4第三章 静力学平衡问题
第三章 静力学平衡问题
平面一般力系有三个独立的平衡方程，可求解三个未知数。
M A ( F ) 0 限制条件 M ( F ) 0 2.二力矩形式 B Fx 0
M A (F ) 0 3.三力矩形式 M B ( F ) 0 限制条件 M C ( F ) 0
45°
_ 2
FC
2M 2 2M FA FC b) 45 l sin l
a)
例3-3
塔式起重机机架重W1=700kN，作用线通过塔架的
中心。最大起重量W2=200kN，最大悬臂长为12m，轨道AB的 间距为4m。平衡重W3到机身中心线距离为6m。试问：保证起 重机在满载和空载时都不致翻到，平衡重W3应为多少？ 解：取起重机为研究对象，起重机受平行 力系作用。 （一）满载 临界情况下，FA=0
第三章
静力学平衡问题
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
第二节 物体系统的平衡问题 第三节 考虑摩擦的平衡问题 第四节 空间一般力系的平衡问题
本章重点：
平面力系平衡方程及其应用。
求解物体系统的平衡问题。
第一节 平面力系的平衡条件和平衡方程
一、平面一般力系的平衡条件
FR=0，MO=0。
二、 平面一般力系平衡方程的三种形式 1.一般形式
M D (F ) 0
F 'Cy 1.5 F 'Cx 2 FT 1.5 0
F 'Cx FCx 0.375 kN
(3)再考虑ACE，写出其第三个平衡方程，
Fx 0
解得
FCx FEx FT 0 FEx FCx FT 1.375 kN
第3章工程构件的静力学平衡问题
FAx、FAy和FTB均为未知约束力，与已知
的主动力P和W组成平面力系。因此，应
用平面力系的3个平衡方程可以求出全部
3个未知约束力。
14
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
= 0 － × － × +T × sin＝0
2
× ＋ ×
2
= 0
= 0
=1
= 0
简写为
= 0
=1
= 0
= 0
=1
平面力系平衡的必要与充分条件是：力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各
坐标轴上的投影的代数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。
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12
3.1.1 例题3-1 悬臂式吊车
3
大连大学
25
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程——
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
大连大学
26
3.1.2 平面一般力系平衡方程的其他形式
可以将一个或两个力平衡方程用力矩平衡方程代替，这样就可以得到平面
力系平衡方程的其他形式。
一般形式
大连大学
二矩式
三矩式
= 0
= 0
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
大连大学
4
第3章 工程构件的静力学平衡问题
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
FR1 ´
FRAx
FRAy
大连大学
5
第3章 工程构件的静力学平衡问题
▪ 3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
▪ 3.2 简单的刚体系统平衡问题
4-第三章 静力学平衡问题
a
a
再回到原系统，可建立3个平衡 方程解得：
5 2M FOX 0 , FAY 2 F qa , 2 a M FOY F qa a
FOX
O A
F
B
a
a
M
q
FCY qa
C D
FOY FAY FBY
FBX
B
x
D M
a a FCY
[例3-3]图示一结构由AB、BC 与CE 三个构件构成。E 处有一滑轮，细绳 通过该轮悬挂一重为 12 kN 的重物。A为固定铰支座，B 为滑动铰支座， C、D 与E 为圆柱铰。AD = BD = l1= 2m，CD = DE = l2= 1.5m。不计杆件 与滑轮的重量，求支座处的反力。
• 上述第一种情况称为静滑动摩擦力（静摩擦力）
• 第二种情况称为极限摩擦力 • 第三种情况称为动滑动摩擦力（动摩擦力） • 可见极限摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为： 1、（静）滑动摩擦力的计算、干摩擦与粘性摩擦
