6.0数值分析方法汇总
数值分析(计算方法)总结
第一章绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差是的绝对误差，是的误差，为的绝对误差限（或误差限）为的相对误差，当较小时，令相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：即：绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到的第一位非零数字共有n位，则称近似值有n位有效数字，或说精确到该位。
例：设x==…那么,则有效数字为1位，即个位上的3，或说精确到个位。
科学计数法：记有n位有效数字，精确到。
由有效数字求相对误差限：设近似值有n位有效数字，则其相对误差限为由相对误差限求有效数字：设近似值的相对误差限为为则它有n位有效数字令1.x+y近似值为和的误差（限）等于误差（限）的和2.x-y近似值为3.xy近似值为4.1．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数3．避免大数吃小数4．尽量减少计算工作量第二章非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a) <0, f (b)> 0，有根区间为(a, b)，从x0=a出发，按某个预定步长(例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f(x k)=f(a+kh)的符号，若f(x k)>0(而f(x k-1)<0),则有根区间缩小为[x k-1,x k] (若f(x k)=0，x k即为所求根), 然后从x k-1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k-x k-1|<E为止，此时取x*≈(x k+x k-1)/2作为近似根。
2.二分法设f(x)的有根区间为[a,b]= [a0,b0], f(a)<0, f(b)>0.将[a0,b0]对分，中点x0= ((a0+b0)/2),计算f(x0)。
3.比例法一般地，设[a k,b k]为有根区间，过(a k, f(a k))、(b k, f(b k))作直线，与x轴交于一点x k,则：1.试位法每次迭代比二分法多算一次乘法，而且不保证收敛。
数值分析方法
数值分析方法数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
数值分析方法的核心在于将连续的数学问题转化为离散的计算问题，通过数值计算来逼近解析解，从而得到问题的近似解。
本文将介绍数值分析方法的基本原理、常用技术和应用领域。
数值分析方法的基本原理是利用数值计算来逼近解析解。
在实际问题中，很多数学模型很难或者无法得到精确的解析解，这时就需要借助数值分析方法来求解。
数值分析方法的基本步骤包括建立数学模型、离散化、选择适当的数值计算方法、计算近似解并进行误差分析。
其中，离散化是数值分析方法的核心，它将连续的数学问题转化为离散的计算问题，从而使得问题可以通过计算机进行求解。
常用的数值分析方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
插值法是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法，常用的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
数值积分是一种通过数值计算来逼近定积分的方法，常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等。
常微分方程数值解和偏微分方程数值解是解决微分方程数值解的常用方法，常用的数值解方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
在科学计算中，数值分析方法常用于模拟物理现象、计算数学模型等。
在工程设计中，数值分析方法常用于求解结构力学、流体力学等问题。
在经济分析中，数值分析方法常用于求解经济模型、金融衍生品定价等问题。
总之，数值分析方法已经成为现代科学技术和工程技术中不可或缺的一部分。
综上所述，数值分析方法是一种通过数学模型和计算方法来解决实际问题的技术。
它的基本原理是利用数值计算来逼近解析解，常用的方法包括插值法、数值积分、常微分方程数值解、偏微分方程数值解等。
数值分析方法在科学计算、工程设计、经济分析等领域有着广泛的应用。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解数值分析方法的基本原理和应用价值。
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。
数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。
设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。
则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。
以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。
