中科大数学分析历年期末考试卷.pdf
中国科学技术大学考试试卷集(二)
三、证明Hausdorff-Young不等式：f 2 Lp; 1 Ä p Ä 2; p0为p的对偶指标，则kfOkp0 Ä kf kp.
四、考虑仿射群.R2C; / WD f.b; a/ W b 2 R; a > 0g赋予运算.b1; a1/ .b2; a2/ D .b1 C a1b2; a1a2/.
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中科大2016 年复分析（H）期中试题
1、（24 分）计算下列积分。
（1）
∫ |dz|
|z|=2 z − 1
（2）
∫ dz
|z|=2 (z − 3)2(z4 − 1)
（3）
∫ +∞
ex 2
−∞ 1 + ex dx
2、（40 分）判断下列说法是否正确，说明理由。
（1）全纯函数一定有原函数；
（2）调和函数 log|z| 没有共轭调和函数；
2、（2 分）设 f (z) = z−1(1 − z)3(1 + z)−1，求 f (z) 在扩充的复平面上的所有支点，并求 f (z) 在 [0, 1] 上岸取正值的单值分支在点 z = i 的值。
3、（2 分）
叙述有界单连通区域的柯西定理，并对三角形区域给出详细证明。
4、（2 分）计算题
（1）计算留数
（4）设 f 为整函数且 Re(f ) < 0，则 f 为常数；
（5）设 f 为增长阶数有限的整函数，如果存在复数 a, b，使得对任意的 z ∈ C，都有 f (z) ̸= a，
f (z) ̸= b，则 f 为常数；
2、（20 分）计算下列积分。
（1）
∫ +∞ cosx −∞ a2 + x2 dx, where a > 0;
40、中国科学技术大学2019-2020学年第一学期数学分析(B1)期中考试(9页 文字版)
3.
设 f (x) 在 x0 处二阶可导,
且 f (x0)
0,
求
lim
x x0
f
(x
)
1
f
(x0
)
(x
x
1 0 )f
(x
0
)
.
解(1) 由带 Peano 余项的 Taylor 定理,
f (x)
f (x0)
f (x0)(x
x0)
f (x0)(x 2
x0)2
o((x
x0)2) (x
4.
设由参数方程 yx
arctan t ln(1 t2) 确定 y 是 x 的函数,
求 dy , d2y dx dx 2
.
解 由题意得,
dx 1 , dy 2t dt 1 t2 dt 1 t2
故
dy dy dt 2t (1 t2) 2t dx dt dx 1 t2
d2y dx 2
②若 {Sn } 有界, 则 {Sn } 收敛, 记为 Sn S (n ) . 则
综上,
lim
n
an
nlim(Sn
Sn1)
S
S
0.
lim
an
0.
n a1 a2 an
错解 直接用夹逼定理, 写出诸如 inf an 0 的式子, 这显然是错误的( inf an 0 ).
2. 若 lim x 2 3x 2 ax b 0 , 求a,b 的值. x
3.
设 f (x) 在 x0 处二阶可导,
且 f (x0)
0,
求
lim
x x0
f
(x
)
1
f
(x0
2012中科大数学分析硕士研究生入学考试试题(回忆版)
������
1 ������ − 1 ln ( ) ⅆ������， (������ > 1) ������ 32
2012 中科大数学分析考研试题 ������ − ������ 2 ⅈ(������ ) = . / 2 展开成以2������为周期的 Fourier 级数； （2）利用上面的级数计算下面级数的和 ∑
������������ ������������ ∞ ������=1
∞
������ ������ ⅇ −������������ 在(0, ∞)上一致收
2
+
������������ ������������
+
������������ ������������
= ⅈ，且
2012 中科大数学分析考研试题 ∬
2012 中科大数学分析考研试题
中国科学技术大学
2012 年硕士学位研究生入学考试试题 数学分析（回忆版） 1、 （15 分）回答下列问题，如果结论是肯定的，请举例说明：如果 结论是否定的，请给出证明。 （1）是否存在两个发散的正数列，而它们的和是一个收敛数列？ （2）是否存在,������, ������-上的不恒为 0 的连续函数ⅈ(������ )，使它在,������, ������-中 的有理点处的取值为 0？ (3) 是否存在数列*������������ +，使
������2n−1 = ������ ������→∞ 2������ − 1 ������������������
������1 + ������2 + ⋯ + ������������ ������ + ������ = ������→∞ ������ 2 ������������������ 3、函数 ⅈ(������ ) = ∫ 在何处取得最小值？ 4、已知函数ⅈ(������ )可微，且ⅈ ′ (������ ) = 0(������ )，(������ → +∞)，证明： ⅈ(������ ) = 0(������ 2 )，(������ → +∞) (注：0代表有界量)。 5、 （1）将函数 1
中国科学院大学《高等代数》《数学分析》考研真题汇总(2009-2018年汇编)
|z| ≤ na, |x| ≤ nh, |y| ≤ nk.
