第8讲 图形的相似与比例线段

1. 比例线段
◆ 线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a 、b 长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是
a :b=m :n ，或写成
a m
b n
=． ◆ 成比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，
我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． ◆ 比例的基本性质：
（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；
（2）若a :b=b :c ，则2
b =a
c （b 称为a 、c 的比例中项）． ◆ 比例线段
1．,a c
ad bc b d
=⇔=这一性质称为比例的基本性质,由它可推出许多比例形式; 2．a c b d
b d a c
=⇔=(反比定理); 3．a c a b b d c d =⇔=(或d c
b a =)(更比定理); 4．a
c a b c d
b d b d ++=⇔=
(合比定理); 5．a c a b c d
b d b d --=⇔=
(分比定理); 6．a c a b c d
b d a b
c d
++=⇔=
--(合分比定理); 7．
(0)a c m a c m a b d n b d n b d n b
++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+(等比定理)． 2. 相似图形：
(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；
(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 3. 相似多边形：相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等． ◆ 要点诠释：
（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比．
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第八讲 图形的相似与比例线段
【例1】 若==（abc ≠0），求的值．
【例2】 若a b b c c a
k c a b +++===，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．1-
C ．2或1-
D ．不存在
【例3】 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（ ）
（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似； （4）矩形都相似；（5）正六边形都相似． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【例4】 如图，已知四边形abcd 相似于四边形
，求四边形
的周长.
【练1.】 若:2:3x y =，则下列各式不成立的是（ ） A ．
53x y y += B ．13y x y -= C ． 1
23x y = D ．13
14
x y +=+ 训练场
例题精讲
【练2.】 若:3:2a b =，:5:4b c =，则::a b c =（ ）
A ．3:2:4
B ．6:5:4
C ．15:10:8
D ．15:10:12
【练3.】 若a b b c c a
k c a b +++===，则k 的值为（ ）
A ．2
B ．1-
C ．2或1-
D ．不存在
【练4.】 下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽
度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ）
平行线分线段成比例定理
平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成
比例．
如图，AB CD EF ∥∥，则
AC BD CE DF AC BD CE DF
CE DF AC BD AE BF AE BF
====
，，，．若将AC 称为上，CE 称为下，AE 称为全，上述比例式可以形象地表示为====上上下下上上下下
，，，下下上上全全全全
．
当三条平行线退化成两条的情形时，就成了“
A ”字型，“X ”字型．则有
AE AF AE AF EF
BC EF EB FC AB AC BC
⇔
===
∥，． A
B C D E F
F E
D
C B A A
B C
E
F F E
C
B
A 知识导航
【例5】 如图，小明站在C 处看甲、乙两楼顶上的点A 和点E C E A ，、、三点在同一直线上，点B D 、分别
在点E A 、的正下方，且D B C 、、三点在同一直线上，B C 、相距20米，D C 、相距40米，乙楼BE 高15米，则甲楼AD 的高为（小明身高忽略不计） ( )
A ．40米
B ． 20米
C ． 15米
D ． 30米
【练5.】 如图，在ABCD △中，DE BC ∥，4AD =，8DB =，3DE =．
（1）求
AD
AB
的值；（2）求BC 的长．
【练6.】 如图，在APM △的边AP 上任取两点B 和C ，过点B 作AM 的平行线交PM 于点N ，过点N 作
MC 的平行线交AP 于点D ，求证：AP PB PC PD =∶∶．
P
N
M
B C D
A
训练场
例题精讲
A
B
C
D
E
E
D
C
B A
【练7.】 如图， Rt ABC △中，90C ∠=︒，有一内接正方形DEFC ，连接AF 交DE 于G ，15AC = ，
10BC =，求GE ．
【练8.】 例5】如图，在平行四边形ABCD 中，4AC =，6BD =，P 是BD 上的任一点，
过点P 作EF AC ∥，与平行四边形的两条边分别交于点E 、F ，设BP x =，EF y =，则能反映y 与x 之间关系的图象是（ ）
A ． B
．
C ．
D ．
【练9.】
如图，已知梯形
ABCD 中，AD BC ∥，对角线AC 、BD 分别交中位线EF 于点H 、G ，且
121EG GH HF =∶∶∶∶，那么AD BC ∶等于 ．
G
A
B
C D
E
P
H
G
F
E D
C
B
A
一．选择题
1. 如图，用放大镜将图形放大，这种图形的改变是（ ）
A ．相似
B ．平移
C ．轴对称
D ．旋转 2. 下列四条线段中，不能成比例的是 （ ） A. a ＝2，b ＝4，c ＝3，d ＝6 B. a ＝，b ＝，c ＝1，d ＝
C. a ＝6，b ＝4，c ＝10，d ＝5
D. a ＝，b ＝2
，c ＝
，d ＝2
3. 下列命题正确的是( )
A ．所有的等腰三角形都相似
B ．所有的菱形都相似
C ．所有的矩形都相似
D ．所有的等腰直角三角形都相似
4. 某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是相似图形，如图所示，则小鱼上的点(a ，b)对应大鱼上的点( )
A ．(-2a ，-2b)
B ．(-a ，-2b)
C ．(-2b ，-2a)
D ．(-2a ，-b)
4. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则此三角形其它两
边的和是（ ）
A ．19
B ．17
C ．24
D ．21
6.△ABC 与△A 1B 1C 1相似且相似比为2/3，△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2相似且相似比为5/4，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为 ( ) A ． B ． C ．或 D ．
二. 填空题
7. 两地实际距离为1 500 m ，图上距离为5 cm ，这张图的比例尺为_______. 8. 若
，则
________
家庭作业
9．判定两个多边形相似的方法是：当两个多边形的对应边_______,对应角_______时，两个多边形相似.
10.已知
2
=,
3
x
y
则_____,_____,______.
x y x x y
y x y x y
+-
===
++
11.两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别是40°，60°，则另一个三角形的最大角为______,
最小角为____________.
12. 要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6，另一个三角形框架的一条最短边长为2，则另外一个三角形的周长为.
三综合题
13. （1）已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,求线段d的长；
（2）已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段a和b的比例中项，求线段c的长．。