以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。
大学数学易考知识点数值分析的基本方法和应用
大学数学易考知识点数值分析的基本方法和应用大学数学易考知识点：数值分析的基本方法和应用一、引言数值分析是现代数学在科学计算和工程实践中的应用研究领域，是研究数值计算方法和数值算法的理论与实践的学科。
在大学数学课程中，数值分析是一个重要的知识点，它涉及到数值计算的基本方法和应用。
本文将介绍数值分析的基本方法和应用，以帮助学生更好地理解和掌握这一易考的知识点。
二、数值分析的基本方法1. 插值和逼近插值与逼近方法是数值分析中常用的方法之一，它们用于通过已知数据点构造一个近似函数，以在给定范围内估计未知数据点的值。
常见的插值与逼近方法包括拉格朗日插值、牛顿插值、最小二乘逼近等。
2. 数值微积分数值微积分方法用于对函数进行数值积分和数值微分。
在实际计算中，往往难以通过解析方法求得函数的积分或导数，这时可以利用数值积分和数值微分方法来近似计算。
其中常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则等，数值微分方法包括中心差商法、向前差商法、向后差商法等。
3. 常微分方程的数值解法常微分方程数值解法用于求解无法通过解析方法得到解的常微分方程。
常见的常微分方程数值解法有欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法等，它们根据不同的精度和稳定性要求，选择不同的数值解法来计算常微分方程的近似解。
4. 线性方程组的数值解法线性方程组数值解法是解决线性方程组问题的常见方法。
当线性方程组的规模较大时，无法通过直接求解的方法得到解，此时可以利用数值解法来近似求解。
常见的线性方程组数值解法包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
三、数值分析的应用1. 插值与逼近的应用插值与逼近方法在科学计算和工程实践中有广泛的应用。
例如，在地理信息系统中，插值方法可以用于根据已知地理数据点生成等高线图；在图像处理中，逼近方法可以用于图像的平滑处理和边缘检测。
2. 数值积分的应用数值积分方法在物理学、经济学等领域的科学研究中有重要的应用。
例如，在物理学中，数值积分方法可以用于计算物体的质心、面积、弧长等物理量；在经济学中，数值积分方法可以用于计算经济指标、积分收益等。
数值分析方法讲义
第十章 数值分析方法在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，数值分析中的插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。
插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。
相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍。
§1 数据插值方法及应用在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。
与此有关的一类问题是当原始数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x 精度较高，要求确定一个初等函数)(x P y =（一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即n i x P y i i ,,1,0,)( ==，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。
1、分段线性插值这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。
如果b x x x a n =<<<= 10那么分段线性插值公式为n i x x x y x x x x y x x x x x P i i i i i i i i i i ,,2,1,,)(11111 =≤<--+--=-----可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。
其缺点是不能形成一条光滑曲线。
例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x 轴，由南向北方向为y 轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x 轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y 方向测出南边界点和北边界点的y 坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm ）。
根据地图的比例，18 mm 相当于40 km 。
根据测量数据，利用MA TLAB 软件对上下边界进行线性多项式插值，分别求出上边界函数)(2x f ，下边界函数)(1x f ，利用求平面图形面积的数值积分方法—将该面积近似分成若干个小长方形，分别求出这些长方形的面积后相加即为该面积的近似解。
期末数值分析重点总结
期末数值分析重点总结第一部分：数值逼近（Approximation）数值逼近是数值分析的基础，主要研究如何利用有限的计算资源得到逼近数学问题的有效算法。
