第二章 等额年金 (上)

sn (1 i ) sn
⑤其他
n1 1 an a n an1 1 a sn sn1 1
例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年 内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。

解: Pa10 20000

例：某企业从银行获得一笔贷款，年利率为6%，假设企业每 年末向银行偿还20，000元，10年后还清，如果企业打算在5 年内一次还清，试求一次还清的额度。

解：
20000 a10 P (1 i )
5
20000 7.360087 P 0.747285 196982 .0617 元
李明今年30岁，他计划每年初存300元，共存30年建 立个人养老金，这笔存款能使他从60岁退休开始每年 初得到固定金额的养老金，共能取20年，假设存款利 率在前30年为6%，后20年为12%，求每年得到的养 老金额。
n
期初投资1元，每年末可获得利息i， 且第n年末可获得本金1元。
②年金终值

.
0 1 n-2 n-1 n
1
1
1
1
1+i (1+i）2 (1+i)n-1
sn 1 (1 i ) (1 i ) (1 i )
2
n 1
。
1 (1 i ) 1 (1 i )
第二章
等额年金（上）
主要内容
年金的定义 年金的类型 年金的现值与终值 年金的利率问题、时间问题求解

一、年金的定义
年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付 或收款。 等额年金：每次的支付额相等。

二、年金的类型
确定性分类：确定型年金、不确定型年金。 每次的支付额分类：等额年金、变额年金。 支付时点分类：期初付年金、期末付年金。 支付期限分类：定期年金、永续年金。 连续性年金：离散型年金、连续型年金。
4

总的终值为：37.43万元
5、连续年金

现值
an 终值 sn

nHale Waihona Puke Baidu
0
vt v dt ln v
t t
n 0
1 vn 1 vn ln v
n 0
n
0
(1 i )t (1 i ) dt ln( 1 i)

(1 i ) n 1

永续年金 a 1
(1 i) 1 d
n
n s
或：
s a (1 i ) m n m n
m n
例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相 同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债 额。 解：
15 3000 P 4 a 19 a 4 ) P(a P(9.6036 3.3121 )(1 0.08) P 441.51元
其中：A an
t 0,1,2
2(n A) i0 A(n 1)
优点：速度快。
推导N-R近似公式

。
F (it 1 ) F (it ) F (it ) it 1 it
令：F (it 1 ) 0
F (it ) 得：it 1 it F (it )
1 (1 i) n 令：an A i
。
1 (1 it ) 得：F (it ) it
n
A
n 1 (1 it ) Ait it 1 it 1 ( n 1) [1 it (n 1)] 1 (1 it )
其中：A an
t 0,1,2
如果已知 sn ，则迭代公式

三、年金的现值与终值
1、n年定期年金 1）期末付年金 ①现值

0 1 1 2 1 3 1 n 1
v
v2
vn
an v v v
2
n
。
v (1 v ) 1 v
n
1 v i
n
年初存入 an ，则每年末可得到 1元的 年金。
上式可写成：
1 ian v
i0 解二：迭代一：
2(10 8) 0.045 8(10 1)
由公式：
1 (1 it ) it 1 A
n
i(0)=0.045 i(1)=0.0448583 i(2)=0.0443989 i(6)=0.0433879 i(7)=0.0432567 i(8)=0.0431539 ---i(42)=0.04277506 i(43)=0.0427750 i(44)=0.0427750
例：设某期初付年金共支付20年，其中：前6年的年金额为5元， 中间9年的年金额为7元，后5年的年金额为10元，请写出年金 现值和终值的表达式。 解：现值
6 7 6 a 9 1015 a 5 5a
终值
5 7 9 (1 i ) 5 6 (1 i ) 10 s s s
解法三，N-R迭代法
2(n A) 2(10 8) i0 0.045 A(n 1) 8 11
得：
i0 0.045 i1 0.04545 i2 0.042748 i3 0.042775 i4 0.042775
i=0.042775
由N-R公式：
1 (1 it ) n Ait it 1 it 1 ( n 1) 1 (1 it ) [1 it (n 1)] 其中：A an t 0,1,2
2、时间问题

