数学总复习之数学思想《转化与化归》
六大数学思想之四：转化与化归_最新修正版
六大数学思想之四：转化与化归1.什么是转化与化归？转化与化归思想方法是解决数学问题的一种重要思想方法，转化与化归思想贯穿于整个数学中，掌握这一思想方法，学会用化归与转化的思想方法分析问题、处理问题有着十分重要意义。
化归与转化是通过某种转化过程，把待解决的问题或未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题或者容易解决的问题的一种重要的思想方法。
通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。
2. 转化与化归的主要方式：1、等价转化，2、空间图形问题转化为平面图形问题，3、局部与整体的相互转化，4、特殊与一般的转化，5、非等价转化，6、换元、代换等转化方法的运用，7、正与反的转化,8、数与形的转化，9、相等与不等的转化,10、常量与变量的转化、11、实际问题与数学语言的转化等.3.转化与化归思想的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决．题型一正难则反的转化：Esp1：已知集合A＝{x∈R|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x∈R|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．解 设全集U ＝{m |Δ＝(－4m )2－4(2m ＋6)≥0}， 即U ＝{m |m ≤－1或m ≥32}．若方程x 2－4mx ＋2m ＋6＝0的两根x 1，x 2均为非负，则⎩⎪⎨⎪⎧m ∈U ，x 1＋x 2＝4m ≥0，⇒m ≥32，x 1x 2＝2m ＋6≥0所以使A ∩B ≠∅的实数m 的取值范围为{m |m ≤－1}．Esp2: 若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立． 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5.题型二 函数、方程、不等式之间的转化：解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．Esp3: 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……)(1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)(n ∈N *)．(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)，∴g ′(x )＝1x－1(x >0)．令g ′(x )>0，解得0<x <1； 令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)． 取t ＝1n(n ∈N *)时，则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln 2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， 叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln(2·32·43·…·n ＋1n )＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋…＋1n >ln(n ＋1)．Esp4: 设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.(1)解由f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R知f′(x)＝e x－2，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln 2.于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a＝2－2ln 2＋2a.(2)证明设g(x)＝e x－x2＋2ax－1，x∈R，于是g′(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.由(1)知当a>ln 2－1时，g′(x)取最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．而g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0.即e x－x2＋2ax－1>0，故e x>x2－2ax＋1.题型三主与次的转化：合情合理的转化是数学问题能否“明朗化”的关键所在，通过变换主元，起到了化繁为简的作用．在不等式中出现两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成变量，哪个看成常数．显然可将a 视作自变量。
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想一、转化与化归的内涵转化与化归是数学思想中的两个重要内容，它们贯穿于整个数学学科，是数学问题解决的基本方法之一。
转化，即将一个数学问题或数学对象转化成另一个同等价值的形式，以更便于解决或研究。
而化归，则是将一个较复杂或抽象的问题归结为一个较简单或具体的问题，从而更易于处理和理解。
转化与化归的实质是通过合理的变换和归结，将原问题转化为更易处理或更易理解的形式，从而为解题提供便利和途径。
二、数学题中的转化与化归思想在高考数学题中，转化与化归思想经常出现在各个知识点的解题过程中，其中尤以代数和几何题为突出。
以代数题为例，常见的多项式化简、方程转化、不定方程的化归等问题，都需要学生灵活掌握转化与化归的方法，才能顺利解题。
在几何题中，诸如相似三角形的证明、线段比例的求解等问题，也需要学生善于将复杂的几何形态转化为简单的几何概念，或者将一个复杂的几何问题化归为一个简单的几何问题，从而找到解答的路径。
在实际解题过程中，学生必须不断地运用转化与化归的思想，才能更轻松地解决高考数学题。
三、实例分析现来分别通过代数题和几何题的实例分析，展示高考数学题中转化与化归思想的实际应用。
1.代数题假设有如下代数方程组：\[\left\{\begin{array}{c}x+y=5 \\x^2+y^2=17\end{array}\right.\]求解这个方程组的实数解。
分析：通过观察和分析，我们很难直接求出 x 和 y 的具体值。
我们可以考虑将上述方程组进行化归。
我们知道(x+y)²=x²+2xy+y²，将其代入x²+y²=17 中得到：\[ x^2+2xy+y^2=25 \]这样方程组就化归为一个较为简单形式。
接下来，我们将 x+y=5 代入上式，可以得到：进而求出 xy 的值为 4。