数值逼近的主要内容包括多项式逼近、插值和最小二乘等。
1. 多项式逼近多项式逼近是指用一个多项式函数来逼近给定函数的值。
通过选择合适的多项式次数和插值点，可以使得多项式逼近误差最小化。
其中最常用的方法是最小二乘法，它可以通过最小化残差来得到最佳的多项式逼近。
多项式逼近在信号处理、图像处理和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
2. 插值插值是指通过已知数据点的函数值来估计在其他点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值和牛顿插值。
拉格朗日插值通过构造一个满足插值条件的多项式来逼近给定函数。
牛顿插值则利用差商的概念来构造插值多项式。
插值方法在数值微分和数值积分中有广泛的应用。
3. 最小二乘最小二乘是一种在一组离散数据点上拟合曲线的方法。
通过最小化数据点与拟合曲线之间的欧几里得距离，可以得到最佳拟合曲线。
最小二乘法可以用于曲线拟合、参数估计和数据关联等问题。
第二部分：数值解方程（Numerical Solution of Equations）数值解方程是数值分析的重要内容之一，研究如何通过数值计算来求解非线性方程组和线性方程组。
数值解方程的主要方法有迭代法、常微分方程数值解和偏微分方程数值解等。
1. 迭代法迭代法是求解非线性方程组的常用方法之一。
通过不断迭代逼近方程的根，可以得到方程组的数值解。
常用的迭代法有牛顿迭代法和弦截法。
迭代法在计算机辅助设计、优化和数据分析等领域中有广泛的应用。
2. 常微分方程数值解常微分方程数值解研究如何通过数值计算来求解常微分方程。
常微分方程数值解的主要方法有Euler方法、Runge-Kutta方法和线性多步法等。
常微分方程数值解在物理学、工程学和生物学等领域中有广泛的应用。
3. 偏微分方程数值解偏微分方程数值解研究如何通过数值方法来求解偏微分方程。
数值分析计算方法程序汇总
（一）复化梯形公式例：求121?x dx -=⎰程序：#include "stdio.h"void main(){double a,b,s,h,x;int i,n;a=-1.0;b=1.0;n=10;h=(b-a)/n;x=a;s=x*x/2;for(i=1;i<n;i++){x=x+h;s=s+x*x;}s=s+b*b/2;s=s*h;printf("s=%f\n",s);}结果：s=0.680000（二）复化辛普森公式例：求130?x dx=⎰程序：#include "stdio.h"void main(){double a,b,c,s,h,x,y;int i,n;a=0.0;b=1.0;n=10;s=0.0;h=(b-a)/n;x=a;y=x+h;c=(x+y)/2;for(i=1;i<=n;i++){s=s+x*x*x+4*c*c*c+y*y*y;x=x+h;y=y+h;c=c+h;}s=s*h/6;printf("s=%f\n",s);}结果：s=0.250000（三）复化高斯公式例：求220?x dx=⎰程序：#include <stdio.h>#include <math.h>main(){double a,b,h,s,x1,x2;int i,n;a=0;b=2;n=20;s=0;h=(b-a)/n;for(i=0;i<n;i++){x1=a+i*h+h/2*(1/1.732+1); x2=a+i*h+h/2*(1-1/1.732); s=s+x1*x1*x1+x2*x2*x2; }s=h/2*s;printf("s=%f\n",s);}结果：s=4.000000(四）迭代法例：求x=x2的解。
程序：#include "stdio.h"#include<math.h>main(){double x,xl,y,yl;int i,j;x=0.5;xl=x;y=0.5;yl=y;for(i=0;;i++){x=x*x;if(fabs(xl-x)<0.0001)break;else xl=x;}for(j=0;;j++){y=sqrt(y);if(fabs(yl-y)<0.0001)break;else yl=y;printf("x=%f,y=%f\n",x,y);}结果：x=0.000000，y=0.999915（五）牛顿迭代法y=f(x),求f(x*)=0。
数值分析基本概念与方法
数值分析基本概念与方法数值分析是一种应用数学的学科，通过使用数值方法和算法来解决数学问题。
它涉及到将问题转化为数字形式，然后使用计算机进行计算和分析。
本文将讨论数值分析的基本概念和常用方法。
一、误差与收敛性在数值分析中，误差是一个重要的概念。
它指的是数值方法的近似解与真实解之间的差距。
误差可以分为截断误差和舍入误差两种类型。
截断误差是由于使用有限步骤的近似方法而引入的误差，而舍入误差是由于计算机无法存储无限精度的数字而引入的误差。
数值方法的收敛性是指随着使用更精确的近似方法，近似解逐渐接近真实解。
我们通常希望选择收敛性较好的数值方法来获得更精确的结果。
二、插值与拟合插值是一种常用的数值方法，用于根据给定的离散数据点，构建拟合曲线或曲面。
插值方法通过使用已知数据点之间的函数关系来估计未知点的值。
常见的插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
拟合是另一种常用的数值方法，用于找到一个函数或曲线，最能拟合给定的离散数据点。
拟合方法通过选择适当的函数形式和参数来实现。