(2) 求证： Hermite 矩阵的特征值都是实数.
(3) 求证：反对称矩阵的非零特征值都是纯虚数.
六、 ( 15 分) 设 A 是 n 维实线性空间 V 的线性变换, n ≥ 1. 求证： A 至少存在一个一维或者二维的不变 子空间.
七、 ( 20 分) 设循环矩阵 C 为
01
生成的子空间. 求 W ⊥ 的一组标准正交基.
00
11
八、 ( 18 分) 设 T1, T2, · · · , Tn 是数域 F 上线性空间 V 的非零线性变换, 试证明存在向量 α ∈ V , 使得 Ti(α) = 0, i = 1, 2, · · · , n.
7
5. 2013年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
三、 ( 20 分) 已知 n 阶方阵
a21
a1a2 + 1 · · · a1an + 1
A
=
a2a1 + 1
a22
···
a2an + 1
,
···
··· ··· ···
ana1 + 1 ana2 + 1 · · ·
a2n
n
n
其中 ai = 1, a2i = n.
i=1
八、 ( 15 分) 设 A 是 n 阶实方阵, 证明 A 为实对称阵当且仅当 AAT = A2, 其中 AT 表示矩阵 A 的转置.
6
4. 2012年中国科学院大学《高等代数》研究生入学考试试题
一、 ( 15 分) 证明：多项式 f (x) = 1 + x + x2 + · · · + xn 没有重根.
中国科技大学期末考试-复变函数·历年真题集
ak(k
=
1, · · ·
, m)是Q(z)的全部零点,
且其阶数为nk.
试
证明f (z)
=
m k=1
nk s=1
(z
Aks − ak)s
,
其中Aks为复常数.
6
2019-2020学年第一学期复变函数(A)期末试题
1.(39分)填空题(本题涉及的闭曲线方向都是取曲线正向)
(1)设z
=
1
+
i ,
那么z2019
y(0) = 0；y (0) = 1.
6.
(7分)求一保形变换w
= f (z),
将半带域D
π :−
<
Rez
<
π ,
Imz
> 0映射为上半平面
Imw
> 0.
2
2
7. (7分)求方程 kz4 = sin z (k > 2)在圆|z| < 1内根的个数.
8. (6分)设f (z)是在有界域D上解析的非常值函数, 并且在有界闭域D + C上连续, 其中C为D的边界. 如果
∞
∞
展开式为 cnzn, 那么幂级数
n=0
n=0
=. cnzn的收敛半径R
=
.
(8)设函数f (z) = ez , 那么f (z)在区域0 < |z−1| < +∞内的罗朗（Laurent）展开式为
.
1−z
(9)设z0 ∈ C, 函数|ez|在闭圆盘{z ∈ C : |z − z0| ≤ 1}上的最大值为
(z − 3)2z2(z + 1)3
5. (8分)试求方程2z6 − 3z3 + 2 = 0在各个象限内根的个数.
中国科学技术大学2018年数学分析考研试题及解答
证明: ak = o(k2), k → +∞.
2. 设 Φ(x) 为周期为 1 的黎曼函数.
