2018届广东省深圳市南山区高三上学期期末教学质量监测数学(理)试题Word版含答案

2018届广东省深圳市南山区高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题数 学（理科）注意：本试卷分选择题和非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟．1．答卷前，考生填、涂好学校、班级、姓名及座位号。

2．选择题用2B 铅笔作答；非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，并将答题卡交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合4|01x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，{}ln 1B x x =<，则 A ．A B φ= B ．A B A = C ．A B A = D ．以上都不对2. 复数z 满足z (1﹣i)＝|1+i |，则复数z 的共轭复数在复平面内的对应点位于 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 若p 是真命题，q 是假命题，则 A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∨是假命题 C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是真命题4.在ABC ∆中，若15,,sin 43b B A π=∠==，则a = A ．325 B ．335 C ．33 D ．533 5．下列函数为偶函数的是A ．sin y x =B．)ln y x =C ． x y e =D．y =6.函数y =sin (2x +3π)•cos (x ﹣6π)+cos (2x +3π)•sin (6π﹣x )的图象的一条对称轴方程是 A ．x =4π B ．x =2π C ．x =π D ．x =23π 2018.01.247.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n= A ．9B ．10C ．12D ．138.设,x y 满足约束条件202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．[4,1]-B ．3[3,]7-C ．(,3][1,)-∞-+∞D ．[3,1]-9.已知F 1（﹣3，0）、F 2（3，0）是椭圆12=+2ny m x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，当32=∠21πPF F 时，△F 1PF 2的面积最大，则有 A ．m =12，n =3 B ．m =24，n =6C ．m =6，n =23D ．m =12，n =610.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为5，2，则输出的n = A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．在四面体S ﹣ABC 中，SA ⊥平面ABC ，∠BAC=120°，SA=AC=2，AB=1，则该四面体的外接球的表面积为 A ．11πB ．328πC ．310πD ．340π12．设函数()f x 的定义域为D ，若满足条件：存在[,]a b D ⊆，使()f x 在[,]a b 上的值域为[,]22a b，则称()f x 为“倍缩函数”．若函数t nx x f +1=)(为“倍缩函数”，则实数t 的取值范围是 A ．（﹣∞，l n 2﹣1） B ．（﹣∞，l n 2﹣1] C ．（1﹣l n 2，+∞）D ．[1﹣l n 2，+∞）第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．设向量、a )2,1(=)3,2(=b ，若向量λ+与向量=(－3,－3)共线，则λ=． 14.已知3n ≥，若对任意的x ，都有1201(2)(1)(1)135(1)...n n n n n x a x a x x a --+=-+-+⋅-++，则______n =．15．如图所示，三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积 （单位：cm 2）等于．16．已知函数()()sin cos sin f x x x x =+，x R ∈，则)(x f 的最小值是．三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知在数列{}n a 中，13a =，()111n n n a na ++-=，n N *∈. （1）证明数列{}n a 是等差数列，并求n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T，证明：61<nT .18．（本小题满分12分）某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．（1）求样本容量n和频率分布直方图中x、y的值；（2）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设ξ表示所抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数，求ξ的分布列及其数学期望．19．（本小题满分12分）A 如图，将一副三角板拼接，使他们有公共边BC，且使这两个三角形所在的平面互相垂直，=，︒=BAC，AB ACBCD，BC=6.∠30=CBD︒∠=∠90C B （1）证明：平面ADC⊥平面ADB；（2）求二面角A—CD—B平面角的正切值.D20. （本小题满分12分）如图所示，已知A 、B 、C 是长轴长为4的椭圆E 上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆中心O ， 且0=⋅BC AC ，|BC |＝2|AC |． （1）求椭圆E 的方程；（2）在椭圆E 上是否存点Q ，使得222|QB||QA|-=？若存在，有几个（不必求出Q 点的坐标），若不存在，请说明理由．（3）过椭圆E 上异于其顶点的任一点P ，作2243O :x y +=的两条切线， 切点分别为M 、N ，若直线MN 在x 轴、y 轴上的截距分别为m 、n ，证明：22113m n +为定值．21．（本小题满分12分）设(4)ln ()31x a xf x x +=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y ++=垂直．（1）求a 的值；（2）若对于任意的[1,),()(1)x f x m x ∈+∞≤-恒成立，求m 的取值范围．22．（本小题满分10分）选修4-4，坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为1=4+1622x y ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()33πρθ+=．