高斯定理求电场E汇总.

e E S
电通量及其求解
电场强度方向 与平面方向相同 电场强度方向
s
s

en

en E
E
e ES
e E s
E s cos E s en E
s

与平面方向不相同
思考：非均匀电场，任意曲面？ 答：
de E ds cos E ds e de E ds
q 0 E 0
20lr
q
高斯定理求场强
（2）当r>R 时，
q l
E 20 R
0
E 20 r
均匀带电圆柱面的电场分布 Er 关系曲线
r
l
r
R
1
r
高斯定理求场强
练习: 求无限长均匀带正电的直细棒的场强．设 细棒上线电荷密度为 ． l 解 取以细棒为轴线的圆柱面 E ds 0 为高斯面，由高斯面定律可得 S E ds E ds E ds E ds S 上底面 下底面 侧面 o r E ds E ds E 2 r l l 侧面 侧面 场强的方向垂直于 E 2 0 r 细棒向外辐射． 思考：任意轴对称的电荷分布，其求解步骤？
4 3 E r a.rR时，高斯面内电荷 q d V r 3 0 3
高斯定理求场强
均匀带电球体的电场分布
E
E
R 3 0
r 3 0 R3 1 2 3 0 r
rR
rR
R
Er 关系曲线
r
R
2
思考：任意球 对称的电荷分 布，其求解步 骤如何？
ds
e E ds
S
S
Q 4 0 r
2
ds
电通量及其求解
e E ds
S
4 r
S 0
2
Q
在半径r处的场强均相同并且 ds 2 处处与曲面法向相同，因此
e
Q 4 0 r
2
4 r
Q
0
s
s
思考:如果曲面是任意曲面，则结果如何？ 答：从电通量的物理本质上看，结果是一 样的，当然也可以从数学方面严格证明。
S
E 0
R
r o
E Q 4 0 R 2
0 R
r
2
r
高斯定理求场强
练习:均匀带电球体的电场。球半径为R，体电荷密 度为。 解：电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r的高斯面
2 E dS E 4r
S

q
0
q E 2 4 0 r
3 4 3 R 1 b.rR时，高斯面内电荷 q R E 3 3 0 r 2
S S
ds
电通量及其求解
电通量求解
e de E ds
S S
en
E
s

问题：半径为R的半球面在均匀电场E 中，切面垂直于电场强度，则通过半 球面的电通量为多少？ 例题: 如图所示，点电荷电量为+Q在球心 位置，求通过半径为r的球面的电通量。 解：分析曲面的方向和电场线方向，并 且根据电通量的定义：
s
高斯定理的证明
定理证明 证明：当闭合曲面内包围有多个点电荷时 E E1 E2 ＋E N e E ds E1 E2 E N ds
S S
E1 ds E2 ds E N ds
e
S
Q 4 0 r
2
Q r0 dS d
S
4 0
立体角
电通量及其求解
4 0 4 0 4 0 S r0 dS 立体角定义 d r2 d
e
Q
Leabharlann Baidu
Q
Q
思考：有正有负，什么情况为负的？ 问题：任意曲面不包围点电荷，此时 电通量如何？ 答：从电通量的物理本质上看，必定为零， 因为穿入的条数和穿出的条数一样，也可 从立体角定义去求解
高斯定理
电通量及其求解 高斯定理的证明 高斯定理求场强
电通量及其求解
电通量
问题：磁通量如何定义？ 答：磁通量定义
m BS cos
通量的理解是通过某个面积的物理量的数量 思考：电通量如何定义？ 答：电通量定义
e ES cos
问题：电通量是标量，如何改进上面表达式？ 答：电通量
E 是闭合面各面元处的电场强度，是由全部电荷共同产
q1 q2
1 E dS
q3
q4
dq
0
高斯定理的证明
静电场是有源场
q
i
0 e 0
表明电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面, 所以正电荷是静电场的源头。
q
i
0 e 0
表明有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷， 所以负电荷是静电场的尾。
高斯定理求场强
例题: 求均匀带电球壳内外的场强，设球壳带电量 为 Q （ Q 0 ）半径为 R ． P (1) r R 时 解: r 取高斯面为通过空间任意一点P R o 和球壳同心的球面，由高斯面定 理可得． E ds Q 0
P
E ds E cos ds
S S S

0
q1

0
q2

qN
0

1
0
qi i 1
N
高斯定理的证明
定理理解
1 e E dS qi 0 s
生 的矢量和，而过曲面的通量由曲面内的电荷决定。 因为曲面外的电荷（如 q）对 4 闭合曲面提供的通量有正有负 才导致 对整个闭合曲面贡献 的通量为0。 对连续带电体，高斯定理为
O
r
高斯定理求场强
例题:无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R ，沿轴线方向单位长度带电量为。 解： 电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 高为l,半径为r
r
sE dS 侧面 E dS E 2 rl
由高斯定理知
l
E
（1）当r<R 时，
S S
S
E ds E 4 r 2
S
1 Q E 4 0 r 2
高斯定理求场强
场强的方向沿着矢径 r 的方向．用 矢量的形式表示 P点的场强有
E
1 Qr 4 0 r 2 r
P
（ 2） r R 时 E ds E 4 r 2 0