接着，我们可以用代数方法求出 x 和 y 的值，最终得到实数解为 2 和 3。
数学思想之一转化与化归思想(概述)
数学思想之一：转化与化归思想（概述）
1、转化与化归的思想方法转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决（当然包括解题）都离不开转化与化数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方归，
程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。
各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化
的手段。
所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂。
2、转化包括等价转化和非等价转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，不等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，不等价变形要对所得结论进行必要的修改。
3、转化与化归的原则将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题，将抽象的问题转化为具体的直观的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决。
4、转化与化归的基本类型
（1）正与反、一般与特殊的转化；
（2）常量与变量的转化；
（3）数与形的转化；
（4）数学各分支之间的转化；
（5）相等与不相等之间的转化；
（6）实际问题与数学模型的转化。
专题复习5转化与化归
高三数学复习专题(5)――转化与化归思想前置作业1.方法概述：转化与化归思想方法在研究、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化的等价.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等.2•常见的转化方法有以下几种类型：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幕等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题•基础检测：1•已知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(x2+ x)—f(2)< 0,则实数x的取值范围为 _____________2.关于x的不等式x2+ 16> mx在x€ [1,10]上恒成立，则实数m的取值范围为 ____________ .3.__________________________________________________________________ 如果实数x, y满足等式(x—2)2+ y2= 3，那么乂的最大值是_________________________________ .x4.设a为第四象限的角，若sin 3 a= ¥，则tan 2 a= ________________ •sin a 52 2 . 2 . 25•已知圆O:x y ^1,圆C: x-2 + y-4 4,由两圆外一点P(a,b)向两圆各引一条切线PA,PB，切点分别为A, B,满足|PA|=|PB|, O为坐标原点，则OP的最小值为_______________ .答案1•解析：依题意，由f(x2+ x) —f(2)<0可得f(x2+ x)<f(2),由f(x)在R上单调递增，即X2+ x<2,得一2<x<1.答案：(一2,1)16 2•解析：由于x q i,10]，原不等式可化为m W x+&.又x + 蛙 2 .' x —= 8,x x当x = 4时，等号成立.所以m W 8,即卩m的取值范围是(一g, 8].答案：( —g, 8]3•解析：原题即为：在圆(x—2)2+ y2= 3上求一点P,使直线斜率最大.如图，显然当直线0P为圆的切线时斜率最大，设此时x轴的夹角为0,则有sin 0= 2，所以tan 9=^34•解析：借助三角变换转化求cos 2 a、sin 2 a,sin 3 a= sin(2 a+ a)= sin 2 a cos a+ cos 2asin a,sin 3a - 2 13•兀=2cos a+ cos 2a= 1+ COS 2 a+ cos 2a= y.4 n•'cos 2 a= 5.又2k n—aV 2k n(k(Z),•'4k n— n <2<4 k ^(k ),•sin 2a=—|./ta n 2a= —35 4答案：—3417.55. -------20电=二心申花―2b^o"^忡的最小值.，则a 的取值范围为高三数学复习专题（5）――转化与化归思想转化与化归思想是指在处理问题时， 把待解决或难解决的问题通过某种方式转化为一类 已解决或比较容易解决的问题的一种思维方式.应用转化与化归思想解题的原则应是化难为易、 化生为熟、化繁为简，尽可能是等价转 化，在有些问题的转化时只要注意添加附加条件或对所得结论进行必要的验证就能确保转化 的等价.常见的转化有：正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的 转化、空间与平面的转化、常量与变量的转化、图象语言、文字语言与符号语言的转化等.分类讨论思想、函数与方程思想、数形结合思想都是转化与化归思想的具体体现. 常用 的变换方法：分析法、反证法、换元法、待定系数法、构造法等都是转化的手段. 题型一向量三角问题的转化 例1：已知向量一a,b ,满足a题型二不等式问题的转化例2:若不等式x 2+ px >4x + p — 3对一切—4< x w 0均成立，求实数 p 的取值范围.b + 2c w 3a ,例3.已知△ ABC 的三边长a , b , c 满足l c + 2a w 3bm的取⑵n =16,求数列乞的最大值和最小值题型三解析几何问题的转化2 2例4•若椭圆C的方程为X+ y= 1，焦点在x轴上，与直线y = kx+ 1总有公共点，求5 m值范围.题型四数列问题的转化例 5.已知数列a* = n -16, b n=(—1)n n -15 ,其中n N(1)求满足a n += b*的所有正整数n的集合3aP 为直线x =3■上一点，△F 2PF 1 是2. 设m>1，在约束条件值范围为 _________ . y > x ,y w mx ,下的目标函数 x + y w 1z = x + my 的最大值小于 2,则实数m 的取题型五函数问题的转化32t — 6例6.已知函数f x = x ax 图象上一点P 1,b 的切线斜率为一3, g x = x 3 + — x 2 —(t + 1)x + 3(t > 0). (1) 求a,b 的值；(2) 当x € [ — 1, 4]时，求f(x)的值域；(3) 当x € [1 , 4]时，不等式f x < g x 恒成立，求实数t 的取值范围.