最小二乘法是一种常见的拟合方法，它通过最小化数据点与拟合曲线之间的误差来确定最佳拟合。
三、数值积分数值积分是计算函数定积分的一种方法。
定积分通常用于计算曲线下面的面积或求解物理问题中的积分方程。
数值积分方法基于将定积分转化为求和或求平均值的问题。
矩形法和梯形法是最简单的数值积分方法。
矩形法将曲线下面的面积近似为由矩形组成的总面积，而梯形法将曲线下面的面积近似为由梯形组成的总面积。
辛普森法则是一种更精确的数值积分方法，它使用二次多项式逼近曲线，并通过拟合曲线下的小区间来计算积分。
四、数值微分数值微分是计算函数导数的一种方法。
导数在数学和物理中具有广泛的应用，如求解微分方程和优化问题等。
常用的数值微分方法包括前向差分法、后向差分法和中心差分法。
前向差分法使用函数在当前点和下一个点之间的斜率来近似导数。
后向差分法使用函数在当前点和上一个点之间的斜率来近似导数。
常用数值分析方法(精品课件)
可能性
计算机的迅速发 展，也使数值分 析得到有效而经 济的成果。
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4
一、数值分析方法概述
有限元法
边界元法
数值分析 的主要求 解方法
数值流 形方法
离散元法
界面 元法
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5
二、几种常见的数值分析方法
1.离散单元法 (DEM)
处理非连续介质——离散单元法
可行的
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THANK YOU ！
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9、 人的价值，在招收诱惑的一瞬间被决定 。20.1 0.292 0.10.2 9Thursday, October 29, 2020
10、低头要有勇气，抬头要有低气。 09:57: 2109: 57:21 09:57 10/29 /2020 9:57:21 AM
14、抱最大的希望，作最大的努力。 2020 年10月 29日星 期四上 午9时5 7分21 秒09: 57:212 0.10. 29
Hale Waihona Puke 15、一个人炫耀什么，说明他内心缺 少什么 。。20 20年1 0月上 午9时5 7分20. 10.29 09:57 Octob er 29, 2020
16、业余生活要有意义，不要越轨。 2020 年10月 29日星 期四9 时57分 21秒0 9:57:2 129 October 2020
常用数值分析方法 理论与应用
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1
主要内容
1、数值分析方法概述 2、几种常见的数值分析方法 3、几点思考
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2
一、数值分析方法概述
求解方法
精确解
数值方法
数值分析学习公式总结
数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。
在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。
下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。
1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。
-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。
2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。
-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。
-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。
3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。
-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。
4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。
-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。
5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。
-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。
6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。
-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。
7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。
-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。
