三角恒等式证明专题

课 题

三角恒等式证明专题 教学目标

通过对三角函数的综合知识整理及复习达到熟练掌握基础知识，及灵活运用三角函数公式。提高利用数型结合思想分析题意的能力， 重点、难点 三角函数图像及其性质，三角恒等式的证明

考点及考试要求

特点一:考小题,重在于基础.

有关三角函数的小题,其考查的重点在于基础知识:其中,三角函数的解析

式,图象和图象变换,两域(定义域,值域),四性(单调性,奇偶性,对称性,周

期性),反函数, 以及简单的三角变换,(求值,化简,及比较大小),都突出了

对三角函数基础知识的考查.

特点二:考大题,难度略有降低.

由于高中数学教材内容的重新修订,对三角函数的整体要求有所降低,体现

在高考中对有关三角函数的大题(解答题),通过三角公式变形,转换等手段

来考查学生思维能力的题目,其难度有所下降,而比较突出地考查了学生对

基本知识,基本方法,基本技能的理解,掌握和应用情况.

特点三:考应用,常融于三角形之中.

高考中此类题型的考查既能考查解三角形的知识与方法,又能考查运用三

角公式进行恒等变换的技能,故近年来备受命题者的青睐,主要解法是充分

利用三角形的内角和定

问题时,常常体现了三角的工具性作用。

教学内容

知识框架 （1）公式的变形及应用

运用三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。（iii ）对公式的逆用公式，变形式也要熟悉，如:

()()()()()()()()。

，

，，

βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβααββαββα+=+++--+=++=-+=+++tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan cos sin sin cos cos ，αααsin 22sin cos =

22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=。

例1、求)3

tan(tan 3)3tan(tan απααπα-+-+=____________ 分析:将公式 ()βαβαtan tan tan +=+变形为:()()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+即

可得出答案3,故原式等于3 （2）角的变换

解决三角变换问题应认真分析已知式中角与未知式中角的关系,再确定如何利用已知条件,采用哪些公式,避免盲目处理相关角的三角函数式,以免造成不必要的麻烦,要整体地把握公式,认真考虑角的整体运用,这往往要用到常见角的变换,即拼角与拆角，常见的变换如下:如()++=βαα2()βα-，

()()()=--+=+--+=βαββαβαβαβαβ2222，，()ββα+-2，

()()()()α

βαβαβαβββααββαα+--=-+=+-=-+=，，，()⎪⎭⎫ ⎝

⎛--+=+44πββαπα等。 例2、已知13

543sin ,534cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-βπαπ,其中40,434πβπαπ<<<<,求()βα+sin 的值 分析:已知角βπαπ

+-43,4

,与所求角βα+的关系是()βαπαπβπ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+2443,要求()βα+sin ,即求()]2

cos[βαπ

++- 解: 40,434πβπαπ<<<< πβππαππ<+<<-<-∴4

343,042 131243cos ,544sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴βπαπ ∴()]2cos[βαπ++=cos ]443[⎪⎭

⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απβπ=6556- ()βα+∴sin =()]2

cos[βαπ++-=6556- （3）函数名的变换

对于函数名的变换主要是用诱导公式六“函数名改变，符号看象限”即：

;sin 2cos ;cos 2sin ααπααπ=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-就可实现函数名的改变， 同时还要同时还要注意απ

απα-+4

42，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭

⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 也是常用的三角变换。

（i ）熟悉常数“1”的各种三角代换，，常用的有αα22cos sin 1+==6sin 23cos 22sin 4tan π

ππ

π

===；|cos sin |2sin 1ααα±=+，

|cos |22cos 1α=α+，|sin |22cos 1α=α-。

(ii)三角函数式asinx+bcosx 是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为)

x sin(b a 22φ++（取a

b arctan

=φ）是常用变形手段。特别是与特殊角有关的sin ±cosx ，±sinx ±3cosx ，要熟练掌握这两个变换技巧，在解题中将起到事半公倍的效果，同时还要熟悉常用的方法与技巧，如切化弦，异名化同名，异角化同角等。

例3、化简)cos 1(2sin 12α++α+，α∈（π，2π）

分析：

凑根号下为完全平方式，化无理式为有理式

∵ 222)2

cos 2(sin 2cos 2sin 22cos 2sin sin 1α+α=αα+α+α=α+ 2cos 4)12cos 21(2)cos 1(222

α=-α+=α+ ∴ 原式=|2

cos |2|2cos 2sin |2α+α+α ∵ α∈（π，2π）

∴ ),2

(2ππ∈α ∴ 02cos

<α 当π≤α<ππ≤α<π23,4922时，02

cos 2sin >α+α ∴ 原式=2sin

2α 当π<α<ππ<α<π22

3,243时，02cos 2sin <α+α ∴ 原式=)2arctan 2

sin(522cos 42sin 2+α-=α-α- ∴ 原式=⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧π<α<π+α-π≤α<πα223)2arctan 2sin(52232sin 2