课后作业:2 21. 设F i 、F 2是椭圆E ： a + b = 1(a>b>0)的左、右焦点,底角为30°的等腰三角形，则椭圆 E 的离心率为 ________23.设P 是双曲线7 — y 2= 1右支上的一个动点，F 是双曲线的右焦点，已知A 点的坐标是(3,1),3则|FA|+ |PF|的最小值为 _________ .x 24. 已知函数f x = e — 1, g x =— x + 4 x — 3,若有f b = g b ，则b 的取值范围为a — 2ln a 3c — 42 25.若实数a, b, c, d满足 b --------- =— = 1则(a—c) + (b —d)的最小值为__________ .6.若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x+ 3)w f(x) + 3和f(x+ 2) >f(x) + 2,且f⑴=1,贝U f(2 015) = _______ .7•在△ ABC 中，内角/ A、/ B、/ C 所对的边分别为a,b,c，已知sin B(ta nA + tanC) = tan Ata nC.(1)求证：a,b,c成等比数列；(2)若a= 1, c= 2,求厶ABC的面积S.&已知f(x) = log 2(x+ 1)，当点(x, y)是y= f(x)图像上的点时，点g, '是g(x)图像上的点.(1)写出y= g(x)的表达式.(2)当g(x) —f(x) > 0时，求x的取值范围.⑶当x在⑵所给范围取值时，求g(x) —f(x)的最大值.a n + a n+2 —9.如果无穷数列｛a n｝满足下列条件：①2— w a n+1；②存在实数M,使得a.w M ,其中n€ N ,那么我们称数列｛a*｝为Q数列.(1)设数列｛b n｝的通项为b n= 5n—2n，且是Q数列，求M的取值范围；17⑵ 设｛c n｝是各项为正数的等比数列，S n是其前n项和，C3 = [, $3 =[，证明：数列｛S n｝是Q数列；例2:解：解法1 :构造函数f(x) = x2+ (p —4)x —p + 3,解法2 :构造函数f(x) = x2+ (p —4)x —p + 3 = (x —1)(x + p —3)，又f(x) > 0 对一切—1a+2c w 3,1即c 3b + 2w-a a,be c b1 1 + > , 1 +一＞1 a a a a1a> 0, b> 0,c> 0.> 1,p — 4一-- V —4△ V 0或2'或.f (—4)> 0f (0)> 0,4 w x w 0 均成立，而x —1 V 0,.. x + p —3 V 0，…p V 3 —x,.. p V 3. 例3•解析：依题意可知b+ 2c w 3a,c+ 2a w 3b,ja+ b>c, a + c> b, b+ c> a,a> 0, b > 0, c> 0.设x = a, y = c，从而x+ 2y w 3,y+ 2w 3x,有1 + x>y, 1 + y>x, x+ y> 1,x>0, y>0,作出可行域如图阴影部分所示，由图可知bx A V a V X。
化归与转化的数学思想解题举例
化归与转化的数学思想解题举例在数学问题中，化归与转化是一种常用的解题思路。
它们可以帮助我们将原问题转化为一个简化的形式，从而更容易得到解答。
本文将通过几个具体的例子来说明化归与转化在数学问题中的应用。
一、化归化归是将一个复杂的问题转化为一个更简单的等价问题的过程。
它通常是通过引入新变量或假设，将原问题转化为一个更易于处理的形式。
例子1：求解一元二次方程的解对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，如果a不等于0，我们可以通过化归的方法求解其根。
首先，我们可以将方程中的未知数x改写为y = x + p，其中p是一个常数。
这样，我们将原来的方程转化为了ay^2 + dy + e = 0（其中d 和e是和p相关的常数）。
接下来，我们可以通过求解新方程来得到原方程的解。
由于新方程中的y是一个平移的变量，我们可以通过平方完成对y的消除。
最后，我们将得到一个新的一次方程： Cy + F = 0（C和F是和p 相关的常数）。
求解这个一次方程，我们就可以得到原方程的解。
通过化归，我们将原本复杂的问题转化为了一个简单的一次方程的求解问题，从而更容易得到解答。
二、转化转化是将一个问题转换为一个具有相同解的等价问题的思想。
它可以通过改变问题的表述方式或者引入新的概念来实现。
例子2：求解无穷几何级数的和对于一个无穷几何级数a + ar + ar^2 + ar^3 + ...（其中| r | < 1），我们可以使用转化的思想来求它的和。
首先，我们可以将级数的和S表示为S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ...，这是一个无穷级数。
接下来，我们将级数的每一项都乘以公比r，得到rS = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + ...，这是另一个等价的无穷级数。
然后，我们将这两个等式相减，得到(S - rS) = a，进一步化简得到S = a / (1 - r)。
通过这样的转化，我们得到了无穷几何级数的和的数学表达式，简化了求解过程。
数学思想之转化与化归总结
数学思想之转化与化归总结在数学中，转化与化归是一种常用的思想方法。
通过转化问题的表达形式或者化简问题的复杂度，我们可以更容易地理解和解决数学问题。
转化与化归涉及到问题的等价转化、代数化简、几何转化、枚举化归等多个方面。
下面将从这几个方面对转化与化归进行总结。
首先，等价转化是一种常见的数学思想之一。
它意味着将一个问题转化为与之等价的另一个问题，以求得更容易解决的问题。
等价转化包括将问题的形式转化为更简单或者更具有可操作性的形式，或者将问题与已知的问题进行对应。
一个经典的例子是将一个复杂的代数方程转化为一个简单的一次方程或者二次方程，从而解决原方程。
在某些情况下，等价转化也可以是不可逆的，这意味着我们只能从简单的问题得到复杂的问题，但是这种转化仍然能够帮助我们更好地理解问题的本质和特点。
其次，代数化简是转化与化归的另一个重要方面。
代数化简是指通过运用代数运算的性质和规则，将一个复杂的代数表达式或者方程化简为更简单的形式。
代数化简的方法包括合并同类项、因式分解、配方法、三角函数的恒等变换等。
代数化简不仅可以减少问题的复杂度，还可以揭示问题的规律和特点，从而更好地解决数学问题。
几何转化是将几何问题转化为代数问题或者相反，通过几何图形的变换和变形，我们可以使得问题的解决更加直观和简单。
几何转化常常涉及到使用待定系数法、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识，从而求得问题的解。
几何转化不仅能够帮助我们更好地理解和解决几何问题，还能够提高我们的思维能力和几何直观。
最后，枚举化归是一种将一个复杂的问题化归为若干个简单的情况，通过对每个简单情况的分析和解决，来解决原问题的方法。