8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。
(整理)数值分析计算方法超级总结
工程硕士《数值分析》总复习题（2011年用）[由教材中的习题、例题和历届考试题选编而成,供教师讲解和学生复习用]一. 解答下列问题:1）下列所取近似值有多少位有效数字( 注意根据什么? ):a) 对 e = 2.718281828459045…,取*x = 2.71828b) 数学家祖冲之取 113355作为π的近似值.c) 经过四舍五入得出的近似值12345，-0.001, 90.55000, 它们的有效 数字位数分别为 位, 位, 位。
2) 简述下名词:a) 截断误差 (不超过60字) b) 舍入误差 (不超过60字)c) 算法数值稳定性 (不超过60字)3) 试推导( 按定义或利用近似公式 ): 计算3x 时的相对误差约等于x 的相对误差的3倍。
4) 计算球体积334r Vπ= 时,为使其相对误差不超过 0.3%,求半径r 的相对 误差的允许范围。
5） 计算下式3418)1(3)1(7)1(5)1(22345+-+---+---=x x x x x x P）（时,为了减少乘除法次数, 通常采用什么算法? 将算式加工成什么形式?6) 递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取*041.12y y =≈= ( 三位有效数字 ) 作近似计算， 问计算到10y 时误差为初始误差的多少倍？ 这个计算过程数值稳定吗 ？二. 插值问题:1) 设函数)(x f 在五个互异节点 54321,,,,x x x x x 上对应的函数值为54321,,,,f f f f f ，根据定理，必存在唯一的次数 （A ） 的插值多项式)(x P ，满足插值条件 ( B ) . 对此，为了构造Lagrange 插值多项式 )(x L ,由5个节点作 ( C ) 个、次数均为 ( D ) 次的插值基函数)(x l i = _（E ） ， 从而得Lagrange 插值多项式)(x L = （F ） ,而插值余项 )()()(x L x f x R -== （G ） 。
数据分析的六种基本分析方法
数据分析的六种基本分析方法在当今数字化时代，数据的积累和应用越来越成为决策和业务发展的重要依据。
为了更好地理解和发掘数据的潜力，我们需要运用各种分析方法来深入挖掘数据背后的信息。
本文将介绍数据分析的六种基本分析方法，旨在帮助读者更全面地理解和应用数据。
一、描述性统计分析描述性统计分析是数据分析中最基本和常用的一种方法。
它通过整理、归纳和展示数据的基本特征，例如中心趋势、分布情况、离散程度等，来对数据进行描述。
描述性统计分析可以通过各种指标和图表来实现，包括均值、中位数、标准差、频率分布表、直方图、饼图等。
通过这些统计量和图表，我们可以更清晰地了解数据的整体情况，为后续分析提供基础。
二、相关性分析相关性分析用于研究不同变量之间的关系。
它通过计算和度量变量之间的相关系数来揭示它们之间的相关性强度和方向。
常用的相关性分析方法包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼等级相关系数。
通过相关性分析，我们可以了解变量之间的相互关系，比如正相关、负相关或者无相关。
这有助于我们理解变量之间的依赖关系，为决策提供参考。
三、回归分析回归分析是一种建立变量之间的数学模型的方法，旨在研究自变量对因变量的影响程度以及它们之间的关系。
通过回归分析，我们可以预测因变量在给定自变量条件下的取值，并评估自变量对因变量的贡献程度。
常用的回归分析方法包括线性回归、多元回归、逻辑回归等。
回归分析可以帮助我们实现预测、解释和因果推断等目标。
四、假设检验假设检验是一种通过对数据进行统计推断，来判断我们对某一问题提出的假设是否成立的方法。
它通过设立零假设和备择假设，利用样本数据进行推断，并计算样本统计量的显著性水平来做出判断。
常用的假设检验方法包括t检验、卡方检验、方差分析等。
假设检验可以帮助我们进行决策和验证理论，提高数据分析的可信度。
五、聚类分析聚类分析是一种将数据对象分组为具有相似特征的类别的方法。
通过聚类分析，我们可以发现数据中的内在结构和群体，并将相似的对象归类到同一个类别中，不相似的对象分到不同的类别中。
数值分析方法
数值分析方法数值分析方法是一种应用数学和计算机科学的交叉学科，目的是通过数学模型和计算机技术来解决现实世界问题。
在科学研究、工程设计和商业决策等领域中，数值分析方法被广泛应用，以提供精确、高效的解决方案。
本文将介绍数值分析方法的基本原理、常见应用领域以及未来发展趋势。
一、基本原理数值分析方法的基本原理是将现实世界的问题转化为数学模型，并通过计算机来求解这些数学模型。
数值分析方法主要包括数值逼近、数值积分、数值微分、数值代数方程求解和数值微分方程求解等几个方面。
1. 数值逼近数值逼近是通过有限个已知数据点来拟合一个连续函数。
常见的数值逼近方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、最小二乘法等。
这些方法可以在给定的数据点上构建一个近似函数，从而在未知点上进行预测或估计。
2. 数值积分与数值微分数值积分是通过将连续函数在一定区间上求和或求平均来估计函数的积分值。
常见的数值积分方法有梯形法、辛普森法等。