(1) 求 Φ(x) 的连续点和间断点的类型.
(2) 计算积分
1 0
Φ(x)
dx.
3. 已知 Ω 为 R3 中的有界域, ⃗n 为单位向量. 求证: 存在以 ⃗n 为法向量的平面平分 Ω 的体积.
4. 已知 f (x) 为周期等于 2π 的奇函数, 当 x ∈ (0, π) 时, f (x) = −1. 试利用 f 的 Fourier 级数计算
t
2−t
=2
(f ′(x − t))2 + (g′(x + t))2 dx.
t
dF (t) dt = −2
(f ′(2 − 2t))2 + (g′(x))2
−2
(f ′(0))2 + (g′(2t))2
2−t
+2
−2f ′(x − t)f ′′(x − t) + 2g′(x + t)g′′(x + t) dx
7. 已知 Dt = {(x, y) ∈ R2 : (x − t)2 + (y − t)2 ⩽ 1, y ⩾ t} , f (t) = Dt x2 + y2 dx dy, 计算 f ′(0). 8. 已知 u(x) ∈ C[0, 1], u(x) ∈ C2(0, 1), u′′(x) ⩾ 0, 令 v(x) = u(x) + εx2, ε > 0.
t
= −4 (g′(2t))2 − 4 (f ′(2 − 2t))2 ⩽ 0.
计算上述积分时会用到
f ′(x)f ′′(x) dx =
f ′(x) df ′(x)
数学系一年级数学分析期末考试题
数学系一年级《数学分析》期末考试题
学号 姓名
一、 叙述题：
1、 用δε-语言叙述A x f x x =-→)(lim 0 （A 为定数）
2、 叙述Rolle 中值定理，并举出下列例子： ① 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； ② 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； ③ 第三个条件不成立，结论成立的例子；
二、计算题：
3、 求极限)122(lim n n n n ++-+∞
→ ； 4、 求极限x n x
-∞→-)21(lim ； 5、 求)1ln()(x x f +=的带Peano 型余项的Maclaurin 公式；
6、 求x
x x x n sin tan lim 0
--→； 三、研究函数
7、 =)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧+=0 x 10 x
00 22 x x x 在0=x 处的左，右极限和极限； 四、研究函数
8、 求数集{}22 x x s =的上、下确界，并依定义加以验证；
五、证明题：
9、 用定义证明： 35lim 22
=+→x n ； 10、 证明：()()())()()(x g o x g o x g o =+ (0x x →)
11、 设)(x f 定义在区间Ⅰ上，若存在常数L ，'x ∀,∈''x Ⅰ,有
'''''')()(x x L x f x f -≤-
证明：)(x f 在Ⅰ上一致连续；
12、 设函数)(x f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明 )()(2)()(lim ''20
a f h a f h a f h a f h =--++→ .。
中科院数学分析试题答案
中国科学院数 数学分析试题1求a,b 使下列函数在x=0处可导:21ax b y x +≥⎧=⎨+⎩当x 0;当x<0.解：由于函数在x=0处可导，从而连续，由(00),(00)1f b f +=-=得到b=1;又由(0),(0)0f a f +-==得到a=0.即得。
2 1110,,.1n n n a ∞∞==>+∑∑n n1已知级数发散求证级数也发散a a证明: 用反证法。
由0n a >知1n ∞=∑n 1级数a ，111n ∞=+∑n a 均为正项级数。
假设级数111n ∞=+∑n a 收敛，则1lim 01n →∞=+na ，于是有11lim lim lim 1111111n n n n n n a a a →∞→∞→∞===-+++n n 1a a ，从而由正项级数的比较判别法知级数1n ∞=∑n 1a 收敛，矛盾，从而得证。
3 1(1).n x dx ≥-⎰m 设m,n 0为整数,求积分x 的值解：111111n100(1),1I(m,n)=(1-x)(1)|(1)(1)(1,1).01111n m m m n n x dx x x x n d x n x dx I m n m m m m +++--=----=+-++++⎰⎰⎰m 设I(m,n)=x 则由分部积分法有从而111(,)(1,1)(2,2)(,0)11212n n n n n I m n I m n I m n I m n m m m m m m n--=+-=+-==+++++++!1!!()!1(1)!!n m n m n m n m n m ==+++++即得解。
