 F1’、F2’、….Fn’平面汇交力系，合力为FR’
M1、M2、….Mn平面力偶系，合力偶矩为MO
10
1、主矢和主矩
FR’=F1’+F2’+….+Fn’=F ’= F
主矢：量（简平称面为力主系矢中）所有各力的矢量和FR′称为该力系的主矢
主矢FR′的大小和方向余弦为：
FR (Fx )2 (Fy )2
11
平面任意力系向作用面内一点简化
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（复杂力系）
（两个简单力系）
汇交力系 力偶系
力，FR‘(主矢) ， (作用在简化中心)
力偶 ，MO (主矩) ， (作用在该平面上)
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
理论力学课件-02第二章静力学(2)
例：起重机的挂钩。
3
第二章 平面汇交力系与平面力偶系
§2–1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2 平面汇交力系合成与平衡的解析法 §2–3 平面力对点之矩的概念及计算 §2–4 平面力偶
4
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、平面汇交力系的合成
1.两个共点力的合成
力偶矩矢量有关.
45
力偶在任何轴上的投影为零，本身又不平衡。
y
F
d
F'
x
力偶不能合成为一个力，不能用一个力来等效 替换；力偶也不能用一个力来平衡，只能由力偶来 平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。
46
力偶对平面内任意一点的矩： MO (F , F ) MO(F ) MO(F) F(x d) F x
力对刚体可以产生 移动效应—用力矢度量 转动效应—用力对点的矩度量
F
O—矩心
h —力臂
o
h
MO(F) F h
+-
37
B
F o rA
h
MO(F) F h
2AOB
说明：① M O (F )是代数量，逆时针为正
②单位N·m，工程单位kgf·m。
38
二、合力矩定理
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩， 等于所有各分力对同一点的矩的代数和
力的平行四边形法则或力三角形
5
2. 任意个汇交力的合成
F1 F2
A F3
F4
R F1 F2 F3 F4 即：R Fi
结论： 平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力
的作用线通过各力的汇交点。
6
F2
F3
R1
理论力学第二章(汇交力系)
2) 合力
力矢量合成的力多边形法则： 1) 各分力首尾相接，次序可变；
R 为封闭边。
z F3 FR F2 F1 x
5
2、空间汇交力系合成的几何法
r r r r r r FR = F1 + F2 + F3 + F4 = Σ Fi ,
合成为一个合力，合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点.
FR = F1 + F2 + L + Fn = ∑ Fi
向两个坐标轴投影，
FR = FRx + FRy = (∑ Fix ) + (∑ Fiy )
2 2 2
2
FR
合力方向 FRx ∑ Fix FRy cos θ = = , sin θ = = FR FR FR 合力投影定理：
∑F
FR
iy
10 合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
FDA
P
FDB=FDC=289N。
18
例 ：起重机起吊重量P = 1 kN， ABC 在 yz 平面内，求：立柱 x’ AB、绳BC，BD，BE 的拉力。 解：B点有四个未知力汇 交，故先从C点求解，
[C] 平面汇交力系 z 750
B 450 E FBE FBD 450 450 D x A y 450 F BA 450 FCB FBC 300 FCA
汇交力系的平衡条件为：力系中各力在x、y、z三个坐标 轴的每一轴上投影之代数和均为零。 14 汇交力系平衡的几何条件为：力多边形自行封闭。
汇交力系平衡条件的应用
例：园柱物置于光滑的燕尾槽内，已知：P 为 500 N,求： 接触处A、B的约束力。
《理论力学》第7章(2)
2sin
2 lim (
t 0
sin
S
v lim 代入 an v t 0 即an n S 2 v 大小 方向: 沿着主法线，指向曲率中心。 an