Fmax
Fmax F f 0
由大量实验，库仑给出一近似公式：
Fmax f s FN
如果是平面问题（设为xy平面），则平 衡方程简化为 3 个：
X 0 , Y 0 , mO F 0
上式称为平衡方程一矩式，而二矩式和三矩式分别为：
X 0 或 Y 0 mA F 0 mB F 0 m A F 0 mB F 0 m F 0 C
如图 a 所示建立参考基 分析： 系统主动力只有重力 G 约束反力有4个显然无法直接求解
FT
y
C
q FAy A D B
第三章静力学平衡问题
2016/10/10
1
力系的主矢和主矩
FR’
O
F FR 对O点的主矩： M o M o ( F )
力系的主矢：
Mo
力系主矢的特点： 对于给定的力系，主矢唯一； 主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢与简 化中心O 的位置无关。
力系主矩的特点: 力系主矩MO与简化中心O 的位置有关。 对于主矩必须指明简化中心。
sds
1 5
由几何关系：
, sin
E y A x
P
45 o
解出：
FA 5P 22.3 (kN) ,
FC 2 2 P 28.28 (kN)
FA
C
B
FC
说明：FA的负号表示它的实际方向与图示的假设 方向相反。 解题要求 24
例
如图2-15(a)所示，重量为 G=5kN的球悬挂在绳上，且和 光滑的墙壁接触，绳和墙的夹 角为30°。试求绳和墙对球的 约束反力。
sds y A A FA FAy FAx x
45 o
E P P FC F C C C B B
X 0 Y 0
FA cos FC cos 45 0 FA sin FC sin 45 P 0
23
X 0 Y 0
cos
2 5
FA cos FC cos 45 0 FA sin FC sin 45 P 0
43
2、平面力偶系的平衡条件 定理：
受平面力偶系作用的刚体平衡的充分必要条件是 各力偶的力偶矩的代数和为零。 即： 受平面力偶系作用的刚体，平衡 Mi 0 平面力偶系的平衡方程 此方程可解一个未知量
工程力学第3章 静力学平衡问题答案
第 3 章 静力学平衡问题3－1 图 a 、b 、c 所示结构中的折杆 AB 以 3 种不同的方式支承。
假设 3 种情形下，作用在折杆 AB 上的力偶的位置和方向都相同，力偶矩数值均为 M 。
试求 3 种情形下支承处的 约束力。
习题 3－1 图BB习题 3－1a 解图习题 3－1b 解图BD习题 3－1c 解 1 图习题 3－1c 解 2 图)解：由习题 3－1a 解图M F A = F B = 2l由习题 3－1b 解图MF A = F B = l将习题 3－1c 解 1 图改画成习题 3－1c 解 2 图，则MF A = F BD =l∴ F B M= F BD = l，F D =2 M2 F BD =l3－2 图示的结构中，各构件的自重都略去不计。
在构件 AB 上作用一力偶，其力偶矩 数 值 M ＝800 N·m 。
试求支承 A 和 C 处的约束力。
FCAB '习题 3－2 图习题 3－2 解 1 图习题 3－2 解 2 图解：BC 为二力构件，其受力图如习题 3－2 解 1 图所示。
考虑 AB 平衡，由习题 3－2 解图，A 、B 二处的形成力偶与外加力偶平衡。
F = F ′ = M = 800 = 269.4 N A BBD 1.2 × 1.83－3 图示的提升机构中，物体放在小台车 C 上，小台车上装有 A 、B 轮，可沿垂导轨 ED 上下运动。
已知物体重 2 kN 。
试求导轨对 A 、B 轮的约束力。
F A F B习题 3－3 图解：W = 2kN ，T = W ΣF x = 0， F A = F B习题 3－3 解图ΣM i = 0， W × 300 − F A × 800 = 0 ，方向如图示。
F = 3 W = 0.75kN A 8，F B = 0.75 kN ，3－4 结构的受力和尺寸如图所示，求：结构中杆 1、2、3 杆所受的力。
工程力学第三章静力平衡问题
平面一般力系平衡方程还可表达为下列二种形式：
M
Fx A(F )
0
0
M B (F ) 0
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
二力矩式
三力矩式
（AB不垂直于x轴) (A、B、C三点不共线)
注意：平衡方程中，投影轴和矩心可任意选取，可 写出无数个平衡方程。但只要满足了其中一组，其 余方程均应自动满足，故独立平衡方程只有三个。
矩心取在二未知力交点A 解处：，1力）矩画方整程体中受只力有图一。个未 知量F注C，意可B直C为接二求力解杆。。 2）取坐标，列平衡方程。
Fx=FAx-FCcos30=0