4 0().aaa dx f x dx -=⎰⎰xf(x)设a>0,f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数,则1+e证明：由f(x)是定义在[-a,a]上的连续的偶函数知()()f x f x -=,从而令x t =-有()()()11a a at t t a a af t e f t dx dt dt e e -----=-=++⎰⎰⎰x f(x)1+e 从而1()1()()212aaaat t a a aae f t dx dx dt f x dx e ----=+=+⎰⎰⎰⎰x x f(x)f(x)1+e 1+e 0000011[()()][()()]()22aaaaa f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx -=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰得证。
安徽省合肥市中学科大附中2025届数学七上期末监测试题含解析
安徽省合肥市中学科大附中2025届数学七上期末监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．(﹣2)3表示()A．2乘以﹣3 B．2个﹣3相加C．3个﹣2相加D．3个﹣2相乘2．如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图（从正面看）是（）A．B．C．D．3．如图，根据流程图中的程序，当输出y的值为1时，输入x的值为（）A．8-B．8 C．8-或8 D．4-4．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是( )A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线D ．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短5．若33a a -=-+，则a 的取值范围是（ ）A ．3a ≤B ．3a <C ．3a ≥D ．3a >6．如图，把一张长方形的纸片沿着EF 折叠，点C 、D 分别落在M 、N 的位置，且∠MFB=12∠MFE， 则∠MFB=（ ）A ．30°B ．36°C ．45°D ．72°7．下列各对数中，数值相等的是 ( )A ．23和32B ．（﹣2)2和﹣22C ．2和|﹣2|D ．和8．2019的相反数是（ ）A ．12019B ．﹣2019C ．12019-D ．20199．数轴上与表示﹣1的点距离10个单位的数是（ ）A ．10B ．±10C ．9D ．9或﹣1110．一枚六个面分别标有16-个点的骰子，将它抛掷三次得到不同的结果，看到的情形如图所示，则图中写有“？”一面上的点数是（ ）A ．6B ．2C ．3D ．1二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分)11．若一个角的补角比它的余角的4倍少15，则这个角的度数为______．12．如图所示，甲从A 点以66m /min 的速度，乙从B 点以76m /min 的速度，同时沿着边长为100m 的正方形按A →B →C →D →A …的方向行走．当乙第一次追上甲时，在正方形的______边上．（用大写字母表示）13．如图，已知线段30AB cm =，点D 是线段AB 上一点．且12BD cm =，点C 是线段AD 的中点．则线段BC 的长为__________cm ．14．已知船在静水中的速度是a 千米/小时，水流速是b 千米/小时，则顺流航行5小时比逆流航行 3小时多航行了_______千米．15．如图，已知O 为直线AB 上一点，OC 平分,4,AOD BOD DOE COE β∠∠=∠∠=，则∠BOE 的度数为 ______． (用含β的式子表示)16．数轴上点A 距原点3个单位，将点A 向左移动7个单位，再向右移动2个单位到达B 点，则点B 所表示的数是_____．三、解下列各题(本大题共8小题，共72分)17．（8分）如图，某地方政府决定在相距50km 的A 、B 两站之间的公路旁E 点，修建一个土特产加工基地，且使C 、D 两村到E 点的距离相等，已知DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，DA=30km ，CB=20km ，那么基地E 应建在离A 站多少千米的地方？