2 ) d 1 S dS 2 2
9
点作加速运动 v与aτ的符号相同 点作减速运动 v与aτ的符号相反 全加速度a
v 2min 54km h
求：a t 0 , a t 2min
已知：R=800m，
a 常数 v t 0 v0 0 , v 2min 54km h 求：a t 0 , a t 2min
2 由 at 常数, v0 0
解：1 列车作曲线匀加速运动，取弧坐标如上图
得 v at t
①
v 15m s at 0.125m s 2 t 120s 2 a at 0.125m s t 0, an 0
② t 2min 120s
v 2 (15m s) 2 2 an 0.281 s m R 800m
2 a at2 an 0.308m s 2
上的B点为起点，则在任一时刻t有
O
φ
C
B
s BM R 2R 2R t
此刻M点速度的大小为
ds υ 2R dt
其方向垂直于CM，指向如图所示。
此刻M点切向加速度和法向加速度的大小为
υ
ω O φ C α
υ dυ 2 4 R a 0 an R dt
由于此刻M点切向加速度为零，
例6 已知点的运动方程为x=2sin 4t m， y=2cos 4t m，z=4t m。 求：点运动轨迹的曲率半径 。
理论力学 (2)
静力学引言1.刚体：在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变的物体。
2.力：力是物体之间相互的机械作用，这种作用的效果是使物体的运动状态发生变化，同时使物体的形状发生改变。
3.静力学的两个基本要素：力和力螺旋。
4.力系简化或等效替换中的基本概念① 等效力系：两力系对同一物体作用效果相同② 力系的等效替换：把一个力系用与之等效的另一个力系代替 ③ 力系的简化：一个复杂力系用一个简单力系等效替换的过程第一章 静力学公理和物体的受力分析 1. 静力学公理⑴ 公理① 力的平行四边形法则② 二力平衡条件 只受两个力作用而平衡的构件，作用线必在两点连线上。
③ 加减平衡力系原理 ⑵ 推论① 力的可传性 力的三要素为：大小、方向、作用线。
（滑动矢量） ② 三力平衡汇交原理③ 作用力与反作用力 ④ 刚化原理2. 约束和约束力⑴ 基本概念：自由体、非自由体、约束、约束（反）力 ⑵ 几种常见约束① 光滑面约束（N F ） ② 柔索类约束（T F ）③ 光滑铰链约束（径向轴承、圆柱铰链、固定铰链支座等）：因主动力未定时，约束力方向不定，所以用正交分力x F 、y F 表示。
④ 滚动支座（N F ）：垂直于支撑面⑤ 球铰链、止推轴承：三正交分量（x F 、y F 、z F ）3. 物体的受力分析和受力图分析过程⑴ 明确研究对象，取分离体。
（注意是否为整体）⑵ 先标出主动力，再利用二力杆原理、约束力特点、作用力与反作用力原理、三力平衡汇交原理等分析系统中的被动力，从而得出受力分析图。
第二章 平面力系1. 平面力系分为平面汇交力系、平面力偶系、平面平行力系、平面任意力系。
2. 平面汇交力系⑴ 平面汇交力系合成的几何法：力多边形法则 平衡条件：该利系多边形自行封闭。
⑵ 平面汇交力系合成与平衡的解析法（合力R F ）① 建立平面直角坐标系原因：此时分力大小与力的投影成正比，非直角坐标系（平行四边形法则求分力）不成正比。
理论力学教案2
本次讲稿第二章刚体静力学基础第一节静力学基本概念静力学是研究物体的平衡问题的科学。
主要讨论作用在物体上的力系的简化和平衡两大问题。
所谓平衡，在工程上是指物体相对于地球保持静止或匀速直线运动状态，它是物体机械运动的一种特殊形式。
一、刚体的概念工程实际中的许多物体，在力的作用下，它们的变形一般很微小，对平衡问题影响也很小，为了简化分析，我们把物体视为刚体。
所谓刚体，是指在任何外力的作用下，物体的大小和形状始终保持不变的物体。
静力学的研究对象仅限于刚体，所以又称之为刚体静力学。
二、力的概念力的概念是人们在长期的生产劳动和生活实践中逐步形成的，通过归纳、概括和科学的抽象而建立的。
力是物体之间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变，或使物体产生变形。
力使物体的运动状态发生改变的效应称为外效应，而使物体发生变形的效应称为内效应。
刚体只考虑外效应；变形固体还要研究内效应。
经验表明力对物体作用的效应完全决定于以下力的三要素：（1）力的大小是物体相互作用的强弱程度。
在国际单位制中，力的单位用牛顿（N）或千牛顿（kN），1kN=103N。