Fy=FAy+FCsin30-F-Fq=0
MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0
FC
y
C
Fq=2q=1 kN
FAy
x
FAx 30
26
讨论：判断下述分析的正误。
FACy FAy
FACx
2a
M
3a
P
F
aA
MA
FAyFAx
FAx
B
B FABy
FABx
C
CP
A
FAx FAy
P
A
FFABAyy
A
FFAABxxFFAACyy
FACxx
FAx =F ; FAy =P ;
MA = M ？
MA = M+Fa-2Pa
固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时， 须考虑各杆与销钉间作用的不同。
5
平面力系的平衡条件
平面一般力系处于平衡，充分和必要条件为力系
《工程力学》工程构件的静力学平衡问题
3.2 简单的刚体系统平衡问题
➢刚体系统静定与静不定的概念 ➢刚体系统的平衡问题的特点与解法
18/62
3.2 简单的刚体系统平衡问题
----刚体系统静定与静不定的概念
作用在刚体上未知力的个数正好等于独立的平衡方程个数， 应用平衡方程，可以解出全部未知量，这类问题称为静定问题。 相应的结构称为静定结构。
l
M＝0
M
＝
A
5 2
ql
2
11/62
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
平衡方程的其他形式——二矩式
Fx＝0或 Fy＝0 M A(F)＝0 M B (F)＝0
非平衡力系
F
A
B
x
注意：A、B两点连线不能垂直于x(或y)轴
12/62
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
平衡方程的其他形式——三矩式
2/62
关于平衡的重要概念：整体平衡，局部必然平衡
整体
整体
对于刚体----由二个或二 对于变形体----单个物体，或者由二
个以上刚体组成的系统。 个以及二个以上物体组成的系统。
3/62
局部 对于刚体----组成系统 的单个刚体或几个刚体
组成的子系统。
局部 对于变形体组成物体
的任意一部分。
FR1 ´ FR1 ´
一力偶M的作用。已知F＝ql，M=ql2；l为梁的长度。
试求固定端处的约束力。
10/62
3.1 平面力系的平衡条件与平衡方程
解：1．研究对象、受力图
2．均布载荷简化为集中力
3．建立平衡方程
ql
Fx＝0 RAx＝0
Fy＝0 RAy ql F＝0 RAy＝2ql
03静力学平衡问题
X 0, Y 0, M (F ) 0
o
•平面任意力系平衡的解析条件
力系中的各力在两个任选相交的坐标轴上投影代数和分别为 零，各力对某点力矩代数和为零
平面一般力系的平衡方程
一矩式 ∑MO(F)=0 ， ∑X=0，∑Y=0
二矩式（式中A，B连线不能与x轴垂直）
∑MA(F)=0，∑MB(F)=0 ，∑X=0 三矩式（式中A、B、C三点不能共线） ∑MA(F)=0，∑MB(F)=0， ∑ MC(F)=0
起重机不向右侧翻的条件是
G0 ( x 3) 1.5G 10G1
（a）
空载时，G1=0 由
A
m (F ) 0
RB 3 G0 x G 4.5 RB (G 4.5 G0 x) / 3
O
G0
x
G
1.5m
10m
G1
A
B
3m
起重机不向左侧翻的条件是RB≥0 即
重P=2kN的重物，不计杆重，求CD杆受力和支座A的约束
反力。 解： 取杆和重物为分离体。CD杆为二力杆，
约束反力Sc沿杆轴线方向，与P交于O点
分离体在三个力作用下平衡，因此支座A 的约束反力RA必汇交于O点
1 tg , 18.430 3 Sc RA P sin( 90o ) sin 45o sin( 45o )
G0 G0 min , x xmax
并验证（a），（b）两个不等式成立。
超静定问题的基本概念
结构的几何构成分析
几何不变体系：体系受到任意荷载作用后，若不考虑材料 的应变，而能保持其几何形状不变，位臵不变。 几何不变体系的组成规律： •三刚片规则：三刚片用不 在同一直线上的三个单铰两 两铰联，则组成几何不变体 系，且无多余约束。
第3章 静力学平衡问题 理论力学
FP
FP
F2
F1
F3
(a)
F2 F1
F4 F3
(b) 图3-8
如图 3-8（a）所示的三脚凳， FP 为人和凳的总重，F1、F2、F3 为地对凳的约束力，以 上 4 个力组成空间平行力系，而空间平行力系有三个独立的平衡方程，因此 3 个未知的约束
力都可以通过独立的平衡方程加以求解，所以这是一个静定问题。
3.1.4 平衡方程的几种特殊形式