18．（8分）某校七年级学生在农场进行社会实践劳动时，采摘了黄瓜和茄子共80千克，了解到采摘的这部分黄瓜和茄子的种植成本共184元，还了解到如下信息：黄瓜的种植成本是2元/千克，售价是3元/千克；茄子的种植成本是2.4元/千克，售价是4元/千克．（1）求采摘的黄瓜和茄子各多少千克？（2）这些采摘的黄瓜和茄子全部卖出可赚多少元？19．（8分）如图，点A ，B 在长方形的边上．（1）用圆规和无刻度的直尺在长方形的内部作∠ABC ＝∠ABO ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若BE 是∠CBD 的角平分线，探索AB 与BE 的位置关系，并说明理由．20．（8分）如图，438624,AOB BOC '∠=︒∠=,，OD 为AOC ∠的平分线，求BOD ∠的度数21．（8分）已知28,36a b ==，且b a >，求+a b 的值． 22．（10分）已知a b c d ,,,都是有理数，现规定一种新的运算：,,a b ad bc c d =-，例如：1,214-23-23,4=⨯⨯= （1）计算-1,2-3，5（2）若,261,2x x -=+，求x 的值． 23．（10分）已知A ，B 在数轴上对应的数分别用a ，b 表示，且点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，将点B 先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A ，P 是数轴上的一个动点．(1)在数轴上标出A 、B 的位置，并求出A 、B 之间的距离；(2)已知线段OB 上有点C 且6BC =，当数轴上有点P 满足2PB PC =时，求P 点对应的数；(3)动点P 从原点开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动3个单位长度，第三次向左移动5个单位长度，第四次向右移动7个单位长度，…点P 能移动到与A 或B 重合的位置吗?若不能，请说明理由．若能，第几次移动与哪一点重合?24．（12分）如图，O 是直线AB 上一点，OD 平分∠BOC，∠COE=90°．若∠AOC=40°，求∠DOE 的度数．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【解析】根据乘方的定义求解可得．【详解】(﹣2)3表示3个﹣2相乘，故选D ．【点睛】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是掌握有理数乘方的定义：求n 个相同因数积的运算，叫做乘方．2、A【分析】这个几何体的主视图有3列：小正方形的个数依次是1、1、2，据此解答即可．【详解】解：这个几何体的主视图是：．故选：A ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，属于基础题目，掌握解答的方法是关键．3、C【分析】根据流程,把输出的函数值分别代入函数解析式求出输入的x 的值即可.【详解】∵输出y 的值为1∴①当1x ≤时，1512x +=，解得8x =-，符合题意； ②当1x ＞时，1512x -+=，解得8x =，符合题意；∴输入的x的值为8-或8故选：C.【点睛】此题主要考查函数值求解，比较简单，注意分两种情况代入求解.4、A【分析】根据垂线段最短、直线和线段的性质即可得到结论．【详解】解：A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：垂线段最短，故原命题错误；B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：两点之间线段最短，正确；C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：两点确定一条直线，正确；D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．故选A．【点睛】考查了垂线段最短，直线和线段的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．5、A【分析】根据负数的绝对值是其相反数，0的绝对值是0可知，a-1≤0，则a≤1．【详解】解：由|a-1|=1-a，根据绝对值的性质可知，a-1≤0，a≤1．故选A．【点睛】本题考查不等式的基本性质，尤其是非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数.6、B【分析】根据图形折叠后边的大小，角的大小不变的特点找出角的大小关系进行解答即可.