（2）力的方向包含力的方位和指向两方面的涵义。
如重力的方向是“竖直向下”。
“竖直”是力作用线的方位，“向下”是力的指向。
（3）力的作用位置是指物体上承受力的部位。
一般来说是一块面积或体积，称为分布力；而有些分布力分布的面积很小，可以近似看作一个点时，这样的力称为集中力。
如果改变了力的三要素中的任一要素，也就改变了力对物体的作用效应。
既然力是有大小和方向的量，所以力是矢量。
可以用一带箭头的线段来表示，如图2-1所示，线段AB长度按一定的比例尺表示力F的大小，线段的方位和箭头的指向表示力的方向。
线段的起点A或终点B表示力的作用点。
线段AB的延长线（图中虚线）表示力的作用线。
图2－1本教材中，用黑体字母表示矢量，用对应字母表示矢量的大小。
黑龙江水利专科学校建工系力学教研室一般来说，作用在刚体上的力不止一个，我们把作用于物体上的一群力称为力系。
理论力学 第二章 平面力系的等效简化
y
MO R'
Ox
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0
2 . R' 0 , MO 0
3 . R' 0 , MO 0
4 . R' 0 , MO 0 力系平衡。
1. R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
1. R ' = 0,MO≠0 简化结果
系，否则为空间平行力系。
6
五、 任意力系（一般力系） 若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互
平行，则该力系称为任意力系。 如各力作用线还位于同一平面内，则称为平面任意力系，
简称平面力系；否则称为空间任意力系，简称空间力系。
空 间 力 系
7
平面力系 P26.图2.6
8Байду номын сангаас
§2.２ 力的平移定理
这种合成方法叫力系向O点简化，O称为简化中心。
17
y
MO
AB
R'
主矢： R' F 'i
OI x
大小：R' R'x2 R'y2 ( Fx)2 ( Fy)2
主矢 R
方向：
arccosRx R
arccos Fx F
与简化中心位置无关.
主矩MO
大小：MO mO (Fi )
方向：方向规定
+,
为一合力偶,MO=M 与简化中心 O 无关。
20
2 R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
理论力学第二章 质点组力学-2)
m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)
基础知识-理论力学(二)_真题(含答案与解析)-交互
基础知识-理论力学(二)(总分105, 做题时间90分钟)单项选择题(下列选项中，只有一项符合题意)1.将大小为100N的力，沿x、y方向分解(见图4-1-1)，若F在x轴上的投影为50N，而沿x方向的分力的大小为200N，则F在y轴上的投影为( )。
A．0 B．50N C．200N D．100NSSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A[解析] 由力F在x轴上的投影为50N，沿x轴的分力为200N可得：力F作用方向与x轴夹角是60°，与y轴夹角是90°，从而可得：F在y轴上的投影为0。
2.如图4-1-2所示，三力矢F1、F2、F3的关系是( )。
A．F1+F2+F3=0 B．F3=F1+F2C．F2=F1+F3D．F1=F2+F3 SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:D[解析] 力的计算要满足矢量的运算法则。
3.如图4-1-3所示，等边三角板ABC，边长a，沿其边缘作用大小均为F的力，方向如图所示，则此力系简化为( )。
SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:A[解析] 在此平面汇交力系中，各力在水平向和竖向的投影之代数和都等于0，故汇交力系平衡，FR=0。
因为过A、C点的力都经过A点，故只有过B点的力对A点有弯矩作用，力臂为a，故MA =Fa。
4.某平面任意力系向O点简化后，得到如图4-1-4所示的一个力R和一个力偶矩为M的力偶，则该力系的最后合成结果是( )。
A．作用在O点的一个合力B．合力偶C．作用在O的左边某点的一个合力D．作用在O点右边某点的一个合力SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:C[解析] 由平面任意力系简化原理判断。