式（3-2）的 6 个平衡方程都是相互独立的，可以求解 6 个未知量。这 6 个平衡方程是 针对空间一般力系给出的，对于不同的特殊情形，例如力偶系、平行力系等，并不一定都有 6 个独立的平衡方程，其中的某些方程是自然满足的，因此独立的平衡方程数是有所不同。 下面介绍几种特殊的情况。
看作集中力 F ，如图 3-5（a）。柱子轴线到墙面的距离为 l 。求梁固定端的约束力。
q
l (a)
F
y
q
F
MA
x
FAx
A
B
FAy
(b)
图3-5
解：（1）取梁为研究对象。
（2）受力分析如图 3-5（b）所示。
梁 AB 用直线代替， A 端视为固定端约束。建立图 3-5（b）所示的直角坐标系。
（3）列平衡方程有
第 3 章ΣM z (F ) 0 自然满足。于是，平衡方程为
ΣFz 0
ΣM x (F ) 0
ΣM
y
(
F
)
0
（3-5）
可以求解三个未知量。
对于平面平行力系，若各力位于 Oxy 平面内且与 y 轴平行，则式（3-2）的 6 个平衡方
程中的 ΣFx 0 ， ΣFz 0 ， ΣM x (F ) 0 ， ΣM y (F ) 0 自然满足，注意平面上 ΣM z (F )
材料力学工程构件静力学平衡问题
13
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 平衡方程为：
-例题
sin F sin 0 Xi 0 ， F CB AB 2
(4)
Y i 0
F cos F cos 0(5) N B CB AB ， F 2
14
3.1 汇交力系的平衡条件和方程 由（4）和（5）解得：
26
3.3 平面一般力系的例题
例3-5 起重机水平梁AB，A处为固定铰链支座，DC为 钢索。已知梁重G1=2.4KN，电动小车与重物共重 G2=16KN，尺寸如图（a）所示。试求当电动小车 在图示位置时，钢索的拉力和铰链支座A的约束力。
27
3.3 平面一般力系的例题 解： 取梁AB为研究对象 分析受力，作用于梁AB的力，除其自重G1外，在B处 受载荷G2的作用，C处有钢索拉力FT，铰链支座A处的 约束力为FAx和FAy，受力图如图（b）所示。梁AB在 平面任意力系作用下处于平衡。
例3-1 如图a所示为一简单的起重设备。
-例题
AB和BC两在A,B,C三处用铰链连接。在 B处的销钉上装一不计重量的光滑小滑轮 ，绕过滑轮的起重钢丝绳，一端悬重为 G=1.5KN的重物，另一端绕在卷扬 机绞盘D上。当卷扬机开动时， 可将重物吊起，设AB和BC 两杆的自重不计，小滑轮 尺寸亦不考虑，并设重 物上升时匀速的， 试求AB杆和BC杆所受的力.
FAy为负值，表明受力图中FAy的实际指向与图中 的假设相反。
注：本题可用二矩式及三矩式平衡方程求解。取A、 C为矩心，二矩式平衡方程为
X 0 ， F F cos 0 Ax T
M ( F ) 0 . 6 F sin 2 . 7 G 5 . 4 G 0 ，3 A T 1 2
第3章 静力学平衡问题
第3章 静力学平衡问题 §3.1 平衡与平衡条件一、平衡的概念物体的平衡，在工程上是指物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。
平衡是相对于确定的参考系而言的。
静力学所讨论的平衡问题可以是单个刚体，也可以是由若干个刚体组成的刚体系统。
刚体或刚体系统是否平衡取决于作用在其上的力系。
二、平衡条件要使物体保持平衡状态，作用在其上的力必须满足一定的条件，这种条件我们称为力的平衡条件。
从效应上看，物体保持平衡应是既不移动，又不转动。
因此，力系的平衡条件是，力系的主矢和力系对任一点的主矩等于零。
其解析表达式称为平衡方程。
§3.2 平面力系的平衡方程一、平面力系的平衡方程1）基本形式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(000F M Y X2）二矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0F F B A M M X 附加条件为：A 、B 两点连线不垂直于x 轴3）三矩式⎪⎩⎪⎨⎧=∑=∑=∑0)(0)(0)(F F F C B A M M M 附加条件为：A 、B 、C 三点不共线特殊力系的平衡方程 1）共线力系：=∑i F2）平面汇交力系：⎩⎨⎧=∑=∑00Y X3）平面力偶系： 0i m =∑4）平面平行力系： )//( 0)(0轴y M Y i o F F ⎩⎨⎧=∑=∑§3.3 空间力系的平衡方程一、空间力系的平衡方程其基本形式的平衡方程为：ΣX=0 ΣM x(F)=0ΣY=0 ΣM y(F)=0ΣZ=0 ΣM z(F)=0必须指出，空间一般力系有六个独立的平衡方程可以求解六个未知量。
