2011中国地质大学土动力学课件3

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土动力学
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动力平衡方程式
d x(t ) dx(t ) m c kx(t ) P(t ) 2 dt dt

2
上式为振动体系的动力平衡方程式。其中方程左边的 三项分别为惯性力、阻尼力和弹性力。右边为干扰力。 符合上式的振动称为有阻尼的强迫振动。若阻尼为零， 则称为无阻尼的强迫振动。 若上式中干扰力为零，通常称为自由振动，又分为有 阻尼的（c≠0）和无阻尼的（c=0）自由振动。

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一、基础振动的形式
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竖向振荡荷载下的地基基础模型
将土视为粘弹性材料，用一个弹簧加一个阻尼器代替土。
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二、简谐运动的性质
位移
x(t ) X sin(t ) T 2
(3 - 1)
完成一个运动循环时： T 2

应力应变相位角φ为应变滞后于应力的角度。阻尼越大， 滞后也越大。 阻尼比λ在土力学中应用很广，是一个重要的特性指标。 此外，能量损失系数ψ、对数递减率δ、非弹性阻尼系 数r和应力应变相位角φ，也都是阻尼参数。
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自由振动时开始由外界得到的能量，一部分将损耗于 克服各种不可避免的阻力，如由材料不均匀性引起的 非弹性阻力、各种连接的摩擦力以及空气的动阻力等。 这些阻力引起的阻尼力作用，必将引起振动随时间的 衰减。阻尼越高，衰减越快。这是一个非常重要的特 性。 在强迫振动下，干扰力的激振频率与振动体系的自由 振动频率相同时，运动的振幅将随振次的增加而迅速 增大，出现所谓的共振现象。阻尼的存在使共振的振 幅大大削减，但仍然可能造成对振动体系很不利的工 作状态。

动力放大系数M为：
M 1
12 1 2

在隔振设计中M称为隔振系数。M越小隔振效 果越好。 隔振设计中一般可不考虑阻尼的影响。
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非弹性阻尼系数r：定义为非弹性阻力R（t）与弹性恢 复力S（t）的比值。非弹性阻力与弹性力之间的相位 角相差1/4周期。
R(t ) r T S (t ) 4
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波动过程中任一点的振动特性取决于波 的类型、波的传播速度或波长、以及在 传播过程中波的能量损失。因此研究时 应区别波的不同类型，研究其传播速度 和发生、发展的变化规律。
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自由振动与强迫振动
自由振动：没有外力作用，仅在系统内 力作用下的振动。 强迫振动：在外力激振下发生的振动。
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基本定义




振动:在随时间变化的力系作用下，如果某一个 质点能够在它的平衡位置附近沿直线作往复运 动，则这个质点的运动称为振动。 波动:对于连续的弹性介质，任一个质点发生振 动时，其能量会传递给周围的质点，从而引起 周围质点的振动。这种振动在介质内的传播过 程称为波动。 最靠近扰动源的部位首先受到影响。介质由于 扰动而引起的变形，将以应力波的形式由近至 远逐渐扩散到介质的各个部位。 波动过程中，振动的质点不随波动而产生移动， 仅在自己平衡位置附近进行振动。
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第三节 波的传播


波动过程中，振动的质点并不随振动的 传播产生位移，而是仍然在自己的平衡 位置附近振动。 连续介质中的波是由介质中的扰动引起 的。 这种由扰动而产生的变形以应力波的形 式传遍整个土体。
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地震产生的地面运动是由于应力波的通过引起 的，而应力波起源于受力的地壳断裂。 弹性介质中波的传播问题对岩土地震工程极为 重要，因为波速与它通过的介质的弹性性质有 关。
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在研究土工抗震问题时，既要研究地震 运动在土体内任一质点所引起的振动的 大小及其对该点的强度变形特性的影响， 又要研究震源的能量向四周土体内各点 传播的基本特点及其传播规律。
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对于一个建筑物的地基，由于地震的波 动作用，在任一时刻各个质点的振动都 各不相同，而且随着时间的增长又各有 变化。应先根据波动规律研究各点的振 动强度幅值随时间的变化关系，再分别 研究在某一定时刻下各点的动力特性， 从而了解地震作用全过程中地基内各点 的动力稳定趋向。这是当前解决土工抗 震问题所普遍采用的方法。
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土柱中的纵向振动

1、一维P波的波动方程
2 2
u 2 u vc 2 2 t x E vc

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2、土柱中的扭转波

一维剪切波的波动方程
2 2
2 vs 2 2 t x G vs

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2、土柱中的扭转波
2
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纵波方程式
u 2 2 v p u 2 t 2 v 2 2 v p v 2 t 2 w 2 2 v p w 2 t 2G vp
2

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剪切波（横波）方程式 2 u 2 2 vs u 2 t 2 v 2 2 vs v 2 t 2 w 2 2 vs w 2 t G vs
第三章 振动与波
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第一节 概述

动荷载作用在土中某处时，该处的土会发 生位移或应变，这种位移又向四面八方传 播，并在传播过程中逐渐衰减，使其影响 只能达到一定的范围。
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Hale Waihona Puke Baidu
因为振动点在不同位置有不同的速度， 振动所产生的动能和位能都随时间而变 化 总能量与振幅z2和弹性常数k成正比 最大加速度

d 2 x(t ) 4 2 X 2 2 X 4 2 Xf 2 dt 2 T
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三、粘滞阻尼的自由振动

