《集合的表示方法》教案

《集合的表示方法》教案
教学目标
1.掌握集合的两种常用表示方法(列举法和描述法)．
2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．
教学重难点
重点是集合的几种不同的表示方法；
难点是运用集合的两种表示方法，正确表达一些简单的集合.
教学过程
填一填：知识要点、记下疑难点
1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便．
2.描述法：一般地，如果在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以用它的特征性质p (x )描述 (){}x I p x ∈.
3.列举法常用于集合中的元素较少时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.
研一研：问题探究、课堂更高效
[问题情境] 上节课我们学习了用大写字母表示常用的几个数集，但是这不能体现出集合中的具体元素是什么，并且还有大量的非常用集合不能用大写字母表示，事实上表示一个集合关键是确定它包含哪些元素，为此我们有必要学习集合的表示方法还有哪些？分别适用于什么情况？
探究点一 列举法表示集合
问题1：在初中学正数和负数时，是如何表示正数集合和负数集合的？如表示下列数中的正数
4.8，－3，2，－0.5，13
，73，3.1. 答 ：方法一 图示法：
方法二 列举法：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫4.8，2，13，73，3.1 问题2： 列举法是如何定义的？怎样的集合适用列举法表示？
答 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法．当集合中的元素较少时，用列举法表示方便．例：2
320x x -+=的解集可表示为{1,2}．
问题3： 由book 中的字母组成的集合能否表示为：{b ，o ，o ，k }？
答 不能，由集合元素的互异性知，可表示为{b ，o ，k }．
问题4： 有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N .
答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}．
问题5： 怎样区分∅，{∅}，{0}等符号的含义？
答 ∅表示空集；{∅}表示只含有一个元素为∅的集合；{0}表示只含有0这个元素的一个集合．
例1 用列举法表示下列集合：
(1)A ＝{x ∈N |05x <≤}；
(2)B ＝{x |2
560x x -+=}．
解：(1)A ＝{1,2,3,4,5}； (2)B ＝{2,3}．
小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R }都是不确切的．
跟踪训练1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
(2)方程2x x =的所有实数根组成的集合；
(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．
解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
(2)设方程2x x =的所有实数根组成的集合为B ，那么B ＝{0,1}．
(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C ，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}． 探究点二 描述法表示集合
问题1 用列举法能表示不等式x －7<3的解集吗？为什么？
答 不能．由不等式x －7<3，得x<10，由于比10小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法．
问题2 不等式x －7<3的解集我们可以用集合所含元素的共同特征来表示，那么不等式x －7<3的解集中所含元素的共同特征是什么？
答 元素的共同特征为x∈R，且x －7<3，即x<10.
问题3 由奇数组成的集合中，元素的共同特征是什么？
答 共同特征为x ＝2k ＋1(k ∈Z)．
问题4 用集合元素的共同特征来表示集合就是描述法，你能给描述法下个定义吗？什么类型的集合适合用描述法表示？
答 描述法：在集合I 中，属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p (x )，而不属于集合A 的元素都不具有性质p (x )，则性质p (x )叫做集合A 的一个特征性质，于是集合A 可以用它的特征性质p (x )描述为(){}x I p x ∈．描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集．
问题5 不等式232x x ->的解集如何用描述法表示？
答 表示为{}232x R x x ∈->．
问题6 在实数集R 中取值时，“∈R ”常常省略不写，那么不等式232x x ->的解集又将如何表示？
答 {}232x x x ->．
问题7 集合(){}21x,y y x =+与集合{}21y y x =+是同一个集合吗？为什么？
答 不是．因为集合(){}21x,y y x =+是点集，集合{}{}2
11y y x y y =+=≥是数集．
例2 用描述法表示下列集合：
(1){－1,1}；
(2)大于3的全体偶数构成的集合；
(3)在平面α内，线段AB 的垂直平分线．
分析 用描述法表示集合，关键在于找到集合的特征性质．
解 (1) {}1x x =；
(2) {}32x x ,x n,n N >=∈且；
(3) {}P PA PB ∈α=点平面．
小结 在用描述法表示集合时，首先考虑元素是什么，再考虑元素必须满足的条件． 跟踪训练2 用特征性质描述法表示下列集合：
(1)正偶数集；
(2)被3除余2的正整数集合；
(3)坐标平面内坐标轴上的点集；
(4)坐标平面内在第二象限内的点所组成的集合；
(5)坐标平面内不在第一、三象限的点的集合．
解：(1) {}2x x n,n N +=∈；
(2) {
}32x x n ,n N =+∈；
(3)
(){}0x,y xy =； (4)
(){}00x,y x y <>且； (5) (){}0x,y xy ,x R,y R ≤∈∈．
例3 试分别用列举法和描述法表示下列集合： (1)方程220x -=的所有实数根组成的集合；
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．
解： (1)设方程220x -=的实数根为x ，并且满足条件220x -=
因此，用描述法表示为A ＝{}
220x R x ∈-=．
方程220x -=，，
因此，用列举法表示为A ＝． (2)设大于10小于20的整数为x ，它满足条件x∈Z，且10<x <20. 因此，用描述法表示为B ＝{}1020x Z x ∈<<．
大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19.
因此，用列举法表示为B ＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}．
小结 集合中的元素具有无序性、互异性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序，且元素不能重复，元素与元素之间要用“，”隔开；用描述法表示集合时，要注意代表元素是什么，从而理解集合的含义，区分两集合是不是相等的集合．。