5.三铰拱上作用有大小相等，转向相反的二力偶，其力偶矩大小为M，如图4-1-5所示。
略去自重，则支座A的约束力大小为( )。
SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 1答案:B[解析] 正对称结构在正对称力作用下，只有正对称的力，而C点是铰接，故只有轴向力，这样，取左边一半分析，根据力矩平衡以及在x，y方向受力平衡得6.简支梁受分布荷载作用如图4-1-6所示，支座A、B的约束为( )。
理论力学第2章-汇交力系
Fz F k
（2-5）
力在某一轴上的投影，等于该力与沿该轴方向的单 位矢量之标积。
这结论也适用于在任何一轴上的投影。
例如，设有一轴，沿该轴正向的单位矢量为n， 则力F在 轴上的投影为
F F n
设n在坐标系Oxy 中的方向余弦为l1 、l2 、l3 ，则
F Fxl1 Fyl2 Fzl3
F Fxi Fy j Fzk
（2-3）
i、j、k是沿坐标轴正向的单位
矢量，
Fx、Fy、Fz分别是力F在x、y、
z轴上的投影。
2.3.1.1 直接投影法
已知F与坐标轴正向的夹角分别为、、 ， cos
Fz F cos
（2-4）
Fx Fy
F F
i j
cos FR ,
k
FR z FR
F
z
FR
（2-12）
例2-2 如图所示平面汇交力系，已知： F1 20kN F2 30kN
F3 10kN F4 25kN 试求汇交力系的合力矢。
解 (1)求合力矢FR在坐标轴上的投影：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 10 3 15 5 2 12.5 2 12.93 kN
平面汇交力系：各力作用线在同一平面内且 汇交于同一点的力系。
空间汇交力系：各力作用线不在同一平面内 且汇交于同一点的力系。
2.1 汇交力系合成的几何法
2.1.1 合成的几何法
F1
A
F2 FR F3
F4
b F3
c
F2 a FR1
FR2 F4
F1 o FR
d
FR = F1 + F2 + F3 + F4
理论力学：第2章 力系的简化
2-3 沿着直棱边作用五个力，如题 2－3 图所示。已知 F1＝F3＝F4＝F5＝F，F2＝ 2 F，
OA＝OC＝a，OB＝2a。试将此力系简化。
解：将所有力向 O 点简化
Fy＝0 Fz＝F2sin45F4＝0
Fx＝F1F2cos45＝0
M ox | OC | F | OB | F 3aF
Si xi Si
4
2
2.5
0.75
6.25
11 6
4 2.5 6.25
1.67(m)
yc
Si yi Si
4
0.5
2.5
3.5
6.25
8 3
4 2.5 6.25
2.15(m)
所以有 xC 1.67 m, yC 2.15 m 。
2-12 题 2－12 图所示由正圆柱和半球所组成的物体内挖去一正圆锥，求剩余部分物体 的重心。
6)
圆锥： V3
1 3
π
5 2
2
4
题 2-12 图
zc
Vi zi Vi
2 3
5 2
3 10.9375源自 5 2
2
(4
6)
5
5 2
2
4 3
2 3
5 2
3
5 2
2
(4
此力系简化结果。
理论力学-第2章
力偶与力偶系
♣ 力偶的性质
性质二：只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用 性质二：只要保持力偶矩矢量不变， 面内任意移动和转动，其对刚体的作用效果不变。 面内任意移动和转动，其对刚体的作用效果不变。
F F F′ F F′ F′
力偶与力偶系
♣ 力偶的性质
性质三：保持力偶矩矢量不变， 性质三：保持力偶矩矢量不变，分别改变力 和力偶臂大小，其作用效果不变。 和力偶臂大小，其作用效果不变。
力对点之矩与力对轴之矩
♣ 力对轴之矩
力对轴之矩的计算
方法二: 方法二: 将力向三个坐标轴方 向分解,分别求三个分力对轴之 向分解 分别求三个分力对轴之 矩。
力对点之矩与力对轴之 矩♣ 力Βιβλιοθήκη 轴之矩力对轴之矩代数量的正负号
力对点之矩与力对轴之 矩
♣ 力对轴之矩
力对轴之矩与力对点之矩的关系
MO ( F ) = Fd
M = ∑Mi
i=1
n
力偶与力偶系
已知: 结构受力如图所示, 已知: 结构受力如图所示 图中
例题 1
M, r均为已知 且l=2r. 均为已知,且 均为已知 试: 画出 和BDC杆的受力图； 画出AB和 杆的受力图； 杆的受力图 求: A、C二处的约束力。 二处的约束力。 二处的约束力