一维剪切波的波动方程
2 2
2 vs 2 2 t x G vs

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二、无限弹性介质中波的传播


弹性无限介质中可以有以下两类波： 1、压缩波（也叫初波、P波、膨胀波、非转 动波、纵波） P波只能引起缩胀，不引起旋转，其传播方向 与质点的运动方向一致。振幅小，周期短。 可以在固体介质和液体介质中传播。 2、剪切波（也叫次波、S波、畸变波、等体 积波、横波） S波只能引起旋转，不能引起缩胀，波的传播 方向垂直于质点振动方向。振幅大，周期长。 只能通过固体介质传播。
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压缩波速与剪切波速的关系
vp vs
2G
G
2(1 ) 1 2
对于＝0～0.5 v p 2vs
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压缩波的传播速度比剪切波快
v p 1.67vs

比较一下
vc E 和v p ( 2G )
则判别式可改写为
定义阻尼比 为

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c c cc 2 km
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1、超阻尼（λ>1），系统根 本没有发生任何振动，运动 为非周期的。位移z随时间不 变号地按指数递减 2、临界阻尼（λ=1），运动 也是非周期的，但z的正负号 改变了一次。这是非周期运 动的最小阻尼。 3、弱阻尼（λ<1），将产生 有阻尼的振动。 有阻尼的衰减振动的频率小 于无阻尼自由振动的频率， 所以衰减振动的周期大于自 由振动的周期。阻尼越大， 振动周期越长。当阻尼超过 临界阻尼时，周期无穷大， 即不再有振动。
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对数递减率

由位移微分方程可解得：
2
ln( X n / X n 1 ) 2 / 1

(3 - 6)
δ称为对数递减率,它是反映振幅随时间减小的规 律的一个参数。当λ很小时，上式可以近似为
ln(X n / X n1 ) 2
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这两类波都是通过地球本体传播的，称为体波。 这两类波代表不同形式的物体运动，并以不同 的速度传播。压缩波的传播速度比剪切波快。 波速法是岩土工程原位测试的重要手段。
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各向同性的无限介质的波动方程
2u 2 ( G ) G 2 u t x 2v 2 ( G ) G 2 v t y 2w 2 ( G ) G 2 w t z E (1 )(1 2 ) u v w x y z 2 2 2 2 2 2 x y z
f 2
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位移 速度
x(t ) X sin(t )
(3 - 1)
dx(t ) X cos(t ) X sin(t ) (3 - 2) dt 2 d 2 x(t ) 加速度 － 2 X sin(t）＝ 2 X sin(t＋）＝－ 2 x (3 - 3) dt 2 式(3-2)和(3-3)表明速度和加速度也是简谐的，并可用旋转矢量ωX 和ω2X表示。其速率与矢量X相同，但比位移矢量分别超前π/2和π。 矢量之间的夹角称为相位角。 速度矢量超前位移矢量90°，加速度矢量超前位移矢量180°，超 前速度矢量90°。
阻尼：振动体系的质点在运动过程中由 于内摩擦作用而有一定的能量损失，这 种现象称为阻尼。 自由度：描述一个系统的运动所必须的 独立坐标数定义为系统的自由度。一个 系统可以有若干个自由度。

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第二节 振动理论
振动设备基础的设计应满足位移的要求 由振动引起的位移可分为两大类 土与基础的弹性变形引起的往复式位 移 地基土被压实所产生的永久位移（塑 性变形）
2
(3 - 4)
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振动体系的阻尼可以分为内阻尼（材料 阻尼）和外阻尼（外摩擦阻尼）。 除了由于能量损失引起振幅的阻尼衰减 外，在波的传播过程中，由于能量扩散 也会引起振幅的几何衰减。

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判断土体是否振动的判别式
c 2 km c 2 km c 2 km 令cc 2 km c cc c cc c cc 超阻尼 临界阻尼 弱阻尼 称cc为临界阻尼 超阻尼 临界阻尼 弱阻尼

实际上所有振动的振幅都随时间而逐渐减小， 振动的这个特性称为阻尼。 由弹簧和阻尼器代表的土体粘弹性模型中，阻 尼器代表土的阻尼特性，阻尼系数用C表示。 对于基础的自由振动，运动的微分方程为
d x dx m 2 c kx 0 dt dt
式中m为质量，c为阻尼系数，k为弹性常数。
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自振频率：自由振动的振动频率。 激振频率：强迫振动的激振力的振动频 率。强迫振动的频率与激振频率一致。 激振频率与系统的自振频率无关。 共振：如果激振频率与系统的任一自振 频率重合，就发生共振。共振时的运动 振幅可能会过分地大。

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当振动由振动中心向各个方向传播时，经过某 时刻t，振动所达到各点的轨迹，称为波前 振动相位相同的各点的轨迹称为波面 振动传播方向称为波线 单位时间内振动传播的距离称为波速 振动在一个周期内传播的距离，即振动相位相 同的两点间的最小距离，称为波长
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(3- 7)
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能量损失系数ψ：定义为衰减振动时，一周期内的能 量损失与总能量之比。
2
1
2

动力放大系数M也可以反映出阻尼的大小。
M
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对于无阻尼的强迫振动，振动的最大振幅为：
P0 A m( 2 12 )
ω1为外力圆频率 ω为系统圆频率