理论力学(2)

z
(F2, F2) (F3, F3)和(F4, F4)分
A
F3
B
别作用在正方体的四个平面 D DCFE,CBGF,ABCD和BDEG
F4
F2
F3´ C
内.各力偶矩的大小为
F1
m1= 200N.m; m2 = 500N.m;
o
F1´
Gy
m3=3000N.m;m4=1500N.m,转 E 向如图所示.求此四个力偶的 x
F2 R2
= R1+R2
R
= (F¹+S¹)+(F²+S²)
= F¹+ F²= R 9
根据几何关系得: AC BC AB F2 F1 R
两同向平行力合成的结果为一合力.其大小等 于两力大小之和,方向与两力相同.而其作用线内 分两分力作用点间的距离为两线段,此两线段的 长度与已知两力的大小成反比.
若RF则mA(F) = mB(F) 显然 mA(F) = r1×F = r2×F
r1 A
R
D r2 F
B
r1
D
A
r2
B
即与D点在力F作用线上的位置无关.
4
(2)力对点的矩的解析表示
i jk mo(F) = r×F = x y z
Fx Fy Fz
若各力的作用线均在 xy 平面内.则Fz = 0, 即任一力的坐标 z = 0 则有
• 预习内容 – (1)P83---P91 – (2)P95---P114
26
再见
27
mz = miz
对于平面力偶系则有: M = mi
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(2)力偶系的平衡 空间力偶系平衡的必要合充分条件是:力偶系
中所有各力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴 上的投影的代数和等于零.
mix = 0 miy = 0 miz = 0 对于平面力偶系则有: mi = 0
16
例题3-2.有四个力偶(F1, F1)
Q
By
mS = (b j -a i)×(-S k)
S
=-bSi-aSj
mix = 0
bQ-bS=0
(1)
miy = 0
aP-aS=0
(2)
联立(1)(2)两式得:
D
Q
C
x
P
b
P
P 1 S = P
Q
23
例题3-5. 若三个力偶作用于楔块上使其保 持平衡.设Q = Q=150N.求力P与F的大小.
B
C
m1
A 60o
m2
60o D
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解:取杆AB为研究对象画受力图.
杆A B只受力偶的作用而平衡且C
处为光滑面约束.则A处约束反力的
方位可定.
B
RA = RC = R mi = 0 a R - m1 = 0 m1 = a R
AC = a
m1
(1)
A 60o
C
RC
m2
60o D
RA
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取杆CD为研究对象.因C点约
束方位已定 , 则D点约束反力方
位亦可确定.画受力图.
R C
RD = RC = R
CD = a
mi = 0
- 0.5aR + m2 = 0
m2 = 0.5 aR
(2)
A 60o
联立(1)(2)两式得: m1 2 m2
B C
m2
60o D
RD
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例题3-4. 一正六面体,在其
两对角点B及D用竖直链杆 吊住如图所示.六面体上作
z
百度文库F´
FQ
o
P
y
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
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解:取楔块为研究对象.
z
Mp = -0.6i×P j = - 0.6Pk
F´
FQ
mF = 0.6 i×Fk
0.3m
= - 0.6F j
x
o
0.4m
Q´ P´
mQ=(-0.4 j+0.3k)×150i = 60k + 45 j
miy = 0 -0.6F + 45 = 0
在平面问题中则有
A
F´
F
d rBA B
m = ±Fd
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3-4.力偶的等效条件 (1)力偶两力的矩之和定理:
力偶中两力对空间任一点的矩的矢量和等于 该力矩矢 ,而与矩心的选择无关.
证明:在空间任取一点o为矩心.
m
mo(F, F´) = mo(F) +mo(F´) = rB×F + rA× F´ = (rB - rA) ×F = rBA×F =m
(2)两个大小不等的反向平 行力的合成
F2
C
A
B
AC BC AB F2 F1 R
R F1
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两大小不等的反向平行力合成的结果为一
合力.其大小等于两力大小之差,方向与两力中 较大的一个相同.而合力作用线在两力作用线 外,并靠近较大力的一边.合力作用线外分两分 力作用点间的距离为两线段,此两线段的长度 与已知两力的大小成反比.
理论力学
(2)
1
内容提要
三.力偶理论
3-1.力对点的矩 3-2.两平行力的合成 3-3.力偶与力偶矩 3-4.力偶的等效条件 3-5.力偶系的合成与平衡
2
3-1.力对点的矩
z
B
(1)力对点的矩
mo(F)
F
mo(F) = r×F
A
mo(F)表示力F绕O点
O
r
y
转动的效应.O点称为矩
d
x
心.力矩矢是定位矢量.