枚举化归可以通过列举具体的例子，或者考虑特殊情况来进行。
枚举化归的优点是能够将一个复杂的问题简化为多个简单的情况，从而更好地理解和解决问题。
然而，枚举化归的缺点是可能需要计算大量的情况，耗费时间和精力。
综上所述，转化与化归是数学中一种重要的思想方法。
高考数学复习化归与转化思想
高考数学复习化归与转化思想佚名知识整合1．解决数学问题时，常遇到一些问题直截了当求解较为困难，通过观看、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为化归与转化的思想方法。
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
事实上“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，专门是汉代以后，关于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化。
除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决差不多上通过转化为已知的问题实现的。
从那个意义上讲，解决数学问题确实是从未知向已知转化的过程。
化归与转化的思想是解决数学问题的全然思想，解题的过程实际上确实是一步步转化的过程。
数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，差不多上转化思想的表达。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。
”因此看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一样学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
现在体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
备战2024高考数学二轮复习讲义第一讲-转化与化归思想在三角函数中的应用
第1讲转化与化归思想在三角函数中的应用转化与化归思想:就是把待解决或难解决的问题通过数学方法、数学模型、数学思维、数学运算，使之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解。
使用化归与转化思想的原则是:化难为易、化异为同、化生为熟、化繁为简、化未知为已知。
在三角函数学习中，从三角函数的概念建立、推理证明、计算化简到实际问题的解决，始终贯穿着转化与化归思想的运用。
如利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用三角函数之间互余关系实现对“正余弦”进行转化，利用同角关系及“1”的妙用可以实现弦切互化。
在有关三角函数的最小正周期、三角函数求值、三角函数的图象及性质、三角函数的值域、三角函数的伸缩平移变换及三角恒等变换的问题中，经常涉及到代换思想、类比思想和转化思想等来解决问题，这些均体现了转化与化归思想在三角函数中的重要性及其重要应用。
在学习和使用转化与化归思想时，一定要明确转化目标，转化方向，有了转化目标和方向后，接下来的重点思想是如何向我们的目标和方向进行转化。
而本文会重点就转化与化归思想在三角函数中的5类应用展开详细讲解。
【应用一】转化与化归思想在三角函数求最小正周期中的应用我们在学习三角函数图象及性质及三角恒等变换时，会直接用公式ωπ2=T 求()hx A y ++=ϕωsin （()h x A y ++=ϕωcos ）的周期，但有时也会遇到这样一类题，给定的函数解析式包含正弦和余弦，或为高次式，此时则无法用周期公式直接求解；需要对函数解析式进行函数名的统一或降次化简，从而转化为()h x A y ++=ϕωsin （()h x A y ++=ϕωcos ）的形式，即可求解，变换过程的实质就是“化归”思想。
例如下面这道例题：在我们熟悉的求解最小正周期的问题中，经常遇见给定的函数解析式是可以直接用周期公式求解的，而本题无法直接通过周期公式求解，那该怎么转化呢？这就需要我们利用相关公式把函数解析式化解为一个函数名，要么是正弦、要么是余弦，首先我们要把24cos 1x -转化为12cos 2x +，则()()sin 12cos 2f x x x =⋅+()2sin 2sin cos 2sin cos 2sin 1cos 2sin cos 22sin cos sin cos 2cos sin 2sin 3x x x x x x x x x x x x x x x x =+=++=+=+=即可计算求解【应用二】转化与化归思想在三角函数给值求值及拼凑角中的应用我们在学习三角函数诱导公式及三角恒等变换时，常见的给值求值会比较好化简，常见的拼凑角可以转化成特殊角处理，但有时也会遇到这样一类题，给定的角为非特殊角，需要多次拼凑才能实现特殊转化，需结合诱导公式和恒等变换求解，这样把角通过拼凑来整体转化，其实质就是“化归”思想。
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第4讲转化与化归思想课件
(2)因 a1＝12，n∈N*，an＋1＝12＋anan，
则 a2＝12＋a1a1＝21× ＋1212＝23，a3＝12＋a2a2＝21× ＋2323＝45，a4＝12＋a3a3＝21× ＋4545＝89， a5＝12＋a4a4＝21× ＋8989＝1167， 显然有 a1＝202＋0 1，a2＝212＋1 1，a3＝222＋2 1，a4＝232＋3 1，a5＝242＋4 1，
(2)根据递推公式可写出 a2、a3、a4、a5 的值，由此可归纳出数列{an} 的通项公式，然后通过递推公式得出an1＋1－1＝12a1n－1，可知数列a1n－1 为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列{an}的通项公式．
【解析】 (1)证明：假设 an＋1＝an，因 n∈N*，an＋1＝12＋anan，则12＋anan ＝an，解得 an＝0 或 an＝1，
应用3 正与反引起的转化
核 心 知 识·精 归 纳
正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对 立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形， 则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含 有“至多”“至少”情形的问题中．
典 例 研 析·悟 方 法
算求解．
【解析】 5 名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有 C15C13C24＝90 种安排方法，若甲乙在同一实验舱的种数有 C13C13C12＝18 种， 故甲乙不在同一实验舱的种数有 90－18＝72 种．故选 C.