【详解】在长方形ABCD中，纸片沿着EF折叠∴∠CFE=∠MFE∠MFB=12∠MFE∠CFE+∠MFE+∠MFB=180︒∴2∠MFB+2∠MFB+∠MFB =180︒5∠MFB=180︒∴∠MFB=36︒故选B【点睛】此题重点考察学生对图形折叠的认识，把握折叠后的图形性质是解题的关键.7、C【解析】选项A，，数值不相等；选项B，（﹣2)2=4，﹣22 =﹣4，数值不相等；选项C，|﹣2|=2，数值相等；选项D，，，数值不相等，故选C.点睛：解决此类题目的关键是熟记有理数的乘方法则．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；正数的任何次幂都是正数．8、B【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．【详解】解：1的相反数是﹣1．故选：B．【点睛】本题考查相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义．9、D【分析】根据数轴上两点间的距离可得答案.提示1：此题注意考虑两种情况：要求的点在-1的左侧或右侧．提示2：当要求的点在已知点的左侧时，用减法；当要求的点在已知点的右侧时，用加法．【详解】与点-1相距10个单位长度的点有两个：①-1+10=9；②-1-10=-1．故选D.【点睛】本题主要考查数轴上两点间的距离及分类讨论思想.考虑所求点在已知点两侧是解答本题关键.10、A【分析】根据正方体及其表面展开图，得出和点“1”相邻的四个面是“2”、“3”、“4”、“5”，推出“1”点对面是“6”点，正方体是图中第三种位置关系时，从相邻面和相对面分析，用排除法选出正确答案．【详解】解：根据前两个正方体图形可得出和“1”点相邻的四个面是“2”、“3”、“4”、“5”，当正方体是第三种位置关系时，“1”和“6”在正方体上下两面，∵“1”不在上面，∴“6”在上面，故选：A．【点睛】本题考查了正方体相对两面上的数字，理解正方体展开图，从相邻面和相对面进行分析是解题关键．二、填空题(本大题共有6小题，每小题3分，共18分)11、1【解析】根据补角和余角的定义，利用这个角的补角的度数＝它的余角的度数×4−15作为相等关系列方程，解方程即可．【详解】解：设这个角为x ，则它的补角为（180°−x ），余角为（90°−x ），由题意得：180°−x ＝4（90°−x ）−15，解得x ＝1°．即这个角为1°．故答案为:1．【点睛】本题主要考查了余角、补角的定义以及一元一次方程的应用．解题的关键是能准确地从题中找出各个量之间的数量关系，列出方程，从而计算出结果．互为余角的两角的和为90°，互为补角的两角的和为180°．12、AD【分析】根据题意可得：乙第一次追上甲时所走的路程＝甲走的路程＋3×100，设所用的时间为x min ，由此等量关系可列方程，则可求出追到时的时间，再求出路程．根据路程计算沿正方形所走的圈数，即可得出结论．【详解】解：设乙第一次追上甲时，所用的时间为x min ，依题意得：76x ＝66x ＋3×100解得：x ＝30，∴乙第一次追上甲时，甲所行走的路程为：30×66＝1980m ，∵正方形边长为100m ，周长为400m ，∴当乙第一次追上甲时，将在正方形AD 边上．故答案为：AD ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键是要求出它们相遇时的路程，然后根据路程求沿正方形所行的圈数，即可知道在哪一边上．13、1【分析】根据中点平分线段长度即可求得BC 的长．【详解】∵30AB cm =，12BD cm =∴301218AD AB BD cm =-=-=∵点C 是线段AD 的中点∴1118922CD AD cm ==⨯= ∴91221BC CD BD cm =+=+=故答案为：1．【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握中点平分线段长度是解题的关键．14、28a b +【分析】由题意得，顺流速度为+a b 千米/小时，逆流速度为-a b 千米/小时，根据距离公式列式求解即可．【详解】()()53a b a b +--5533a b a b =+-+28a b =+故答案为：28a b +．【点睛】本题考查了航行距离的问题，掌握距离公式是解题的关键．15、2703β︒－【分析】先求出1804AOD DOE ∠=-∠，利用角平分线的性质求出∠COD=19022AOD DOE ∠=-∠，由∠=COE β得到90DOE β∠=-，再根据4BOD DOE ∠=∠推出∠BOE 的度数.