而数值微分则是通过数值逼近的方法来估计函数的导数。
这些方法在面对复杂函数或无法进行解析计算的函数时尤为有用。
3. 数值代数方程求解数值代数方程求解是解决线性方程组或非线性方程组的问题。
数值方法如高斯消元法、追赶法、牛顿法等可以迅速求解复杂的代数方程。
4. 数值微分方程求解数值微分方程求解是解决微分方程的数值近似解法。
微分方程是描述自然界中许多现象的数学模型。
常用的数值方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法将微分方程转化为差分方程，并通过迭代逼近的方式求解。
二、应用领域数值分析方法在各个科学和工程领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学和工程学数值分析方法在物理学和工程学中被用于求解复杂的物理现象，如天体力学、流体力学、电磁场等。
利用数值模拟和数值计算，研究人员可以更好地理解现象背后的物理规律，并为设计和优化工程系统提供指导。
2. 金融学和风险管理在金融学和风险管理领域，数值分析方法被广泛应用于投资组合优化、期权估价、风险测度等。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数值分析总结
数值分析总结数值分析是数学的分支学科，是解决数值计算问题的一种方法论。
在实际问题中,往往需要根据给定的离散数据点，通过插值方法推算出其他未知点的近似数值。
插值方法是解决这类问题的重要手段之一、本文将对插值方法进行总结。
插值是指利用已知数值来推算出其他位置的数值，一般假设给定的离散数值是连续函数在一些点上的取值。
插值方法通过对函数进行逼近来估计其他位置的函数值。
插值方法的最常见形式是多项式插值。
多项式插值是在给定的数据点上通过一个多项式函数来逼近原函数。
其中，拉格朗日插值法和牛顿插值法是两种常用的方法。
拉格朗日插值法是通过构造一个满足给定数据点的多项式来实现插值。
具体做法是构造一个Lagrange基函数，每个基函数在一些数据点上的取值为1，在其他数据点上的取值为0。
然后将这些基函数乘以相应的系数，并加在一起，从而得到满足给定数据点的多项式。
这个多项式就是用拉格朗日插值法得到的插值函数。
牛顿插值法是通过构造一个差商的多项式来实现插值。
差商是一个递归定义的函数，它的值的计算依赖于更低阶的差商。
通过计算差商，我们可以得到多项式的系数，从而得到插值函数。
牛顿插值法比拉格朗日插值法更容易计算，尤其是在使用更高阶多项式进行插值时。
除了多项式插值，还有其他类型的插值方法。
其中，样条插值是一种广泛使用的插值方法。
样条插值是利用多个低阶多项式来逼近原函数。
具体做法是将原函数分成若干段，每段使用一个低阶多项式进行逼近。
这样可以在保持插值精度的同时，减小多项式的次数，提高计算效率。
另外还有最小二乘插值、分段线性插值等方法。
最小二乘插值是通过找到一个函数，使得它在给定数据点上的误差平方和最小，从而得到插值函数。
分段线性插值是将数据点分成若干段，每段用一条直线来逼近。
这种方法比多项式插值更简单，但精度较低。
总的来说，插值方法是数值分析中重要的技术之一，能够通过已知数据点推算出其他位置的数值。
多项式插值、样条插值等是常用的插值方法。
两硬浅埋条件下6.0m采高工作面顶板运移规律数值分析
Ｊｎ ２ １ ｕ ．０ １
文章 编 号 ：１７ ６２—９ １ （ ０ １ ０ ００ — ５ ３ ５ ２ １ ） １— ０ １ ０
两硬 浅 埋 条 件 下 ６ ０ｍ采 高 工 作 面 ． 顶 板 运 移 规 律 数 值 分 析
郭佐宁 ， 黄永安 崔 峰 ， ， 朱世 阳 ， 曹建 涛
第３ 卷 第１ １ 期
２１年 ０ ０ １ １月
西
安
科
技
大 学 学
报
Ｖ０ ． Ｎｏ １ ３１ ．１
Ｊ Ｕ Ａ Ｆ Ｘ ’ Ｉ Ｅ ＳＴ Ｃ Ｅ Ｃ ＮＤ Ｔ Ｃ ＯＬ ＧＹ Ｏ ＲＮ Ｌ Ｏ Ｉ ＡＮ ＵＮ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ ＯＦ Ｓ Ｉ Ｎ Ｅ Ａ Ｅ ＨＮ Ｏ
化 。工作 面超前 支承 压 力影响 范 围变 窄 、 力峰 值 向 工作 面 内移 ， 前 支承 压 力 均 高 于未 受采 动 压 超
影响 下的状 态。这 为现 场 安全 开采提 供 了理论依 据 。 关 键词 ：两硬 浅埋煤 层 ；大采 高 ； 板运 移 ；数值模 拟 顶 中图分 类号 ： Ｄ ３ ５ １ Ｔ ２ ． 文献 标志码 ： Ａ
Ｏ 引 言
加大 工作 面推进 长度 、 少工 作面 搬 家次 数 、 大采 高是 当前 煤 炭 开采 技 术 发 展 趋 势 。受 限 于 国 内 减 增
煤矿 机械设 备供 应商 的水 平 ， 内采 高在 ６ ０ｍ 及 以上 的矿井 不 多 ¨ ２。榆林 已成 为 国家能 源 重 化工 基 国 ． Ｉ
（ ）黄土高原地貌 ａ
（ ）Ｖ字型沟谷 ｂ
（ ）煤层综合柱状特征 ｃ
抗压强 度为 ２ ．０ＭＰ ； ３ １ ａ煤层 的基本 顶 以细粒砂 岩为 主 ， 次为粉砂 岩 ， 灰色 ， 浅 成份 以长石 、 英 为主 ， 石 泥钙 质 胶结 ， 夹黑色 条带 ， 选 区性 较好 ， 生结 构有 块状 层 理 、 状层 理 、 型板 状 交 错层 理 。单 层厚 度 大 ， 分 原 槽 大 构造结构 面不发 育 。抗 压强度 平均 ２ ．４ＭＰ ， ７４ ａ属半 坚 硬类 不 易软 化岩 石 ， 岩体 较 完 整 。５ ２ 煤层 底板 以 Ｉ