(2) (2022·全国高三专题练习)8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包
数学思想2-化归与转化-学生版
转化与化归思想1． 转化与化归的原则(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．(3)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．2． 常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径．(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定．(9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则．例1、(1)过抛物线y ＝ax 2 (a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ的长分别是p 、q ，则1p ＋1q＝________. (2)已知函数f (x )＝a x a x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________．变式： (1)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. (2)已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________.例2、若关于x 的方程9x ＋(4＋a )·3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．例3、对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px >4x ＋p －3成立的x 的取值范围是______________．例4、若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c 使得f (c )>0，求实数p 的取值范围．例5、已知函数α,β满足,15323=+-ααα55323=+-βββ，求β+a 的值；例6、设0≤θ≤π，直线l ：xcos θ+ysin θ=2和椭圆12622=+y x 有公共点。
2023年新高考数学大一轮复习专题八思想方法第4讲转化与化归思想(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第4讲 转化与化归思想 思想概述 转化与化归思想方法适用于在研究、解决数学问题时，思维受阻或试图寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情形使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式．方法一 特殊与一般的转化一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，也可以通过一般问题的特殊情形找到一般思路；特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果；对于某些选择题、填空题，可以把题中变化的量用特殊值代替，得到问题答案．例1 (1)(2020·青岛模拟)“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆，若椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12，则椭圆C 的蒙日圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2＝9B ．x 2＋y 2＝7 C ．x 2＋y 2＝5D ．x 2＋y 2＝4 答案 B 解析 因为椭圆C ：x 2a ＋1＋y 2a ＝1(a >0)的离心率为12， 所以1a ＋1＝12，解得a ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 所以椭圆的上顶点A (0，3)，右顶点B (2,0)，所以经过A ，B 两点的切线方程分别为y ＝3，x ＝2，所以两条切线的交点坐标为(2，3)，又过A ，B 的切线互相垂直，由题意知交点必在一个与椭圆C 同心的圆上，可得圆的半径r ＝22＋32＝7，所以椭圆C 的蒙日圆方程为x 2＋y 2＝7.(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C等于( )A.45B.15C.35D.25 思路分析 求cos A ＋cos C 1＋cos A cos C→考虑正三角形ABC 的情况 答案 A 解析 令a ＝b ＝c ，则△ABC 为等边三角形，且cos A ＝cos C ＝12，代入所求式子，得cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝12＋121＋12×12＝45. 一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单，特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.方法二 命题的等价转化将题目已知条件或结论进行转化，使深奥的问题浅显化、繁杂的问题简单化，让题目得以解决．一般包括数与形的转化、正与反的转化、常量与变量的转化、图形形体及位置的转化．例2 (1)由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2)C ．1D ．2 思路分析 命题：存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0是假命题→任意x ∈R ，e |x －1|－m >0是真命题→m <e |x －1|恒成立→求m 的范围→求a答案 C解析 由命题“存在x 0∈R ，使01ex -－m ≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x ∈R ，e |x －1|－m >0”是真命题，可得m 的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a )与(－∞，1)为同一区间，故a ＝1.(2)若对于任意t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t,3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________．思路分析 g x 在t ，3上总不为单调函数→先看g x 在t ，3上单调的条件→补集法求m 的取值范围答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5 解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t,3)上为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t,3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t,3)上恒成立．