力偶与力偶系
力系的简化
力系简化的基础是力向一点平移定理
♣ 力向一点平移定理
力系的简化
♣ 力向一点平移定理
力向一点平移
F :力; :力 e O :简化中心 简化中心; 简化中心
α :F与O所在平面 所在平面; 与 所在平面
n :α 平面的法线 平面的法线; en :n 方向的单位矢。 方向的单位矢。
力系的简化
理论力学第二章
解：AB、BC杆为二力杆，
取滑轮B（或点B），画受力图。 用解析法，建图示坐标系
Fix 0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
F1 F2 P
解得： FBA
7.321kN
Fiy 0 FBC F1 cos 30 F2 cos 60 0
2 2
（1）
二.平面汇交力系合成的解析法
FR Fi
(a) (b) (c)
Fi Fxii Fyi j FR FR x i FR y j
将（b）代入（a）式，并注意i 和 j为常矢量，则有
FR ( Fxi )i ( Fyi ) j
（今后为了便于书写，将下标“i”省略。） 比较(c)、(d)等式两边，可得
FCA AC 1 P AB
解得 图2-2
FC B BC 1 P AB 2
FCA 10kN, FCB 5 kN
也可给P一定比例，量出FCA和FCB的大小，如取比例尺为1cm=5kN，作 出封闭的力三角形后，由比例尺量得
FCA 10kN, FCB 5 kN
例2-2 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。
转动效应--取决于力矩的大小、方向。
一、力对点的矩
B
力矩：力绕某一点转动效应的度量。
F
M O ( F ) F d
+
A
d
-
说明：
① M O ( F )是代数量。
② F↑,d↑转动效应明显。 ③ M O ( F )是影响转动的独立因素。
M O ( F )=0。 当F=0或d=0时，
④单位Nm或kNm ⑤ M O ( F ) =2⊿AOB=Fd ,2倍⊿形面积。
理论力学第二章课后习题答案
理论力学第二章课后习题答案·12·理论力系第2章平面汇交力系与平面力偶系一、是非题(恰当的在括号内踢“√”、错误的踢“×”)1．力在两同向平行轴上投影一定相等，两平行相等的力在同一轴上的投影一定相等。
2．用解析法求平面呈报力系的合力时，若挑选出相同的直角坐标轴，其税金的合力一定相同。
(√)3．在平面汇交力系的平衡方程中，两个投影轴一定要互相垂直。
(×)4．在维持力偶矩大小、转为维持不变的条件下，可以将例如图2.18(a)右图d处为平面力偶m移至例如图2.18(b)所示e处，而不改变整个结构的受力状态。
(×)(a)图2.185．如图2.19所示四连杆机构在力偶m1m2的作用下系统能保持平衡。
6．例如图2.20右图皮带传动，若仅就是包角发生变化，而其他条件均维持维持不变时，并使拎轮旋转的力矩不能发生改变。
(√图2.19图2.201．平面呈报力系的均衡的充要条件就是利用它们可以解言的约束反力。
2．三个力汇交于一点，但不共面，这三个力3．例如图2.21右图，杆ab蔡国用数等，在五个力促进作用下处在平衡状态。
则促进作用于点b的四个力的合力fr=f，方向沿4．如图2.22所示结构中，力p对点o的矩为plsin。
5．平面呈报力系中作力多边形的矢量规则为：各分力的矢量沿着环绕着力多边形边界的某一方向首尾相接，而合力矢量沿力多边形半封闭边的方向，由第一个分力的起点指向最后一个分力的终第面汇交力系与平面力偶图2.21图2.226．在直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小但在非直角坐标系中，力对坐标轴的投影与力沿坐标轴分解的分力的大小不相等。
1．例如图2.23右图的各图为平面呈报力系所作的力多边形，下面观点恰当的就是(c)。
(a)图(a)和图(b)就是平衡力系则(b)图(b)和图(c)就是平衡力系则(c)图(a)和图(c)就是平衡力系则(d)图(c)和图(d)就是平衡力系则f2f2f1(a)(b)(c)2.关于某一个力、分力与投影下面说法正确的是(b)。
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ab F
r
O
3 33
D
A
b
y
x
a b F i a b F j
3
3
8
3-2.两平行力的合成 (1)两同向平行力的合成
S¹ D S²
设有两力F1与F2同 向平行.分别作用在刚
F¹
R1
F² R2
体的A,B两点上.