具体应用时，不一定使3个投影轴或矩轴互相垂直，也没有必要使矩轴和投影轴重合，而可以选取适宜轴线为投影轴或矩轴，使每一个平衡方程中所含未知量最少，以简化计算。
此外，还可以将投影方程用适当的力矩方程取代，得到四矩式、五矩式以至六矩式的平衡方程。
使计算更为简便。
几种特殊力系的平衡方程1）空间汇交力系ΣX=0ΣY=0ΣZ=02）空间力偶系ΣM x(F)=0ΣM y(F)=0ΣM z(F)=03）空间平行力系（若各力//z轴）ΣZ=0ΣM x(F)=0ΣM y(F)=04）平面任意力系（若力系在Oxy平面内）∑X==∑YM(=∑F)z§3.4 平衡方程的应用一、一般应用举例例3-1，例3-3，例3-4，例3-5（改求起重机不翻平衡块的重量就应是多少？），例3-6，例3-7 补充：已知：带轮D ：D1=400 mm ，FT=2000 N ，Ft=1000 N ；齿轮C ：D2=200 mm ，a=20° 求：齿轮C 的啮合力Fn ，轴承A 、B 的约束力FA 、FB轴承A 、B 的约束力FA 、FB 就是圆轴受支座中圆孔的约束力，圆孔销钉就是固定铰链两个分力 为说明两分力方向，建立空间直角坐标系Ｏxyz ？y 轮轴线，z 轴铅直，Ｏxy 是水平面，三轴垂直 轴承支座表示方法(下图)，其约束两分力为xz 方向，用F Ax 、F Az 和F Bx 、F Bz ，或X A 、Z A 和X B 、Z B 侧视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxz 平面上)受力图，没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除这两个轴承约束=B M ∑02cos 2221t 1T =⨯⨯⨯D F D F D F n a --2000×200-1000×200-Fncos20°×100=0 Fn=2130 N主视图(将轮轴及其受力投影到Ｏyz 平面上)受力图，其中Fnz=Fncos20°=2130×0.9396=2000 N因主动力Fnz=2000 N 作用点到A 、B 两个支座距离相同，方向向上显然,与之平衡的两支座约束力大小相等，实际方向向下，和受力图所画的方向相反，所以N10002N 20002-====--nzB A F Z Z俯视图(将轮轴及其受力投影到Ｏxy 平面上) 受力图，其中Fnx=Fnsin20°=2130×0.3420=729 NΣMA=0 -(FT+Ft)×0.15+Fnx ×0.25-XB ×0.5=0 -(2000+1000)×0.15+729×0.25-XB ×0.5=0 XB=-536 NΣFx=0 -FT-Ft+XA-Fnx+XB=0 -2000-1000+XA-729+(-536)=0 XA=4265 N 结论：Fn=2130 NXA=4265 N ； XB=-536 N ZA=-1000 N ； ZB=-1000 N 小结：①轮轴类部件平面解法：1.侧视图求未知主动力 2.主视图求铅直向约束力 3.俯视图求水平向约束力在每一视图上，使用平面力系力的投影方程和力矩平衡方程求解未知力 ②皮带拉力，无论倾斜与否，总是和轮缘相切，对轮轴的力矩等于拉力乘以半径齿轮啮合力一定和其分度圆不相切，对轮轴的力矩=啮合力×cosa ×半径（啮合力×cosa=圆周方向分力）③侧视图上没有画轴承A 、B 的约束力，因为没有解除两个轴承约束（若画有XA 、ZA 和XB 、ZB 四力） 不能用ΣFx=0，-FT-Ft-Fnsina=0求Fn ，因为在x 方向，实际上还有XA 、XB 两力的投影 二、重心1、物体的重心物体的重量（力）：物体每一微小部分地球引力的合力。
第3章静力学平衡问题习题解
联立式（ 1 ） 、 （ 2） 、 （ 3 ）解得： FB FA 26.39 kN ， FC 33.46 kN
3–12 图示空间构架由三根不计自重的有杆组成，在 O 端用球铰链连接，A、B 和 C 端则用球铰链固 定在水平地板上，若拴在 O 端的重物 P=10kN，试求铰链 A、B、C 的反力。
l l sin l sin 1 3 由正弦定理： ， sin( ) 3 cos ) sin( ) sin(90 )
即 即
3s i n c o s s i nc o s c o ss i n
2t a n t a n 1 a r c t a n t( a n) 2
（a）
解：先分析半拱 BED，B、E、D 三处的约束力应汇交于点 E，所以铰 D 处的约束力为 水平方向，取 CDO 为研究对象，受力如图（a）所示。
M C (F ) 0 ， FD a Fa 0 ； FD F
以 AEBD 为研究对象，受力如图（b） 。