数值分析期末复习要点总结
数值分析期末复习要点总结数值分析是一门研究用数值方法来解决数学问题和科学工程问题的学科。
它包括数值计算、数值逼近、数值求解以及数值模拟等内容。
本文将从数值计算的基础知识、数值逼近方法、数值求解方法以及数值模拟方法等方面进行复习要点总结。
一、数值计算的基础知识1. 计算误差：绝对误差、相对误差、有效数字、舍入误差等等。
2. 机器精度：机器数、舍入误差、截断误差等等。
3. 数值稳定性：条件数、病态问题等等。
4. 误差分析：前向误差分析、后向误差分析等等。
二、数值逼近方法1. 插值方法：拉格朗日插值、Newton插值、Hermite插值等等。
2. 曲线拟合：最小二乘法、Chebyshev逼近等等。
3. 数值微分：前向差分、后向差分、中心差分等等。
4. 数值积分：梯形法则、Simpson法则等等。
三、数值求解方法1. 非线性方程求解：二分法、牛顿迭代法、弦截法等等。
2. 线性方程组求解：直接法（Gauss消元法、LU分解法）和迭代法（Jacobi法、Gauss-Seidel法）。
3. 特征值和特征向量：幂法、反幂法、QR分解法等等。
4. 非线性最优化问题：牛顿法、拟牛顿法、梯度下降法等等。
四、数值模拟方法1. 常微分方程数值解法：Euler法、改进Euler法、Runge-Kutta法等等。
2. 偏微分方程数值解法：差分法、有限元法、有限差分法等等。
3. 数值优化方法：线性规划、非线性规划、整数规划等等。
五、数值计算软件1. MATLAB基础：向量、矩阵、符号计算等等。
2. MATLAB数值计算工具箱：插值与拟合工具箱、符号计算工具箱等等。
3. 其他数值计算软件：Python、R、Octave等等。
总结数值分析是一门重要的数学学科，它为解决实际问题提供了有效的数值方法。
在数值计算的基础知识中，我们需要了解计算误差、机器精度和数值稳定性等概念，同时也需要掌握误差分析的方法。
数值逼近方法包括插值、曲线拟合、数值微分和数值积分等内容，其中插值和拟合是常见的逼近方法。
常用数值分析方法
常用数值分析方法常用数值分析方法指的是应用数值计算方法研究和解决实际问题的一类方法。
它涉及到计算机科学、数学、算法及相关工程应用等多个领域的交叉应用，被广泛应用于科学研究、工程设计、经济分析、物理模拟、天气预测等领域。
以下是常用的数值分析方法的介绍。
1.插值法：插值法是通过已知数值点的函数值来推导任意点的函数值。
其中最常用的方法是拉格朗日插值法和牛顿插值法。
插值法在数值计算、图像处理、信号处理等领域有广泛应用。
2.数值微分与积分：数值微分和积分方法是通过一系列近似计算来求解微分和积分问题，常用的方法有数值微分公式、数值积分公式和龙格-库塔方法等。
这些方法在工程数学、物理学、金融学等领域得到了广泛应用。
3.非线性方程求解：非线性方程求解方法用于求解形如f(x)=0的非线性方程，在科学计算和工程设计中具有重要作用。
常用的方法有二分法、牛顿法、割线法、迭代法等。
4.数值优化：数值优化方法是求解最优化问题的一种方法，常用的算法有梯度下降法、共轭梯度法、拟牛顿法、模拟退火算法、遗传算法等。
这些方法被广泛应用于机器学习、数据挖掘、工程设计等领域。
5.差分方程与差分法：差分方程是运用差分近似的数值方法来求解常微分方程的一种方法。
常用的差分法有向前差分法、向后差分法、中心差分法等。
差分法在数值模拟、物理仿真等领域有广泛应用。
6.线性代数方程组的数值解法：数值解线性代数方程组是数值分析中的经典问题之一、常用的算法有高斯消元法、LU分解法、迭代法（如雅可比法、高斯-赛德尔法、稀疏矩阵迭代法）等。
7.数值逼近与最小二乘拟合：数值逼近和最小二乘拟合方法是通过一系列近似计算来拟合和逼近已知的数据集。
常用的方法有多项式拟合、最小二乘法、曲线拟合、样条插值等。
这些方法在数据分析、信号处理、模糊识别等方面有广泛应用。
8.数值统计：数值统计方法是通过数值计算和统计学方法来处理和分析实际数据。
常用的方法有假设检验、参数估计、方差分析、回归分析等。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
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6.1 概述
主要用于研究岩土工程活动和自然环境变化过程中岩 体及其加固结构的力学行为和工程活动对周围环境的 影响。 常用方法:有限元、边界元法、有限差分法、加权余 量法、离散元法、刚体元法、不连续变形分析方法、 流形方法。
前四种基于连续介质力学方法，后三种基于非连续介 质力学方法
快广泛的应用于求解热传导、电磁场、流体力 学等连续性问题。
由于其灵活处理边界、模拟非线性，广泛应用
于岩石工程领域
6.2 有限元法
— — —
有限元法分析计算的基本思想：
物体离散化 单元特性分析 选择位移模式
分析单元的力学性质
计算等效节点力 单元组集
求解未知节点位移
6.2 有限元法
第六章 岩石力学数值分析方法简介 6.1 概述
6.2 有限元法
6.3 有限差分法 6.4 离散元法
6.1 概述
数值计算是人类认识世界的新手段。自理论分析与 科学实验之后，数值模拟已成为人类认识世界最重要 的手段。 它主要用来解决以下两类问题：不可能进行实验的
问题，进行实验代价太大的问题。同时它又融和了
混合法：取一部分节点力和一部分节点位移作为基本 未知量时称为混合法。 位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元