【详解】∵180AOD BOE ∠+∠=，4BOD DOE ∠=∠，∴ 1804AOD DOE ∠=-∠，∵OC 平分∠AOD ，∴∠COD=19022AOD DOE ∠=-∠， ∵∠COE=∠COD+∠DOE ，且∠=COE β，∴902DOE DOE β-∠+∠=,∴90DOE β-∠=,∴90DOE β∠=-,∵4BOD DOE ∠=∠,∠BOD=∠BOE+∠DOE ，∴∠BOE=3∠DOE=2703β︒－︒－.故答案为：2703β【点睛】此题考查平角的定义，角平分线的性质，几何图形中角度的和差计算.16、﹣2或﹣1【解析】分析：根据题意可以求得点A表示的数，从而可以得到点B表示的数，本题得以解决．详解：由题意可得，点A表示的数是3或-3，∴当A为3时，点B表示的数为：3-7+2=-2，当A为-3时，点B表示的数为：-3-7+2=-1，故答案为：-2或-1．点睛：本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数轴的知识解答．三、解下列各题(本大题共8小题，共72分)17、20千米【分析】由勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方即可求，即在直角三角形DAE和直角三角形CBE中利用斜边相等两次利用勾股定理得到AD2+AE2=BE2+BC2，设AE为x，则BE=10﹣x，将DA=8，CB=2代入关系式即可求得．【详解】解：设基地E应建在离A站x千米的地方．则BE=（50﹣x）千米在Rt△ADE中，根据勾股定理得：AD2+AE2=DE2∴302+x2=DE2在Rt△CBE中，根据勾股定理得：CB2+BE2=CE2∴202+（50﹣x）2=CE2又∵C、D两村到E点的距离相等．∴DE=CE∴DE2=CE2∴302+x2=202+（50﹣x）2解得x=20∴基地E应建在离A站20千米的地方．考点：勾股定理的应用．18、（1）采摘黄瓜20千克，茄子60千克；（2）这些采摘的黄瓜和茄子全部卖出可赚116元.-千克，然后根据“采摘的这部分黄瓜和茄子的种植成本共184元”【分析】（1）设采摘黄瓜x千克，则采摘茄子(80)x列出方程进一步求解即可；（2）先将每千克的黄瓜与茄子的利润算出来，然后再算总共的利润即可．【详解】（1）设采摘黄瓜x 千克，则采摘茄子(80)x -千克，依题意，得：2 2.4(80)184x x +-=，解得：20x ，∴8060x -=．答：采摘黄瓜20千克，茄子60千克．（2）(32)20(4 2.4)60116-⨯+-⨯=（元）答：这些采摘的黄瓜和茄子全部卖出可赚116元．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键．19、（1）如图所示，∠ABC 即为所求作的图形；见解析；（2）AB 与BE 的位置关系为垂直，理由见解析．【分析】（1）根据角平分线定义即可在长方形的内部作ABC ABO ∠=∠；（2）根据（1）的条件下，BE 是CBD ∠的角平分线，即可探索AB 与BE 的位置关系.【详解】如图所示，（1）∠ABC 即为所求作的图形；（2）AB 与BE 的位置关系为垂直，理由如下：∵∠ABC ＝∠ABO ＝12∠OBC ∵BE 是∠CBD 的角平分线，∴∠CBE ＝12∠CBD ∴∠ABC +∠CBE ＝12（∠ABC +∠CBD ）＝12⨯180°＝90° ∴AB ⊥BE ．所以AB 与BE 的位置关系为垂直．【点睛】本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质，角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义准确画图. 20、21°42′【分析】首先求得∠AOC 的度数，根据角平分线的定义求得∠AOD ，然后根据∠BOD=∠AOD-∠AOB 求解．【详解】∵∠AOB=43°，∠BOC=86°24′，∴∠AOC=43°+86°24′=129°24′，∵OD 平分∠AOC ，∴∠AOD=12∠AOC=129°24′÷2=64°42′， ∴∠BOD=∠AOD- ∠AOB=64°42′-43°=21°42′．【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解角平分线的定义，求得∠AOD 是关键．21、-14或-2【分析】先根据绝对值的性质和平方求出a,b 的值，然后根据b a >最终确定a,b 的值，然后代入+a b 中即可求解．【详解】因为 a =8，b 2=36所以 8,6a b =±=±由 b>a ，得8,6a b =-=±所以 a+b = 6+（-8）=-2 或a+b = -6+（-8）=-14综上所述，+a b 的值为-14或-2【点睛】本题主要考查代数式求值，根据绝对值和平方的性质求出a,b 的值是解题的关键．