0 ； FB 2 F M A (F ) 0 ， 3aFB 3aF 3aFD
3－3 起重机由固定塔 AC 与活动桁架 BC 组成，绞车 D 和 E 分别控制桁架 BC 和重物 W 的运动。桁 架 BC 用铰链连接于点 C，并由钢索 AB 维持其平衡。重物 W = 40kN 悬挂在链索上，链索绕过点 B 的滑轮， 并沿直线 BC 引向绞盘。长度 AC = BC，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角 =∠ACB 的函数来表示钢索 AB 的张力 FAB 以及桁架上沿直线 BC 的压力 FBC。
F AB
y
2
FBC
W
(a)
x
静力学平衡问题
A FA G1
B FB
满载时，以B点为矩心，列平衡方程：
G( x 1.5) 0.75G1 6 F 0 (2)
由（1）、（2）可得：
G 300KN , x 1.25m
Fx 0 : F Fy 0 : F
T N
G sin 30 0 0
FT 50 N 解得 0 G cos 30 0 FN 86.6 N
思考: 若坐标系建立如下图，平衡方程 如何写？
例3-3 如图所示一简易起重机装置，重量G =2kN 的重物吊在钢 丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上， 定滑轮用直杆AB 和AC支承，定滑轮半径忽略不计，定滑轮、直 杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触均为光滑。试求当重物被匀 速提升时，杆AB、AC 所受的力。
FAy 2 KN
由上面的例题可得解平面力系平衡的步骤如下 ：
（1）选择研究对象
（2）画受力图
（3）建立坐标系，列平衡方程 （4） 解方程
§3-2 平面力系的几个特殊情形
１．平面汇交力系平衡方程
Fx 0 Fy 0
２．平面力偶系平衡方程 M o (F ) 0 ３．平面平行力系平衡方程
B
x
a
a
a
F 0 F 0 M ( F ) 0
x y A
FAx FB sin 300 0 即： FAy FB cos 300 2 F 0 Fa 2 Fa 3aFB cos 300 0
求得：F 2.3KN B
FAx 1.15KN
FNAC为负值，表明FNAC的实际指向与假设方向相反，其反 作用力为AC 杆所受的力，所以AC 杆为受压杆件。
第三章 静力学平衡问题
M Oy (Fi ) 0 ,
M Oz (Fi ) 0
i 1
i 1
i 1
以上6式称为空间任意力系的平衡方程，有6个独立的
平衡方程，可求得6个未知量。
3
特殊的空间力系及独立平衡方程个数：
（1）空间汇交力系 —— 3个 独立方程
∵各力交于O点 MO(Fi ) 0
F2
Fi
平衡方程仅有 FR Fi 0
2
3.1 力系的平衡方程
一、力系平衡的充要条件：
n
n
n
FR Fi 0 , M O M O (Fi ) (ri Fi ) 0
i 1
i 1
i 1
如果是空间问题，展开式为：
n
n
n
Fix 0 ,
Fiy 0 ,
Fiz 0
i 1
i 1
i 1
n
n
n
M Ox (Fi ) 0 ,
第三章
力系的平衡条件与 平衡方程
1
本章内容是静力学部分的核心，包括： （1）力系的平衡条件。 （2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。 （3）带有摩擦的平衡问题。
关于“平衡”的概念
（1）物体或物体系统的平衡——相对于惯性参考 空间静止或匀速直线平移。 （2）平衡力系——即零力系，力系的主矢和主矩 均为零。
n
n
Fiy 0
M A (Fi ) 0
i1
i 1
y
F1
Fi
B
Fn
A
O
x
n
n
或 M A(Fi ) 0
M B (Fi ) 0
i 1
i 1
其中 AB 与各 Fi 不平行。 两个独立方程！
3.1-静力的平衡
第三章 静力平衡问题
2019年9月2日
平衡与平衡条件
平衡的必要条件
力系的平衡是刚体和刚体系统平衡的必 要条件。
力系平衡的条件是，力系的主矢和力系 对任一点的主矩都等于零。因此，如果刚体 或刚体系统保持平衡，则作用在刚体或刚体 系统的力系主矢和和力系对任一点的主矩都 等于零。
第3章 力系的平衡
M
E F
FDy
FEy
FDy FEy 0
FDy
M a
FDy
M a
返回AB件：
Y 0
FDy FAy FBy 0
M FAy 2a
FBy
M 2a
yA
a
E
M
Da
F
x
A
FAy
FAx
B
z
FBx
aa
FBy
C FC
FDy
D
FDx
FBx
MA(F) 0
6m q
M A FCx 3 FCy 3 P 1 q 6 3 0
A
M A 23 KNm
