人教版高中数学选修11第三章 312 导数的概念PPT课件
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即: k 切 t 线 a ln x i0 m x y lx i0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
注意,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。
f(x 0 ) lx i0 m x y lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ).
如瞬时速度就是位移函数s (t)对时间t的导数.
yf(x0x)f(x0)是函数f (x)在以x0与x0+Δx
x
x
为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化 率,而导数则是函数f (x)在点x0 处的变化率,它反映了函 数随自变量变化而变化的快慢程度．
例1:求曲线y=f (x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 :klimf(x0x)f(x0)
x 0
x
(1x)21(11)
lim
x0
x
y = x 2+1
2x(x)2
lim
2.
x0 x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
求曲线在某点处的切
yQ
y
P M
x
1j
x
线方程的基本步骤 : 先利 用切线斜率的定义求出切
解 :(1) s5(2 t)265(226)20 t5( t)2,
故 பைடு நூலகம் 均 速 度 为 ： s205 t. t
当t 1时,s25. t
(2)t 2时 刻 的 瞬 时 速:度 为
s
l i m l i m(205t) 20.
t t0
t0
3.导数的概念
从上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是 瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数
O s(2)
s(2+t) s
__
从 而 平 均 速v 的 度极 限 为 ：
__ s
vlim vlim2g2m 0/s. t 0 t 0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度,这里Δt取值 范围为1; (2)t=2时刻的瞬时速度.
如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻
t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+Δt这段时间内，当
Δt0 时平均速度:
s s(tt)s(t)
vlimlim
.
t 0t t 0 t
例1:物体作自由落体运动,运动方程为：s 移单位是m,时间单位是s, g=10m/s2.求：
1 2
gt
2 其中位
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
答案:y=3x-4.
2.瞬时速度 已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝
s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时
刻t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这 段时间内,物体的位移是:
limylim 2(1x)222
x x 0
x 0
x
lim x0x[
4x2(x)2 2(1x)2 22]
lim 4 x 4 1. x 0 2(1 x)222 2122
K Ptan 1 , 4 5,
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:求曲线
y
1 x3
上一点P(1,-1)处的切线方程.
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v2.05g2.05m/s.
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: __ v2.00g5 2.0m 5/s.
(3)当t 0,2t 2,
y
学表达式结构是一样的,即计算极限
lim
x 0
x ,这就是我
们要学习的导数的定义.
定义：设函数y=f (x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量 Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限 存在,这个极限就叫做函数f (x)在点x0处的导数(或变化 率)记作 f(x0)或 y|xx0即, :
3.1 导数的概念
1.曲线的切线
如图,曲线C是函数y= f(x) y
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角. 则:MPx,MQy,
Pβ
y=f(x) Q
Δy
Δx
M
y tan.
O
x
x
表明：y 就是割线的斜 . 率 x
事实上，导数也可 下以 式用 表示：
f
(x0)
l i mf
xx0
(x) x
f (x0) x0
如果函数y=f (x)在点x=x0存在导数,就说函数y= f (x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f (x)在点 x0处不可导.
s O 1 O A 0 s ( A t 0 t) s ( t 0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
_v_s(t0t)s(t0)s (t0t)t0 t
平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确 地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
请看 y
当点Q沿 着曲线逐 渐向点P 接近时,割 线PQ绕 着点P逐 渐转动的 情况.
o
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
-1 O 1
线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.
例2:已知曲线 y 2x2 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.
解 : K P l x 0 i x y m ,而 y f ( 1 x ) f ( 1 ) 2 ( 1 x ) 2 2 2 ,
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
注意,曲线在某点处的切线: (1)与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解切线。
f(x 0 ) lx i0 m x y lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 ).
如瞬时速度就是位移函数s (t)对时间t的导数.
yf(x0x)f(x0)是函数f (x)在以x0与x0+Δx
x
x
为端点的区间[x0,x0+Δx](或[x0+Δx,x0])上的平均变化 率,而导数则是函数f (x)在点x0 处的变化率,它反映了函 数随自变量变化而变化的快慢程度．
例1:求曲线y=f (x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解 :klimf(x0x)f(x0)
x 0
x
(1x)21(11)
lim
x0
x
y = x 2+1
2x(x)2
lim
2.
x0 x
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
即y=2x.