（1）求直线l 的直角坐标方程；（2）设M （x ，y ）为椭圆C 上任意一点，求|32x +y ﹣1|的最大值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||,f x x a a R =-∈ （1）当2a =时，解不等式：()6|25|f x x ≥--；（2）若关于x 的不等式f (x )≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证：ts 8+1≥6．高三理科数学参考答案2018.1.24 一、选择题10.解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，故输出的n值为4，故选C．11.解：∵AC=2，AB=1，∠BAC=120°，∴BC==，∴三角形ABC的外接圆半径为r，2r=，r=，∵SA⊥平面ABC，SA=2，由于三角形OSA为等腰三角形，O是外接球的球心．则有该三棱锥的外接球的半径R==，∴该三棱锥的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．12解：∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即在（0，+∞）上有两根，即y=t和g（x）=﹣lnx在（0，+∞）有2个交点，g′（x）=﹣=，令g′（x ）＞0，解得：x ＞2， 令g′（x ）＜0，解得：0＜x ＜2，故g （x ）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增， 故g （x ）≥g （2）=1﹣ln2，故t ＞1﹣ln2， 故选C ：．二、填空题13.1-； 14.6 15. 77π 16. 2221-17.（1）方法一：由()111n n n a na ++-=，得()()12211n n n a n a +++-+=， （2分） 两式相减，得()()()12221n n n n a n a a +++=++，即122n n n a a a ++=+， （3分） 所以数列{}n a 是等差数列. （4分）由⎩⎨⎧=-=123211a a a ，得52=a ，所以212=-=a a d ， （5分）故12)1(1+=⨯-+=n d n a a n 21n a n =+. （6分） 方法二：将1)1(1=-++n n na a n 两边同除以)1(+n n ，得11111+-=+-+n n n a n a n n ，（2分） 即n a n a n n 1111-=+-+. （3分） 所以1111-=-a n a n （4分） 所以12+=n a n （5分） 因为12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列. （6分）（2）因为()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， （8分） 所以13221111++++=n n n a a a a a a T )]321121()7151()5131[(21+-+++-+-=n n 6164161<+-=n （*N n ∈） （12分）ECBDAF18.解：（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030．（3分）（Ⅱ）由题意可知，分数在[80，90）有5人，分数在[90，100）有2人，共7人． 抽取的3名同学中得分在[80，90）的学生个数ξ的可能取值为1，2，3，则，，．所以，ξ的分布列为所以，．（12分）19. （1）证明：因为,,,ABC BCD BD BC ABC BCD BC BD BCD ⊥⊥=⊂ 面面面面面， 所以BD ABC ⊥面. （3分） 又AC ABC ⊂面，所以BD AC ⊥. （4分） 又AB AC ⊥，且BD AB B = ，所以AC ADB ⊥面. （5分）又AC ADC ⊂面，所以ADC ADB ⊥面面.（6分）（2）取BC 的中点E ，连接AE ，则AE BC ⊥， （7分）又,ABC BCD ⊥面面,ABC BCD BC = 面面所以,AE BCD ⊥面 （8分）所以,AE CD ⊥过E 作EF DC F ⊥于，连接AF ，则,D C A E F ⊥面则,DC AF ⊥所以AFE ∠是二面角A CD B --的平面角. （10分）在Rt CEF ∆中，01330,22ECF EF CE ∠===，又3AE =， （11分）所以tan 2AEAFE EF∠==，即二面角A CD B --平面角的正切值为2.（12分）20. 解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长2a =，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为14222=+by x -----------------------1分由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵0=⋅BC ，|BC |＝2|AC |∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，---------------------3分 将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得342=b ∴所求的椭圆E 的方程为143422=+y x ----------------------------------------------4分（2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即点Q 在直线320x y +-=上，-----------------------------------------------------------6分 ∴点Q 即直线320x y +-=与椭圆E 的交点，∵直线320x y +-=过点203(,)，而点椭圆203(,)在椭圆E 的内部，∴满足条件的点Q 存在，且有两个．------------------------------------------------------8分【解法二：设在椭圆E 上存在点Q ，使得222|QB||QA|-=，设00Q(x ,y )，则()()()2222220000001126222|QB ||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即00320x y +-=，--------①------------------------------------------------6分又∵点Q 在椭圆E 上，∴2200340x y +-=，-----------------②由①式得0023y x =-代入②式并整理得：2007920x x -+=，-----③∵方程③的根判别式8156250∆=-=>，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个．---------------8分 （3）解法一：设点11P(x ,y )，由M 、N 是O 的切点知，OM MP,ON NP ⊥⊥, ∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，------------------------------------------9分 且圆的直径为OP,则圆心为1122x y (,)， 其方程为22221111224x y x y (x )(y )+-+-=，------------------------------10分。