由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x －3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 所以m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1， 即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t,3)上恒成立， 则m ＋4≤23－9，即m ≤－373. 所以使函数g (x )在区间(t,3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373<m <－5. 根据命题的等价性对题目条件进行明晰化是解题常见思路；对复杂问题可采用正难则反策略，也称为“补集法”；含两个变量的问题可以变换主元.方法三 函数、方程、不等式之间的转化函数与方程、不等式紧密联系，通过研究函数y ＝f (x )的图象性质可以确定方程f (x )＝0，不等式f (x )>0和f (x )<0的解集．例3 (2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0 答案 A解析 ∵2x －2y <3－x －3－y ，∴2x －3－x <2y －3－y. ∵y ＝2x －3－x ＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上单调递增， ∴x <y ，∴y －x ＋1>1，∴ln(y －x ＋1)>ln1＝0.例4 已知函数f (x )＝eln x ，g (x )＝1ef (x )－(x ＋1)．(e ＝2.718……) (1)求函数g (x )的极大值；(2)求证：1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 思路分析 g x 的极值→ln x <x －1→赋值叠加证明结论(1)解 ∵g (x )＝1e f (x )－(x ＋1)＝ln x －(x ＋1)， ∴g ′(x )＝1x－1(x >0)． 令g ′(x )>0，解得0<x <1；令g ′(x )<0，解得x >1.∴函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴g (x )极大值＝g (1)＝－2.(2)证明 由(1)知x ＝1是函数g (x )的极大值点，也是最大值点，∴g (x )≤g (1)＝－2，即ln x －(x ＋1)≤－2⇒ln x ≤x －1(当且仅当x ＝1时等号成立)，令t ＝x －1，得t ≥ln(t ＋1)(t >－1)．取t ＝1n(n ∈N *)时， 则1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴1>ln2，12>ln 32，13>ln 43，…，1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ， ∴叠加得1＋12＋13＋…＋1n >ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×32×43×…×n ＋1n ＝ln(n ＋1)．即1＋12＋13＋ (1)>ln(n ＋1)(n ∈N *)． 借助函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值值域问题，从而求出参变量的范围.。
高考数学专题复习 化归与转化思想
2008高考数学专题复习 化归与转化思想一、 考点回顾化归与转化的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。
转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程，化归是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题。
化归转化思想是中学数学最基本的思想方法，堪称数学思想的精髓，它渗透到了数学教学内容的各个领域和解题过程的各个环节中。
转化有等价转化与不等价转化。
等价转化后的新问题与原问题实质是一样的，不等价转则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。
应用化归转化思想解题的原则应是化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化。
常见的转化有：1、等与不等的相互转化等与不等是数学中两个重要的关系，把不等问题转化成相等问题，可以减少运算量，提高正确率；把相等问题转化为不等问题，能突破难点找到解题的突破口。
2、正与反的相互转化对于那些从“正面进攻”很难奏效或运算较难的问题，可先攻其反面，从而使正面问题得以解决。
3、特殊与一般的相互转化对于那些结论不明或解题思路不易发现的问题，可先用特殊情形探求解题思路或命题结论，再在一般情况下给出证明，这不失为一种解题的明智之举。
4、整体与局部的相互转化整体由局部构成，研究某些整体问题可以从局部开始。
5、高维与低维的相互转化事物的空间形成，总是表现为不同维数且遵循由低维想高维的发展规律，通过降维转化，可把问题有一个领域转换到另一个领域而得以解决，这种转化在复数与立体几何中特别常见。
6、数与形的相互转化通过挖掘已知条件的内涵，发现式子的几何意义，利用几何图形的直观性解决问题，使问题简化。
7、函数与方程的转化二、 经典例题剖析例1、（2007安徽卷 理）设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>． （Ⅰ）令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值； （Ⅱ）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．解析：（Ⅰ）讨论()F x 在(0)+，∞内的单调性并求极值只需求出()F x 的导数'()F x 即可解决； （Ⅱ）要证当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+，可转化为证1x >时2ln 2ln 10x x a x -+->，亦即转化为1x >时()0f x >恒成立；因(1)0f =，于是可转化为证明()(1)f x f >，即()f x 在(1,)+∞上单调递增，这由（Ⅰ）易知。
数学总复习之数学思想第4讲《转化与化归》
数学总复习之数学思想第4讲《转化与化归》一．转化与化归的原则:(1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则．二．常见的转化方法：直接转化法，换元法，数形结合法，等价转化法，特殊化方法，构造法，坐标法，类比法，参数法，补集法．探究一、高维与低维的转化【例1】已知实数c b a ,,满足1,0222=++=++c b a c b a ，则a 的最大值是______． .探究二、正面与反面的转化【例2】函数14)(2+-=ax x x f 在（0，1）内至少有一个零点，求a 的取值范围．探究三、特殊与一般的转化【例3】 已知∆ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，且满足 ()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．探究四、抽象与具体的转化【例4】等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10= ．