X 0 FAx FCx P sin 450 q 6 0
Y 0
FAx 5 KN FAy FCy P cos450 0
FCy
FCx
P
FE
FCx ( 2 1) 2.414KN
对于AB件 F=1KN, r=a=1m，P=2KN, q=1KN/m
5）列平衡方程解未知量
FCx FCx ( 2 1) 2.414KN
B
FCy FCy (2 2) 3.414 KN
理论力学-第3章 静力学平衡问题
平衡方程的应用
例题2
平面刚架的所有外力的作用线都 位于刚架平面内。A处为固定端约束。 若图中q、FP、M、l等均为已知，试 求: A处的约束力。
平衡方程的一般形式
对于作用在刚体或刚体系统上的任意力系，平衡条件的 投影形式为
z F2
FRx Fix 0
M2
FRy Fiy 0
F1
FRz Fiz 0
M1
x
y O
Mn
Fn
MOx MOx Fi 0 MOy MOy Fi 0 MOz MOz Fi 0
任意力系的平衡方程
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
任意力系的平衡方程
平衡方程的一般形式
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx F 0 My F 0 Mz F 0
上述方程表明，平衡力系中的所有力在直角坐标系各轴 上投影的代数和都等于零；同时，平衡力系中的所有力对各 轴之矩的代数和也分别等于零。
平面力系平衡方程的其他形式
zO
Fx = 0,
y
Fy = 0,
MO= 0
上述平面力系的3个平衡方程中的
Fx = 0 Fy = 0
可以一个或两个都用力矩式平衡方程代替，但 所选的投影轴与取矩点之间应满足一定的条件。
任意力系的平衡方程
平面力系平衡方程的其他形式
平面一般力系平衡方程的其他形式：
q(x)
q(x)
FP2
FP5
M(x)
M1
x
FQ(x) dx dx
FP1
FP3
M2
FP4
FP6
平衡与平衡条件
平衡的概念
局部 对于变形体：组成物体的任意一部分。
平衡与平衡条件 平衡的必要条件
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如果是平面问题（设为xy平面），则平 衡方程简化为 3 个：
X 0 , Y 0 , mOF 0
上式称为平衡方程一矩式，而二矩式和三矩式分别为：
X
0mmBA或FF 00Y
0
mA mB mC
FFF
数 fs 0.2 。斜面的倾角 30 。为使物体不滑动，在物体
上施加一水平力
F
。求该力的最大与最小值。
分析
物块位于斜面上，有向下滑动的趋势。
F
施以水平阻力时，可能出现两种情况：
30
• 阻力较小，摩擦力阻止其向下运动 • 阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
第一种情况
合力作用线
G
FBx FBytg30 72.17 N
G
FAx A
FAy
y
C
FC
B
FBy
FBx
(a)
(b)
x
F Bx
FB
FBy
再以整体为对象，有平衡方程
n
Fix 0
i1
FAx FBx 0
FAx FBx 72.17 N
y
FAx FBx 72.17 N
q
2l1FBy l1G l2FT 0
FAx
将 FT 与 G 的关系代入
q
FT
q
FBy
l1 l2 2l1
G
10.5kN
D
E
G
q
B
FBy
q (b)
n
Fix 0
i1
FAy
FAx FT 0
q
FAx FT 12 kN
FAx
n
Fiy 0
0 0 0
条件是：AB两点的连线不能 与 x 轴或 y 轴垂直
条件是：ABC三点不 能共线
例3-1 图示简支梁上作用一分布载荷，其单位长度上受力的大 小称为载荷集度(单位为牛顿/米)，其左端的集度为零，右端集 度为 q。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁 的约束力。
如右图，建立参考基，利用
y
Fm i n
x
静力平衡关系
Fm
FN
n
Fix 0
i1
Fmin cos Fm Fg sin 0
fm
(a)
n
Fiy 0
i1
Fmin sin FN Fg cos 0
F2 G Fm i n
fm
d
x
ql 2 3
ql 2 l 23
i 1
最后，利用平面力系的平衡方程求
得 3 个未知的约束反：
n
由：
M Oz( Fi ) 0
i 1
y
xc Foy
F
x
FAyl
FxC
FAyl
ql 2
2l 3
0
Fox l FA
由：
n
Fix 0
i 1
FOx 0
由：
n
Fiy 0
F1 (b)
利用 Fm fs FN
Fmin
sin fs cos cos fs sin