法中位移法应用范围最广。
6.2 有限元法
计算等效节点力
物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元 传
递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力 是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因
物体离散化
将某个工程结构离散为由各种 单元组成的计算模型，这一步 称作单元剖分。 离散后单元于单元之间利用单 元的节点相互连接起来；单元 节点的设置、性质、数目等应 视问题的性质，描述变形形态 的需要和计算进度而定。 用有限元分析计算所获得的结 果只是近似的。如果划分单元 数目非常多而又合理，则所获 得的结果就与实际情况相符合。
6.1 概述
有限元基于最小总势能变分原理，能方便处理各种 非线性问题，灵活模拟岩土工程中复杂的施工过程， 在岩石力学领域应用最为广泛 边界元法以表述拜特(Betti)互等定理的积分方程为基 础，建立了直接法的基本方程，而基于叠加原理建 立了间接法的总体方程；因其前处理工作量少、能 有效模型拟远场效应而普遍应用于无界域或半无界 域问题的求解 有限差分法是将问题的基本方程和边界条件以简单、 直观的差分形式表述，更易在实际工程中应用。尤 以FLAC程序为代表
[ K ]{U } {P}
[ K ] 总体刚度矩阵； {U } 总体位移列阵；
{P} 总体荷载列阵
6.2 有限元法
目前，世界各地的研究机构和大学发展了一批规模较小 但使用灵活、价格较低的专用或通用有限元分析软件， 主要有 德国的ASKA、 英国的PAFEC、
6.2 有限元法
分析单元的力学性质
三角形6结点 位移单元 二次位移 线性应变 四边形 位移单元 二次位移 线性应变
根据 单元的材料性质、形状、 尺寸、节点数目、位置及其含 义等，找出单元节点力和节点
位移的关系式，这是单元分析
中的关键一步。此时需要应用 弹性力学中的几何方程和物理
有限元模拟施工过程
开挖 Open-cut
6.1 概述
求解流程
求解控制 表格
前处理
区域离散 力学参数
计 算 机 求 解
图像
曲 线
后处理
载荷位移
变形大小
边界条件
应力分布
编程实现
6.2 有限元法
有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发 展起来的一种现代计算方法。它是 50 年代首先 在连续体力学领域 -- 飞机结构静、动态特性分 析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很
四面体10结点位移单元 二次位移 线性应变
方程来建立力和位移的方程式，
从而导出单元刚 度矩阵，这 是有限元法的基本步骤之一。
六面体20结点位移单元 二次位移 线性应变
6.2 有限元法
选择位移模式
位移法：选择节点位移作为基本未 知量称为位移法； 力 法：选择节点力作为基本未 知量时称为力法；
而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和
集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等 效的节点力来代 替所有作用在单元上得力。平衡条件和边界条件把各个单元按原来 的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程
求解未知节点位移
可以根据方程组的具体特点来选择合适的 计算方法。
6.1 概述
离散元是康德尔以刚性离散单元为基本单元，根据牛顿第二 定律，提出的一种动态分析方法，既能模拟块体受力后的运动， 又能模拟块体本身的受力变形，20世80年代引入我国，在边坡、 隧道、采矿等方面有重要应用 流形方法是由石要华等人近期（1992、1996）发展的一种新 的数值分析方法。这种方法以拓扑流形和微分流形为基础，在 分析域内建立可相互重叠、相交的数学覆盖和覆盖材料全域的 物理覆盖，在第一物理覆盖上建立独立的位移函数，将所有覆 盖上的独立覆盖函数加权求和，即可得到总体位移函数。然后 根据总势能总小原理，建立可以用于处理包括非连续和连续介 质的耦合问题，小变形、大位移、大变形等多种问题的求解格 式。它是一种具有一般形式的通用数值分析方法，有限元法和 不连续变形分析法DDA都可看作是它的特例。
理论分析和科学试验的特点，数值模拟 / 仿真已经 不再局限于科学计算，正广泛被用在科学研究，工 程与生产领域。
6.1 概述
解析方法的障碍
岩体是地质结构体，非均质、非连续、非线性、以
及复杂的加卸载条件和边界条件，
岩石力学问题通常无法用解析方法简单求解
数值方法的优势
数值方法适用范围广，
能模拟岩体的复杂结构和力学特性，
6.1 概述
共同特点： 将带有边值条件的常微分方程或偏微分方程离散为线 性代数方程组，采用适当的求解方法解方程组，获得 基本未知量，进而根据几何方程和本构方程，求出研 究范围内的其他未知量。 但是对于岩石力学与工程问题，还应重视随工程活动 和时间变化岩体及加固结构中的节理、裂隙等各种不 连续面及其扩展过程和自然环境变化过程的数值仿真 模拟。与此同时，应根据实际岩体的赋存环境和工程 因素影响情况，确定用于数值分析的计算力学参数。 主要介绍有限元、有限差分和离散元