探究五、数学语言（文字、符号、图形）的转化【例5】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则 A. min{,}min{,}a b a b a b +-≤ B. min{,}min{,}a b a b a b +-≥C. 2222min{,}a b a b a b +-≤+D. 2222min{,}a b a b a b +-≥+1．22202x y x y x x y R ?+=+已知，，满足，则的最大值为 （ ） A．2-+ B．2-- C．2+ D．2-2．设,x y R ∈且22326x y x +=，则22x y +的取值范围为 （ ）A ．[0,4]B ．[2,4]C ．[4,)+D ．[2,6]3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=59S S （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．21 4．在D ABC 中．222sin sin sin sin sin BC B C ?-，则A 的取值范围是 （ ） A ．(0，6π] B ．[ 6π，π) C ．(0，3π] D ．[ 3π，π)5．对于函数()f x 定义域中任意的1212()x x x x ≠，，有如下结论：①1212()()()f x x f x f x +=⋅；②1212()()()f x x f x f x ⋅=+； ③1212()()0f x f x x x ->-； ④1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭． 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 ．6．已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足：f (x ＋y )＝f (x )·f (y )， 且当x ＞0时，f (x )＞1，那么当x ＜0时，一定有 (填序号)． ① f (x )＜－1；② －1＜f (x )＜0；③ f (x )＜1；④ 0＜f (x )＜1.7．数列{}n a 是等差数列，且1[0,1]a ∈，2[1,2]a ∈，3[2,3]a ∈，求4a 的取值范围． .。
数学思想方法梳理(3)——化归与转化思想
数学思想方法梳理（3）——化归与转化思想解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化,是具有较高思维能力要求的压轴题中重点考查的数学思想方法。
1.求函数y ax =可以设t 则原函数转化为关于t 的二次函数 ；2.若lg y u =的定义域为R ，其中()u f x =，则问题等价于不等式 恒成立；若lg ()y f x =的值域为R ，则问题等价于函数()u f x =在(0,)+∞能 ；3.对于[,]x a b ∀∈，总有()()f x g x <等价于函数()h x = 在[,]a b 上的最大值小于零；对于1[,]x a b ∀∈，2[,]x a b ∀∈总有12()()f x g x <等价于max min [()],[()]f x g x 之间满足 ；4.对于12,[,]x x a b ∈，1122()()()()f x g x f x g x -<-等价于函数()()y f x g x =-在[,]a b 上 ；实数,m n 分别满足320am bm cm d +++=，320an bn cn d +++=，可构造()f x = 且()()0f m f n ==．5. 当遇到四个变量1122,,,x y x y ，满足11220,0ax by c ax by c ++=++=时，则1122(,),(,)x y x y 可以可视为直线 上的两个的不同点的坐标，该直线也就是过两定点1122(,),(,)x y x y 的直线； 当遇到两个变量,x y ，满足22,(0)x y m x y n n +=+=>，则可理解为 有公共点；6. ()()()()f x g x f x g x ''+是 的导数； ()()()()0f x g x f x g x ''->（0)(≠x g ）说明函数 在定义域的某个区间上单调增；()()0xg x g x '+<说明函数 在定义域内单调减；7.已知实数[,]k m n ∈， 若210kx kx ++≥恒成立，构造关于k 的一次函数()f k = ，问题等价于不等式 在[,]k m n ∈上恒成立；已知210ax bx ++=，其中[,]x m n ∈，欲求22a b +的最小值，可以视方程为直线:l ，22a b +的最小值就等价于坐标原点到直线l 的的距离d = 的平方的最小值；8.如图（1），A 、B 在直线L 的异侧，在直线L 上任取一点M ，M A M B AB +≥，当且仅当点M与M '重合时有MA MB AB ''+=，所以MA+MB 的最小值是 ．简单地说，就是“异侧和最小”；9.如图（2），A ，B 在直线L 的同侧，在直线L 上任取一点M ，AB MB MA ≤-，当且仅当点M 在AB 的延长线与L 的交点处时有MA MB AB ''-=，此时MA-MB 的最大值是 ．简单地说，就是“同侧差最大”【例1】已知曲线2(),()21a f x g x ax b x+==++.（1）若1,1a b ==为常数，点(,)x y 为直线()y g x =的最小值；（2）若,,0a b a ∈≠R ，关于x 的方程()()f x g x =在[3,5]【解析】（1的最小值，等价于原点到直线30x y -+=的距离d ==2； （2）方程整理得2(21)20ax b x a ++--=，即2220x a xb a x +--+=，以aOb 建立平面坐标系，的最小值 ，设()x ϕ=，其中[3,5]x ∈.2221()51252x t x x t t t t ϕ-====+++++,2t x =-， 设5()2h t t t =++，[1,3]t ∈，225()t h t t-'=，当()0h t '>3t ≤，函数()h t 单调增； 当()0h t '<，1t ≤<()h t 单调减。
第二部分第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件
第3讲 分类讨论思想、转化与化归思想
内
容
索
引
01
一、分类讨论思想
02
二、转化化归思想
一、分类讨论思想
思想方法诠释
1.分类讨论的思想含义
分类讨论,就是当问题所给的对象不能进行统一研究时,就需要对研究对象
按某个标准分类,然后对每一类分别研究得出每一类的结论,最后综合各类
结果得到整个问题的结果.实质上,分类讨论是“化整为零,各个击破,再积零
1- < 0,
由①得-1<q<0,或0<q<1,由②得q>1.
综上,可得q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).
思维升华1.在中学数学中,一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的
单调性,基本不等式,等比数列的求和公式等在不同的条件下有不同的结论,
或者在一定的限制条件下才成立,应根据题目条件确定是否进行分类讨论.
又因为|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=2 5,
14
4
解得|PF1|= ,|PF2|= ,
3
3
所以
1
2
=
7
.
2
若∠F1PF2=90°,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,
所以|PF1|2+(6-|PF1|)2=20,
所以|PF1|=4,|PF2|=2,
所以
1
2
综上知,
(1 + ) + (2 + ) = ,
(1 + )·(2 + ) =
1
.
