离散数学模拟题5

模拟试题5

一．填空

1．已知P 为T ， P →Q 为T ，则Q 为( )。

已知⌝Q 为T, P →Q 为T ，则P 为( )。 已知P ↔Q 为T ，P 为T , 则Q 为( )。

2．A 、B 是集合。试用谓词公式，表达A ⊆B 、A=B 以及A ⊂B 。

3．A ，B ，C 是集合，(A-B)∪(A-C)=A ，当且仅当 （ ）。

二．已知命题公式A(P,Q,R)的主析取范式中含有小项m1, m3, m5, m7 。 求它的主合取范式。 三．用谓词逻辑推理的方法证明下面推理的有效性。(要求按照推理的格式书写推理过程。)

∀x(⌝A(x)→⌝B(x))，∃x(C(x)∧B(x)), ⇒ ∃x(C(x)∧A(x)) 四．R 和S 都A 上等价关系，求证R ∩S 也A 上等价关系。

五．给定集合 X={1,2,3} Y={a,b} 问可构成多少个从X 到Y 函数？请画出这些函数的有向图。 六．令G={km|k ∈Z}，m 是某个确定的自然数，Z 是整数集合，＋是加法运算。 证明 是交换群。 七．

1．说明什么叫做布尔格？

2．下面(a),(b),(c)三个格是布尔格吗？如果是，请指出各个格的原子。

八．

1．名词解释：

(1)．强连通 (2)．单侧连通 (3)．弱连通

2． 下面给出三个有向图，分别说出它们是哪种连通图。

3．一棵树有n 个结点，其中所有分支结点的度数均为k, 问它有多少个叶结点？为什么？ 4．画出 (a －(b ×(c －d)))+(e ÷(f+g))的算术表达式树

d f

a

1

b

(a)

(b) d

c

a

c

a c

a (a)

(b)

(c)

模拟试题5参考答案

一．

1．已知P为T，P→Q为T，则Q为( T )。

已知⌝Q为T, P→Q为T，则P为( F )。

已知P↔Q为T，P为T , 则Q为( T )。

2．谓词定义：

A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)

A=B⇔∀x(x∈A↔x∈B)

A⊂B⇔∀x(x∈A→x∈B) ∧∃x(x∈B∧x∉A)

3．(A-B)∪(A-C)=A，当且仅当（A⋂B⋂C=Φ）。

二．A(P,Q,R)⇔ M0∧M2∧M4∧M6

⇔(P∨Q∨R)∧(P∨⌝Q∨R)∧(⌝P∨Q∨R) ∧(⌝P∨⌝Q∨R)

三．⑴∃x(C(x)∧B(x)) P

⑵C(c)∧B(c) ES ⑴

⑶C(c) T ⑵I1

⑷B(c) T ⑵I2

⑸∀x(⌝A(x)→⌝B(x)) P

⑹⌝A(c)→⌝B(c) US ⑸

⑺⌝⌝A(c) T ⑷⑹I12

⑻A(c) T ⑺E1

⑼C(c)∧A(c) T ⑶⑻I9

⑽∃x(C(x)∧A(x)) EG ⑼

四．证明：

1．证明R∩S的自反性。

任取x∈A, (证出∈R∩S)

因R和S都自反，所以有∈R，∈S，于是有∈R∩S，所以R∩S也自反。

2．证明R∩S的对称性：

任取x,y∈A,设∈R∩S, (证出∈R∩S。)

则∈R，∈S，因为R和S对称，所以有∈R，∈S，于是∈R∩S。∴R∩S对称。

3．证明R∩S的传递性：

任取x,y,z∈A, 设∈R∩S,∈R∩S, (证出∈R∩S)

∈R∩S∧∈R∩S

⇔ ∈R∧∈S∧∈R∧∈S

⇔ (∈R∧∈R)∧(∈S ∧∈S)

⇒ ∈R∧∈S （因为R、S传递）

⇔ ∈R∩S 所以R∩S传递。

五．可构成8个从X到Y函数。分别是f1,f2,f3,f4,f5,f6,f7,f8，它们的有向图如下：

六．证明：

1)证明封闭性：任取k 1m,k 2m ∈G,

k 1m+k 2m ＝(k 1+k 2)m ，因为k 1＋k 2∈Z ，所以(k 1+k 2)m ∈G,故＋在G 中封闭。 2)证明可结合性：任取k 1m,k 2m,k 3m ∈G,

(k 1m+k 2m)+k 3m ＝(k 1+k 2)m+k 3m ＝((k 1+k 2)+k 3)m ＝(k 1+(k 2+k 3))m ＝(k 1m +(k 2+k 3)m) ＝k 1m+(k 2m+k 3m) ，所以＋在G 中是可结合的。 3)证明有幺元： 0m ∈G ，对任何km ∈G ，有

0m+km= (0+k)m=km ， km+0m= (k+0)m=km ，所以0m 是幺元。 4)证明可逆性： 任取km ∈G ,有-km ∈G , 使得

km+(-km)= (k-k)m=0m ， (-km)+ km= (-k+k)m=0m ，所以km 的逆元是-km 。 综上所述是群。 七．答案：

布尔格：即是有补分配格。 都是是布尔格。

(a)：1是原子。(b)：a,b 是原子。(c)：d,e,f 是原子。 八．

1．在简单有向图G 中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G 是强连通。

如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G 是单侧连通。 如果将G 看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G 是弱连通。 2． (a) 有回路adbca,强连通。

(b) a 到d, d 到a, 都不可达是弱连通。 (c) 单侧连通。

3．设有x 个度数为1的结点。又令T 有 e 条边。于是 T 的所有结点度数总和=x+k ×(n －x)=x+kn －kx=2e

因e=n-1 ∴ x+kn －kx=2(n －1) ∴ x=(kn －2n ＋2)/(k －1) 4．(a －(b ×(c －d)))+(e ÷(f+g))的算术表达式树如下：

f 1

X Y 。 。 。 。

。 1 2 3 a b X Y

f 2

。 。 。 。

。 1 2 3 a b X Y

f 3

。 。

。 。 。 1 2 3 a b X Y

f 4

。 。 。 。

。 1 2 3 a b X Y f

5

。 。 。 。

。

1 2 3 a b X Y f

6

。 。 。 。

。

1 2 3 a b X Y f

7

。 。 。 。

。

1 2 3 a b f 8 X Y 。 。 。 。

。

1 2 3 a b