S1
A
S2
CB
S1 + S2 = 0 F1+F2= (F1 +S1)+(F2+S2) R1 F1
力偶矩矢是自由矢量. 14
3-5.力偶系的合成与平衡
设一空间力偶系由 n 个力偶组成,其力偶矩矢 分别为: m1 , m2 ,…, mn .由于力偶矩矢是自由矢 量,则n 个力偶矩矢组成一个汇交矢量系.利用合 矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡.
(1)力偶系的合成
mx = mix
m = mi
my = miy
F4´
F2´
F
合力偶矩.
17
z
解:写出每个力偶矩矢的解析表达式 A
F3
B
m1 = 200 i
m2 = - 500 j D
m3 = 3000 k
m4
=1500cos45o
i+1500sin45o
F1
j
Mx =200 +1500cos45o
=1261 N.m
E
x
F4
F2
F3´ C
o
F1´
Gy
F4´
F2´
z
F´
FQ
o
P
y
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
24
解:取楔块为研究对象.
z
Mp = -0.6i×P j = - 0.6Pk
F´
FQ
mF = 0.6 i×Fk
0.3m
= - 0.6F j
x
o
0.4m
Q´ P´
mQ=(-0.4 j+0.3k)×150i = 60k + 45 j
miy = 0 -0.6F + 45 = 0
A
Q
B
用两个力偶(P, P) (Q, Q).
若不计六面体和竖杆的自
D
重,并假定铰链是光滑的.
Q
C
P
问P与Q的比值应为多少, 才能维持六面体的平衡?链 杆的反力又等于多少?
b
P
22
解:解除约束代之约束反力.
z
S
mp = a i×(-Pk)= a P j mQ = -b j×(-Qk)= b Q i
A
束方位已定 , 则D点约束反力方
位亦可确定.画受力图.
R C
RD = RC = R
CD = a
mi = 0
- 0.5aR + m2 = 0
m2 = 0.5 aR
(2)
A 60o
联立(1)(2)两式得: m1 2 m2
B C
m2
60o D
RD
21
例题3-4. 一正六面体,在其
两对角点B及D用竖直链杆 吊住如图所示.六面体上作
F
My = -500 +1500sin45o = 560.7 N.m Mz = 3000 N.m
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
1261 2 560 .72 3000 2
3302 N.m
18
例题3-3.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们 分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用 ,转向如图.问m1与 m2的比值为多大,结构才能平衡?
3-3.力偶与力偶矩 (1)力偶(F ,F) 由大小相等,方向相反而
不共线的两个力组成的力系.
F
d
A
B
F´
11
力偶所在的平面为力偶作用面.力偶两力 之间的垂直距离 d 称为力偶臂.
力偶没有合力.因此力偶不能与一个力等效,
也不能用一个力来平衡.力偶只能与力偶等效,
也只能与力偶平衡.
m
(2)力偶矩矢
m = rBA×F = rAB×F´
(2)两个大小不等的反向平 行力的合成
F2
C
A
B
AC BC AB F2 F1 R
R F1
10
两大小不等的反向平行力合成的结果为一
合力.其大小等于两力大小之差,方向与两力中 较大的一个相同.而合力作用线在两力作用线 外,并靠近较大力的一边.合力作用线外分两分 力作用点间的距离为两线段,此两线段的长度 与已知两力的大小成反比.