2
1 + 2 = -,
1 ·2 =
1
《转化与化归思想》课件
配方法：将复杂式子转 化为简单式子
换元法：将复杂式子转 化为简单式子
待定系数法：通过设定未 知系数，将复杂式子转化 为简单式子
数学归纳法：通过归纳推 理，将复杂式子转化为简 单式子
反证法：通过反证法，将 复杂式子转化为简单式子
方程的转化方法
代数变形： 通过代数 运算，将 方程转化 为更简单 的形式
转化与化归思想包括化归法和转化法两种方法，化归法是将复杂问题转化 为简单问题，转化法是将未知问题转化为已知问题。
转化与化归思想在数学解题中有广泛的应用，可以帮助我们解决许多复杂 的数学问题。
转化与化归思想的核心思想是将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转 化为已知问题，从而解决问题。
转化与化归思想的重要性
几何图形的转化方法
平移：将图形沿水平或垂直方向移动
旋转：将图形绕某一点旋转一定角度
反射：将图形沿某一直线或平面进行反 射
缩放：将图形按比例放大或缩小
剪切：将图形沿某一直线或平面进行剪 切
拼接：将多个图形拼接成一个新的图形
转化与化归思想在解题 中的应用
代数题中的转化与化归
转化与化归思想：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题 代数题中的转化：将复杂代数式转化为简单代数式，将未知数转化为已知数 代数题中的化归：将复杂问题转化为简单问题，将未知问题转化为已知问题 代数题中的转化与化归的应用：解决复杂代数问题，提高解题效率
转化与化归思想 的核心内容还包 括对问题的深入 理解和分析，以 及对问题的转化 和化归方法的掌 握。
展望转化与化归思想的发展方向
应用领域：数学、物理、化学等 学科
发展趋势：更加注重理论与实践 的结合
研究热点：转化与化归思想的新 方法、新应用
转化与化归的数学思想
转化与化归的数学思想一、转化与化归思想的含义化归指的是转化与归结．简单的化归思想就是把不熟悉的问题转化成熟悉问题的数学思想．即把数学中待解决或未解决的问题，通过观察、分析、联想、类比等思维过程，选择恰当的方法进行变换、转化，归结到某个或某些已经解决或比较容易解决的问题上，最终解决原问题的这种解决问题的思想，称为化归思想．化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程．数学中的转化比比皆是，比如将未知向已知转化；复杂问题向简单问题转化；命题间的转化；数与形的转化；空间向平面的转化；高次向低次的转化；多元向少元的转化；无限向有限的转化等都是化归思想的体现．化归思维模式：问题→新问题→解决新问题→解决原问题.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决；（2）简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据；（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；（4）直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决；（5）正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解。
二、化归思想的解题途径1、一般与特殊的转化21(0)11,2.243y ax a F P Q PF FQ p q p q A a B a C a D a =>+例 过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于、两点，若线段、的长分别为、则的值为（ ）2.具体与抽象的转化.把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径,它是对抽象问题的理解和再认识,在抽象.例2、设函数 的定义域为D ，若所有点 构成一个正方形区域，则a 的值为A ．-2B ．-4C ．-8D ．不能确定3. 正面与反面的转化在处理某一问题时，按习惯思维从正面思考比较困难，这时用逆向思维的方式从反面去考虑，往往使问题变得比较简单。
转化与化归思想
3．直观化原则 将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决． 4．正难则反原则 当问题正面讨论遇到困难时，应想到考虑问题的反面， 设法从问题的反面去探求，使问题获得解决，或证明问题的 可能性． 总之，化归与转化是高中数学的一种重要思想方法，掌 握好化归与转化的思想方法的特点、题型、方法、要素、原 则对我们学习数学是非常有帮助的．
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等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们 在一定的条件下可以相互转化，例如本例，表面看来似 乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解 决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组) 来求解，则显得非常简捷有效.
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正向与逆向的转化
[例3] 某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4 次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中 目标1次的概率为 ________．
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2．转化与化归的常见方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂 等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基 本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形 式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径． (4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价问题， 以达到化归的目的．
同一区间，故a＝1.
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“化归与转化”还有“数与形的转化、数学各分支之间的转 化”等，应用时还应遵循以下四条原则：
1．熟悉化原则 将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于运用熟知的知识 和经验来解答问题． 2．简单化原则 将复杂的问题转化为简单的问题，通过对简单问题的解决， 达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
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数学总复习之数学思想《转化与化归》 一．转化与化归的原则:
(1)熟悉化原则;(2)简单化原则;(3)直观化原则;(4)正难则反原则．
二．常见的转化方法：直接转化法，换元法，数形结合法，等价转化法，特殊化方法，构造法，坐标法，类比法，参数法，补集法．
探究一、高维与低维的转化
【例1】已知实数c b a ,,满足1,02
22=++=++c b a c b a ，则a 的最大值是______． .
探究二、正面与反面的转化
【例2】函数14)(2+-=ax x x f 在（0，1）内至少有一个零点，求a 的取值范围．
探究三、特殊与一般的转化
【例3】 已知∆ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，且满足 ()OH m OA OB OC =++，则实数m = ．
探究四、抽象与具体的转化
【例4】等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10
= ．
探究五、数学语言（文字、符号、图形）的转化
【例5】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y
≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则 A. min{,}min{,}a b a b a b +-≤ B. min{,}min{,}a b a b a b +-≥
C. 2222max{,}a b a b a b +-≤+
D. 2222max{,}a b a b a b +-≥+
二、课后作业
1. 22202x y x y x x y R ?+=+已知，，满足，则的最大值为 （ ）
A
．2-+ B
．2-- C
．2+ D
．2-2. 设,x y R ∈且22326x y x +=，则22x y +的取值范围为 （ ）
A ．[0,4]
B ．[2,4]
C ．[4,)+
D ．[2,6]
3. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若9535=a a ，则=5
9S S （ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．
21 4. 在D ABC 中，222sin sin sin sin sin A B
C B C ?-，则A 的取值范围是 （ ） A ．(0，6π
] B ．[ 6π
，π) C ．(0，3π
] D ．[ 3π
，π)
5. 对于函数()f x 定义域中任意的1212()x x x x ≠，，有如下结论：
①1212()()()f x x f x f x +=⋅；②1212()()()f x x f x f x ⋅=+； ③1212()()0f x f x x x ->-； ④1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭
． 当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 ．
6. 已知定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )恒不为零，同时满足：f (x ＋y )＝f (x )·f (y )， 且当x ＞0时，f (x )＞1，那么当x ＜0时，一定有 (填序号)． ① f (x )＜－1；② －1＜f (x )＜0；③ f (x )＜1；④ 0＜f (x )＜1.
7. 数列{}n a 是等差数列，且1[0,1]a ∈，2[1,2]a ∈，3[2,3]a ∈，求4a 的取值范围． .。