求曲线在某点处的切
yQ
y
P M
x
1j
x
线方程的基本步骤 : 先利 用切线斜率的定义求出切
解 :(1) s5(2 t)265(226)20 t5( t)2,
故 பைடு நூலகம் 均 速 度 为 ： s205 t. t
当t 1时,s25. t
(2)t 2时 刻 的 瞬 时 速:度 为
s
l i m l i m(205t) 20.
t t0
t0
3.导数的概念
从上面两个实例,一个是曲线的切线的斜率,一个是 瞬时速度,具体意义不同,但通过比较可以看出它们的数
O s(2)
s(2+t) s
__
从 而 平 均 速v 的 度极 限 为 ：
__ s
vlim vlim2g2m 0/s. t 0 t 0 t
s
即物体在时刻t0=2(s)的瞬时速度等于20(m/s).
当时间间隔Δt 逐渐变小时,平均速度就越接近
t0=2(s) 时的瞬时速度v=20(m/s).
练习:某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)2≤t≤2+Δt这段时间内的平均速度,这里Δt取值 范围为1; (2)t=2时刻的瞬时速度.
如果物体的运动规律是 s=s(t)，那么物体在时刻
t的瞬时速度v，就是物体在t到 t+Δt这段时间内，当
Δt0 时平均速度:
s s(tt)s(t)
vlimlim
.
t 0t t 0 t
例1:物体作自由落体运动,运动方程为：s 移单位是m,时间单位是s, g=10m/s2.求：
1 2
gt
2 其中位
(1) 物体在时间区间[2,2.1]上的平均速度；
答案:y=3x-4.
2.瞬时速度 已知物体作变速直线运动,其运动方程为s＝
s(t)(ｓ表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度．
如图设该物体在时刻t0的位置是ｓ(t0)＝OA0,在时
刻t0 +Δt 的位置是s(t0+ Δ t)=OA1,则从t0 到 t0 +Δt 这 段时间内,物体的位移是:
limylim 2(1x)222
x x 0
x 0
x
lim x0x[
4x2(x)2 2(1x)2 22]
lim 4 x 4 1. x 0 2(1 x)222 2122
K Ptan 1 , 4 5,
故过点P的切线方程为:y-2=1•(x-1),即y=x+1.
练习:求曲线
y
1 x3
上一点P(1,-1)处的切线方程.
(2) 物体在时间区间[2,2.01]上的平均速度；
(3) 物体在t=2(s)时的瞬时速度.
解:
__ s
1
v 2g g(t)
t
2
(1)将 Δt=0.1代入上式，得: __
v2.05g2.05m/s.
(2)将 Δt=0.01代入上式，得: __ v2.00g5 2.0m 5/s.
(3)当t 0,2t 2,
y
学表达式结构是一样的,即计算极限
lim
x 0
x ,这就是我
们要学习的导数的定义.
定义：设函数y=f (x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量 Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx0 时,Δy/Δx的极限 存在,这个极限就叫做函数f (x)在点x0处的导数(或变化 率)记作 f(x0)或 y|xx0即, :
3.1 导数的概念
1.曲线的切线
如图,曲线C是函数y= f(x) y
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy) 为P邻近一点,PQ为C的割线,
PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的
倾斜角. 则:MPx,MQy,
Pβ
y=f(x) Q
Δy
Δx
M
y tan.
O
x
x
表明：y 就是割线的斜 . 率 x
事实上，导数也可 下以 式用 表示：
f
(x0)
l i mf
xx0
(x) x
f (x0) x0
如果函数y=f (x)在点x=x0存在导数,就说函数y= f (x)在点x0处可导,如果极限不存在,就说函数 f (x)在点 x0处不可导.
s O 1 O A 0 s ( A t 0 t) s ( t 0 )
在时间段( t0+t)－ t0 = t 内，物体的平均速度为:
_v_s(t0t)s(t0)s (t0t)t0 t
平均速度反映了物体运动时的快慢程度,但要精确 地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动 的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
请看 y
当点Q沿 着曲线逐 渐向点P 接近时,割 线PQ绕 着点P逐 渐转动的 情况.
o
y=f(x) Q
割 线
T 切线
P
x
我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线.
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
-1 O 1
线的斜率,然后利用点斜式求切线方程.
例2:已知曲线 y 2x2 2 上一点P(1,2),用斜率的定义求 过点P的切线的倾斜角和切线方程.
解 : K P l x 0 i x y m ,而 y f ( 1 x ) f ( 1 ) 2 ( 1 x ) 2 2 2 ,