类氢离子的哈密顿算符的简单计算2

类氢离子的哈密顿算符的简单计算

摘要：多年来，类氢离子一直是科学家简化分子模型以及进行相关理论研究的一种重要参考物。同时这些离子的许多物理性质已经通过实验证实，从而更好的帮助验证科学家的假设。像离子的极化率可以可由斯塔克效应实验测定[1]。这样子极大的推动了理论的发展。利用Born- Oppenheimer 近似方法求解类氢离子的哈密顿算符。

关键字：氢分子离子; 哈密顿算符; Born- Oppenheimer近似;

首先通过分析氢原子在考虑到核运动的情况下的哈密顿算符及其本征函数,来类推之后的类氢离子的哈密顿算符考虑到核质量有限, 电子与核都在运动时, 体系的哈密顿算符为H=-h2∇e2*2mp-h2∇p2*2mp-e12/=-h2∇c2/2(me+mp) - h2∇e2/2μ-e2/r .其中μ=mlmp/(me+mp)为折合质量, 拼为电子相对核的位矢. -h2∇c2/2(me+mp), h2∇e2分为原子质心运动的动能算符和相对运动的动能算符[2]。

一．Hz+ 的哈密顿算符的简单计算

氢分子离子是目前已知的最简单的离子，虽然不稳定，但在解释许多电子原子结构方面起到了很好的作用。在实验室参考系, 多点电荷体系的非相对论哈密顿量( 原子单位) 可以表示为H2+是一个包含两个原子核和一个电子的体系。其坐标如图所示。图中和代表电子与两个核的距离,代表两个核的距离。

对于氢分子离子H2+系统, 坐标矢量由图给出, e 表示电子, m1 和m2 表示两个原子核的质量, G 表示两原子核的几何中心, O 为实验室参考系的原点,c 为质量中心. 为两核之间的距离, Rcm 为质量中心相对于实验室坐标为两核之间的距离, 为质量中心相对于实验室坐标原点的距离. 无论在哪个坐标系, 势能算

符都可以写为:V =Z1*Z2/R-Z1/r1-Z2/r2,[3]

考虑原子核运动时的氢分子离子H+2 的近似解法H =-1/2m e(1+1/2m) ∇2g-1/4m∇2R +1/2R0-1/( r g + R0 )-1/( r g - R0 ).

a

b

由于此方法解方程比较困难，因而采用氢分子离子Hz+的Born- Oppenheimer 近似方法,列出Hz+ 的Schrödinger方程以单原子表示为

[-1/2 ▽2–1/r a-1/r b+1/R]ψ=Eψ[4]

H=-1/2 ▽2–1/r a-1/r b+1/R

图形如下：

e

二．氢气分子的哈密顿算符的简单计算

根据上面的原理可以画出其模型大致为：

则列出H 2的Schr ödinger 方程以单原子表示为：

[-1/2（∇a+∇b ）-1/r a1-1/r a2-r b1-r b2+1/R+1/r ab ]ψ=E ψ 其哈密顿算符H =-1/2（∇a+∇b ）-1/r a1-1/r a2-r b1-r b2+1/R+1/r ab

三．H 2-的哈密顿算符的简单计算

根据上面的原理可以画出其模型大致为：

B

b2

R

则列出H 2-的Schr ödinger 方程以单原子表示为[-1/2（∇a+∇b+∇c ）-1/r a1-1/r a2-1/r a3-r b1-r b2-r b3+1/R+1/r ab +1/r ac +r bc ]ψ=E ψ H 2-哈密顿算符的基本表达形式为H=-1/2（∇a+∇b+∇c ）-1/r a1-1/r a2-1/r a3-r b1-r b2-r b3+1/R+1/r ab +1/r ac +r bc

从上面的计算可以看出，利用Born- Oppenheimer 近似来求解类氢离子的哈密顿算符过程简单，相比绝热近似求解方法来说变量少了很多，易于分析和计算。但是就准确性来说，绝热近似求解方法方法的准确度要比Born- Oppenheimer 近似要高。

参考文献

[1] 郑从豪. 求近似波函数的一种方法. 物理学报,1964,20(12):1240.

[2] 曹铀. 玻尔半径与径向分布. 宝鸡师范学院学报,1992,2,48.

[3] 惠萍. 氢分子离子HD + 的薛定谔方程的求解方法. 广东教育学院学报,2005 ,25(5):48.

[4]周共度，段连云.结构化学基础（4）.北京：北京大学出版社,2008.73.

b2

c