清华大学微积分高等数学第13讲不定积分一PPT课件

（b）原函数的结构问题
15.11.2020
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[定理1] 若F(x)是f(x)在区I间 上的一个 原函,数则F(x)C 是f(x) 的全体 原函,数 其中 C为任意常 . 数
[证] （ 1） 证 F(x明 )C是 f(x)在 I上 的
一个原函数
[ F ( x ) C ] F ( x ) f ( x ) x I
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一、原函数与不定积分概念
（1） 从运算与逆运算看
初等数学中加法与减法、乘法与除法、 乘方与开方等，都是互逆的运算。
微分运算是对一个可导函数求导数。 微分运算的逆运算是什麽？
问题：已知函f数 (x),要求这样一个函
F(x),使F(x)的 导 函 数 正 f (是 x).
这就是求原函数和不定积分的运算。
(2) 求f(x)过(0, 1)点的积分曲 . 线
[解] (1) 不是！
因为 g(x)在点 x0处不连续
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(2) 首先要f求 (x)的积分曲线族
分段积分，得 G(x)c12ox2sxCC21
x0 x0
若G(x)是f(x)在R上的原函数
G(x)在x0连续
x l 0 i G m (x ) x l 0 i G m (x ) G (0 ) C21C1
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（2） 从物理问题看
已知运动S规律 S(t),要求瞬时速 v(t)?
求导数v(： t)S(t)
反 问 题: 已 知 瞬 时 速v(度t),要 求 运 动 规 律
S S(t) ? 求 原 函 数 : S(t), 使 S(t) v(t)
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（一）原函数的定义
15.11.2020 在区间 (1, 1)上的一个原. 函数 5
cR, (x3c)3x2 (x3 c)也 是 3x2在R上 的 原.函 数
一个函数若存在一个原函数， 则它必有无穷多个原函数。
关于原函数有两个理论问题:
（a）原函数的存在问题
结论: 若函数 f(x)在区间 I上连,续
则f(x)在区间 I上存在 原函 . 数
由拉格朗日中值定理的推论知 G (x ) F (x ) C x I
即 G ( Байду номын сангаас ) F ( x ) C x I
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（二）不定积分的定义
设f(x)在 区I间 上 存 在 原F函 (x),数
则其 原 函 数 的 F(全 x)体 C 称 为 f(x)
在 区I间 上 的 不 定. 积 分
(3) sinxdx coxsC
(4) coxsdxsinxC
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(5) axdx 1 a x C ln a
(6) exdxex C (7) se2cxdxtan xC
(8) cs2cxdxcoxtC
(9) shxdxchxC
(10) chxdxshxC
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F(x)C是f(x)在I上 的 一 个 原函数
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（2） 证 明 f (x)在I 上 的 任 意 一 个 原 函 都 可 以 表 示 F(x为) C的 形 式
设G(x)是f (x)在I 上 的 任 何 一 个 原
[G (x ) F (x )] G (x ) F (x ) f(x )f(x ) 0 x I
coxsC x0
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G(x)12x21C
x0
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当 x 0 时 , G (x ) six n
当 x0 时 , G (x)x
又G (0)x l i0m cox x s10
1x211 G(0)0
G(0)xl im 0 2 x
0
于 G ( x ) 在 是 ( , ) 上 ,且 可 G ( x ) f( 导 x )
（1） 不定积分与微分互为逆运算
(1) (f(x)d)xf(x) d(f(x)d)xf(x)dx
(2) f(x)d xf(x)C
d(fx)f(x)C
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（2） 线性运算性质
(3 )[f(x ) g (x )d ] x g (x ) d x g (x ) d
(4)k(fx)d xkf(x)dx 综合(3)(4) [k1f1(x)k2f2(x)d] x
coxsC x0
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f(x)dx12x21C
x0
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c oxsC 即yG(x) 1 2x21C
是f ( x)的积分曲线族
x0 x0
令 x0,G (0)1 ,得C0
coxs yF(x)12x21
x0 x0
是f(x)过(0, 1)点的积分曲线
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（三）不定积分的性质
设f (x)在区间I上有定义 .若另有一个 可导函数 F(x), 使xI, 都有
F(x) f (x) 或 dF(x) f (x)dx 则称F(x)是f (x)在I上的一个原函. 数
[例1] F(x) x3 是f(x)3x2 在区间(, )上的一个原.函数
[例2] F(x)arcsxin是f(x) 1 1x2
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( 11 )
1
dx arcxs iC n
1 x2
( 12 )
1 dx arcx coCs
1 x2
( 13 )
1 1 x 2 dx
arctxa C n
作业
P129 习题5.2 1(1). 6. 9.
P133 习题5.3 1(3)(6)(9). 2(3)(5)(11). 3(3)(7)(9)(10). 4(3)(8).
预习：P135—141
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第十三讲 不定积分（一）
一、原函数与不定积分概念 二、基本积分表 三、凑微分法
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k1 f1(x)d xk2 f2(x)dx
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怎样计算不定积分？
不定积分计算的基本思想：
求不定积分是求导的逆运算
导数基本公式——积分基本公式
微分法——积分法
反想
逆运算
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二、基本积分表
(1) xdx x 1 C
1
(2)
1 dx ln x C x
(1)
记作:
积 分 号
被积函数
积
分
f(x)dx F (x)C常数
积分变量
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积分曲线与积分曲线族
y
yF(x)
积分曲线
yF(x)C 积分曲线族
o
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x
x10
[例3] 设f(x) sxinx
x0 x0
co sxC g(x)12x2 C
x0 x0
(1) 问：g(x)是f(x)的不定积分吗