F4´
F2´
F
合力偶矩.
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z
解:写出每个力偶矩矢的解析表达式 A
F3
B
m1 = 200 i
m2 = - 500 j D
m3 = 3000 k
m4
=1500cos45o
i+1500sin45o
F1
j
Mx =200 +1500cos45o
=1261 N.m
E
x
F4
F2
F3´ C
o
F1´
Gy
F4´
F2´
F
My = -500 +1500sin45o = 560.7 N.m Mz = 3000 N.m
M
M
2 x
M
2 y
M
2 z
1261 2 560 .72 3000 2
3302 N.m
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例题3-3.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们 分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用 ,转向如图.问m1与 m2的比值为多大,结构才能平衡?
ab F
r
O
3 33
D
A
b
y
x
a b F i a b F j
3
3
8
3-2.两平行力的合成 (1)两同向平行力的合成
S¹ D S²
设有两力F1与F2同 向平行.分别作用在刚
F¹
R1
F² R2
体的A,B两点上.
S1
A
S2
CB
S1 + S2 = 0 F1+F2= (F1 +S1)+(F2+S2) R1 F1
Fx =
F 3
= Fy
F
Fz = 3
Fz F
C
a
D
rA = a i + a j + b k
i
jk
mo F
a F
ab FF
3 33
B Fy
A
b
rA
O
y
x
a b F i a b F j
3
3
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在力F的作用线上取点E
za
E
a
则有OE r a b k
a F
C
i
jk
B
mo
F
0 F
0 F
xy mo(F) = x Fx - y Fy = Fx Fy
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例题3-1.如图所示,力 F 作用在边长为 a 的正立 方体的对角线上.设 oxy 平面与立方体的底面 ABCD平行,两者之间的 距离为b.计算力F对O点 之矩.
za
a
a F
C
D
B
A
b
O
y
x
6
za
解:写出力F的解析表达式. a Fx
F = Fy+ Fz + Fx
3-3.力偶与力偶矩 (1)力偶(F ,F) 由大小相等,方向相反而
不共线的两个力组成的力系.
F
d
A
B
F´
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力偶所在的平面为力偶作用面.力偶两力 之间的垂直距离 d 称为力偶臂.
力偶没有合力.因此力偶不能与一个力等效,
也不能用一个力来平衡.力偶只能与力偶等效,
也只能与力偶平衡.
m
(2)力偶矩矢
m = rBA×F = rAB×F´
A
F´ rA
O
d rBA
rB
F
B
13
(2)力偶的等效条件: 力偶矩矢相等.
推论1:只要力偶矩矢保持不变.力偶可以从刚体 的一个平面移到另一个平行的平面内,而 不改变其对刚体的转动效应.
推论2:力偶可以在其作用面内任意转移,而不会 改变它对刚体的转动效应.
推论3:在保持力偶矩大小不变的条件下,可以任 意改变力偶的力的大小和力臂的长短,而 不改变它对刚体的转动效应.
力偶矩矢是自由矢量. 14
3-5.力偶系的合成与平衡
设一空间力偶系由 n 个力偶组成,其力偶矩矢 分别为: m1 , m2 ,…, mn .由于力偶矩矢是自由矢 量,则n 个力偶矩矢组成一个汇交矢量系.利用合 矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡.
(1)力偶系的合成
mx = mix
m = mi
my = miy
A
Q
B
用两个力偶(P, P) (Q, Q).
若不计六面体和竖杆的自
D
重,并假定铰链是光滑的.
Q
C
P
问P与Q的比值应为多少, 才能维持六面体的平衡?链 杆的反力又等于多少?
b
P
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解:解除约束代之约束反力.
z
S
mp = a i×(-Pk)= a P j mQ = -b j×(-Qk)= b Q i
A
F = 75 N
miz = 0 -0.6P + 60 = 0
P = 100 N
P
y
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阅读材料和作业
• 阅读材料 – (1)P53---P65; P150---P162 – (2)P64---P83
• 作业 – (1)2---31 ; 2---34 ;4---4 – (2)3---6; 3---15; 3---20
力矩的三要素:力矩的大小;力矩平面的
方位;力矩在力矩平面内的转向.
力矩的几何意义: mo(F) =±2OAB面积=±Fd 力矩的单位: N·m 或 kN·m
3
同一个力对不同矩心之矩的关系:
F
mA(F) = r1×F mB(F) = r2×F mA(F) - mB(F) = (r1 - r2)×F
= R ×F