135 .31 N
第二种情况
y
如右图，建立参考基，同样
F
利用平衡条件
n
Fix 0
i1
G
x Fm FN
G
F2
Fm a x
fm
F1
fm
n
布载荷合力为
F l qx d x ql
0l
2
将该力系中心的位置坐标
y
q
Foy
F
xc
q
记为 xC
n
FR x ( Fi xi )
O Fox
x
x
dx
A
FA
q
i 1
l
n
FR y ( Fi yi ) i 1
n
FR z ( Fi zi )
xC
1 F
l 0
qx 2 l
B
x
Fq B
(a)
考虑滑轮的平衡，令滑轮的半径为 r，有：
n
M Ez (Fi ) 0
i1
FTr Gr 0
G
FT G 12 kN
这时，我们再对系统进行分析，如 b 图 未知力只有 3 个，可以利用平面力系平衡方程求解：
n
M Az (Fi ) 0
FAy
i1
Fix 0 ,
Fiy 0 ,
Fiz 0
i 1
i 1
i 1
n
n
n
M Ox (Fi ) 0 ,
M Oy (Fi ) 0 ,
M Oz (Fi ) 0
i 1
i 1
i 1
以上 6 式称为空间力系的平衡方程，可求得 6 个未知量，如 果超出 6 个未知量，则称为结构静不定问题。
Fq
M
O A B FOY FAY
C D x FCY
我们可以将铰B 解除，先分析BD 梁，当然，解除B 后，两根梁在B点存在作用与反作用力，同样可分解 到水平和垂直方向
对于BD梁，由对B点合力矩为零，建 立静力平衡方程
F
q
M
mB 0
a FCY a M qa 2 0
i1
y
bFBy 0.25bG 0
C G
FBy 0.25G 125 N
n
Fiy 0
i1
FAy FBy G 0
FAx A
FAy
(a)
B
FBx FBy
x
FAy G FBy 375 N
以杆 BC 为对象，由于 不计杆件的重量，该杆 为二力杆，即摩擦力与 理想约束力的合力与铰 C 的约束力均沿杆的轴 线。由图b 的矢量几何 ，有 ：
摩擦力
Ff
水平力作用下可能的现象是：
FN
(1) F 较小时,物块有运动趋势,但没有发生运动,此时有 Ff F
(2) F 增大Ff 也增大,物块运动趋势也增大,达到将动未动时,有 Ff Fmax F
(3)
F
继续增大,
物块开始滑动,
摩擦力
F
f
不再增大, 但是此时其大小不确定,
因为与力 F 及物体的惯量, 运动状态有关
• 上述第一种情况称为静滑动摩擦力（静摩擦力） • 第二种情况称为极限摩擦力 • 第三种情况称为动滑动摩擦力（动摩擦力）
Fm ax
• 可见极限摩擦力与维持平衡的静摩擦力的关系为： Fmax Ff 0
1、（静）滑动摩擦力的计算、干摩擦与粘性摩擦
由大量实验，库仑给出一近似公式： Fmax fs FN
C、D 与E 为圆柱铰。AD = BD = l1= 2m，CD = DE = l2= 1.5m。不计杆件
与滑轮的重量，求支座处的反力。
如图 a 所示建立参考基
y
C
分析： 系统主动力只有重力 G 约束反力有4个显然无法直接求解
FAqy
A
D
FT
FAx
如果我们先将滑轮分离出来，由于它承受
E
平面汇交力系，可以求得绳的拉力。
首先在 O 点建立参考基
y
第二步作受力分析
q
Foy
q
• 主动力为分布载荷（忽略重
力），且为一平行力系
O Fox
• 约束反力：
x
dx
l
x
Aq
FA
O 为固定铰支座，A 为活动铰 支座。
• 画出其反力
第三步，求主动力的合力
在坐标 x 处的载荷集度为 qx/l。在此处取的一微元dx，梁
在微元段d x 受的力近似为 F(x) = qxdx/l。梁由 x=0 到 x=l 的分
下面看几个例子。
例3-2 图示两根梁由铰 B 连接，它们置于O，A，C三个支承上，
梁上有一集度为 q 的均布载荷，一集中力 F 和一力偶矩 M，
求各个支承处的约束力。
这是一个平面任意力系问题 先将系统解除约束，以O
F
q
M
为原点建立坐标系
O
AB
CD
受力分析
主动力： 分布载荷、集中力 F、
主动力矩 M
约束反力：
FOX
约束类型，固定铰支座的约束反 O 力可以分解到两坐标轴方向，活 FOY
动铰支座各有一个约束力
aa a
y
Fq
A B FAY
a
M
C D x FCY
平面任意力系静力平衡方程只有3个，只能求解3个未 知量，因此，无法直接求得4个约束反力。
整体上看是属于 静不定问题
y FOX
静摩擦力进行比较，以确认上 述系统平衡的假定是否成立。
FAx A
FAy
B FBx
x
FBy
令脚端A与B的理想约束力分别为
FAy 与 FBy
静摩擦力分别为
(a)
FAx 与 FBx
以整体为对象，令等边三角形的边长为 b，建立如图参考基，有平衡方程