F2 R2
= R1+R2
R
= (F¹+S¹)+(F²+S²)
= F¹+ F²= R 9
根据几何关系得: AC BC AB F2 F1 R
两同向平行力合成的结果为一合力.其大小等 于两力大小之和,方向与两力相同.而其作用线内 分两分力作用点间的距离为两线段,此两线段的 长度与已知两力的大小成反比.
Q
By
mS = (b j -a i)×(-S k)
S
=-bSi-aSj
mix = 0
bQ-bS=0
(1)
miy = 0
aP-aS=0
(2)
联立(1)(2)两式得:
D
Q
C
x
P
b
P
P 1 S = P
Q
23
例题3-5. 若三个力偶作用于楔块上使其保 持平衡.设Q = Q=150N.求力P与F的大小.
Fx =
F 3
= Fy
F
Fz = 3
Fz F
C
a
D
rA = a i + a j + b k
i
jk
mo F
a F
ab FF
3 33
B Fy
A
b
rA
O
y
x
a b F i a b F j
3
3
7
在力F的作用线上取点E
za
E
a
则有OE r a b k
a F
C
i
jk
B
mo
F
0 F
0 F
A
F´ rA
O
d rBA
rB
F
B
13
(2)力偶的等效条件: 力偶矩矢相等.
推论1:只要力偶矩矢保持不变.力偶可以从刚体 的一个平面移到另一个平行的平面内,而 不改变其对刚体的转动效应.
推论2:力偶可以在其作用面内任意转移,而不会 改变它对刚体的转动效应.
推论3:在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任 意改变力偶的力的大小和力臂的长短,而 不改变它对刚体的转动效应.
z
(F2, F2) (F3, F3)和(F4, F4)分
A
F3
B
别作用在正方体的四个平面 D DCFE,CBGF,ABCD和BDEG
F4
F2
F3´ C
内.各力偶矩的大小为
F1
m1= 200N.m; m2 = 500N.m;
o
F1´
Gy
m3=3000N.m;m4=1500N.m,转 E 向如图所示.求此四个力偶的 x
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的
方位;力矩在力矩平面内的转向.
力矩的几何意义: mo(F) =±2OAB面积=±Fd 力矩的单位: N·m 或 kN·m
3
同一个力对不同矩心之矩的关系:
F
mA(F) = r1×F mB(F) = r2×F mA(F) - mB(F) = (r1 - r2)×F
= R ×F
若RF则mA(F) = mB(F) 显然 mA(F) = r1×F = r2×F
r1 A
R
D r2 F
B
r1DBiblioteka Ar2B即与D点在力F作用线上的位置无关.
4
(2)力对点的矩的解析表示
i jk mo(F) = r×F = x y z
Fx Fy Fz
若各力的作用线均在 xy 平面内.则Fz = 0, 即任一力的坐标 z = 0 则有
理论力学
(2)
1
内容提要
三.力偶理论
3-1.力对点的矩 3-2.两平行力的合成 3-3.力偶与力偶矩 3-4.力偶的等效条件 3-5.力偶系的合成与平衡
2
3-1.力对点的矩
z
B
(1)力对点的矩
mo(F)
F
mo(F) = r×F
A
mo(F)表示力F绕O点
O
r
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
心.力矩矢是定位矢量.
• 预习内容 – (1)P83---P91 – (2)P95---P114
26
再见
27
F = 75 N
miz = 0 -0.6P + 60 = 0
P = 100 N
P
y
25
阅读材料和作业
• 阅读材料 – (1)P53---P65; P150---P162 – (2)P64---P83
• 作业 – (1)2---31 ; 2---34 ;4---4 – (2)3---6; 3---15; 3---20
xy mo(F) = x Fx - y Fy = Fx Fy
5
例题3-1.如图所示,力 F 作用在边长为 a 的正立 方体的对角线上.设 oxy 平面与立方体的底面 ABCD平行,两者之间的 距离为b.计算力F对O点 之矩.
za
a
a F
C
D