22、（1）1；（2）1x =．【分析】（1）根据题中的新定义计算即可求出值；（2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x 的值．【详解】（1）根据题中的新定义得：原式()1523=-⨯-⨯-56=-+1=；（2）由题中的新定义化简得：()()2216x x --⨯+=，去括号得：2226x x ++=，移项合并得：44x =，解得：1x =．【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23、（1）A 、B 位置见解析，A 、B 之间距离为30；（2）2或-6；（3）第20次P 与A 重合；点P 与点B 不重合．【分析】（1）点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，得到点B 表示的数，再根据平移的过程得到点A 表示的数，在数轴上表示出A 、B 的位置，根据数轴上两点间的距离公式，求出A 、B 之间的距离即可；（2）设P 点对应的数为x ，当P 点满足PB=2PC 时，得到方程，求解即可；（3）根据第一次点P 表示-1，第二次点P 表示2，点P 表示的数依次为-3，4，-5，6…，找出规律即可得出结论．【详解】解：（1）∵点B 距离原点10个单位长度，且位于原点左侧，∴点B 表示的数为-10，∵将点B 先向右平移35个单位长度，再向左平移5个单位长度，得到点A ，∴点A 表示的数为20，∴数轴上表示如下：AB 之间的距离为：20-（-10）=30；（2）∵线段OB 上有点C 且6BC =，∴点C 表示的数为-4，∵2PB PC =，设点P 表示的数为x ， 则1024x x +=+，解得：x=2或-6，∴点P 表示的数为2或-6；（3）由题意可知：点P 第一次移动后表示的数为：-1，点P 第二次移动后表示的数为：-1+3=2，点P 第三次移动后表示的数为：-1+3-5=-3，…，∴点P 第n 次移动后表示的数为（-1）n •n ，∵点A 表示20，点B 表示-10，当n=20时，（-1）n•n=20；当n=10时，（-1）n•n=10≠-10，∴第20次P与A重合；点P与点B不重合．【点睛】本题考查的是数轴，绝对值，数轴上两点之间的距离的综合应用，正确分类是解题的关键．解题时注意：数轴上各点与实数是一一对应关系．24、20°【解析】试题分析：根据∠AOC的度数求出∠BOC的度数，根据角平分线的性质得出∠COD的度数，然后根据∠DOE=∠COE－∠COD来进行求解.试题解析：∵∠AOC=40°∴∠BOC=180°-∠AOC =140°∵OD平分∠BOC ∴∠COD=12∠BOC=70°∵∠COE=90°∴∠DOE=∠COE-∠COD =20°考点：角度的计算、角平分线的性质.。
中科大2020年秋季学期泛函分析(H)期末考试
y2B
(1) 证明: .H.x/; L/是紧度量空间 (2) 设S1; S2是.X; d /到自身的压缩映射。 证明： 存在唯一的K 2 H.X /使得K D K.S1/ [ K.S2/. 六、设X 为Banach空间，T W X ! X 是线性算子，D.T / D X 。若存在C > 0，使得8x 2 X 都有
三、设H 是Hilbert空间，T W H ! H 满足8x; y 2 H; hT x; T yi D hx; yi. 计算T 的谱半径，并
证明T 的连续谱值的模长都为1。
四、设f ng是l2中的规范正交基，定义
T .x1
; xn;
1
/ D X e2 i=nxn n:
nD1
(1) 证明：T 是Fredholm算子，且ind.T / D 0.
中科大2020年秋季学期泛函分析(H)期末考试
一、设T
W
L2Œ0; 1
! L2Œ0; 1为Tf .x/ WD
R1
0
x2yf
.y/dy,
求算子范数kT
k.
二、设函数列fn.t / D Œ2n;2nC1.t /. 问:
(1) 在Lp.R/中，是否有fn * 0?
(2) 在.L1.R// 中，是否有fn * 0?
0;
Pr
i D1
ci
D
kuk1 WD supf.u; v/jv 2 Rd ; kvk1 Ä 1g
证明：对任意x 2 Rd , 存在y; z使得x D y C z, 且kyk1 C kzk1 Ä kxk:
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) 若n充分大时有en D .0; 0; ; 1 ; 0; /. 证明： .T /是以1为聚点的至多可数集。 „ƒ‚…