1）解析式
1 v an i
n ln v
n
ln(1 ian )
2）小额支付

当n为非整数时，有小额支付问题。
0 1 1 k-1 1 k 1 s w k+1
n=k+s
s<1
最后一次支付额w<1
W的计算
an ak wv
k s
W的提前支付

W在第k+1年初的现值。
(1 it )n 1 sit it 1 it 1 n1 (1 it ) [1 it (n 1)] 1
其中：
s sn
t 0,1,2
2( s n) i0 s(n 1)
例、某人存入银行8，000元，然后每年末从银行支取 1，000元，共取10年，求：i
3）延期m年的永续年金
v a lim v an m n i
m m m
v lim v a n a m n d
m
4、其他时点上的年金

过期年金的终值
0 1 1 ------n 1 n+1 n+m
sn m sn (1 i ) sm n sm
3、永续年金

1）期末付年金现值

1 vn 1 a lim an lim n n i i 2）期初付年金现值
1 期初投资 i 元，
则 每年可获得1元
1 期初投资 d 元，则
1 v 1 lim a n lim a n n d d
n
每年可获得1元
。

得：
1 (1 it ) it 1 A
n
缺点：收敛速度慢。即达到精确值的速度慢。
2）Newton-Raphson迭代公式
n 1 (1 it ) Ait it 1 it 1 ( n 1) [1 it ( n 1)] 1 (1 it )
m
同理：
m n m n m n (1 i ) s s s s
m
.

年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
m s a v a ( 1 i ) m n m nm n
m s a v a ( 1 i ) m n n m nm
1 1 n 1 1 n 1 2 (1 i) ( i ) an n 2 n 12
第二步：由i1求i2，以此类推。

可得i0、i1、i2----，直到it+1≈it为止。 确定迭代公式：
1 (1 i ) n an A i
得：
1 (1 i ) i A
n
(1 i ) n 1 i
n
每年末存入1元，第n年末可得
sn
③ an 与sn 的关系
sn an (1 i )
n
1 1 i 证明： an s n
1 i 证： i i n sn (1 i ) 1
i (1 i ) n (1 i ) 1 i 1 n 1 v an
5
14
四、年金的利率、时间问题求解
1、利率问题 1）迭代法一 2）Newton-Raphson迭代法

1）迭代法一

迭代公式
it 1 f (it )
步骤

第一步 ：确定i0，求i1； A、i0 可由线性插值法确定； B、泰勒级数前两项确定。 2
2(n A) i0 an (n 1) A(n 1) 2(n an )
。
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s (1 i ) n 1 d
③ a n 与 n 的关系 s
n a n (1 i ) s
n
1 1 或： d n n a s
④期初付年金与期末付年金
n (1 i )an a
10 20000 Pa 1 v P 20000 d P 3485.25元
10
1 v10 P 20000 i
P
3985.04元
2、延期m年的n年期年金
1）期末付延期年金 现值 0 m

Vm+1 m+1 1 m+n-1 1 m+n 1
vm+n-1 Vm+n
m
an v

解：
30 6% Pa 20 12% 300 s
P 3365 .78元
例：某单位计划用10年时间每年初存入银行一笔固定 的金额建立基金，用于10年末开始每年2，000元的永 续奖励支出，i=12%,求每年需存入的金额。
解：
10 12% 2000 a 12% P s
P 949.74元
n
2）期初付年金

①现值
0 1 1 1 2 1 n-2 1 n-1 1 n
v
v2
Vn-1
n 1 v v v a
2
n 1
。
1 v 1 v
n
1 v d
n
n v 或： 1 da
n
②终值

。
0
1
1
1
n-2
1
n-1
1
n
1+i (1+i)2
(1+i)n
同理：
例：某投资项目，前3年每年初投资5万元，后3年每 年末投资3万元，i=6%，试计算该项投资在10年末的 终值

解：前3年投资在10年末的终值为：
3 7 5 3 (1 i ) 7 25.37万元 5 s s

后3年投资在第10年末的终值为：
3s3 4 3s3 (1 i ) 12.06万元
或：
m
sn m an (1 i )
m n
2)期初付延期年金

现值
m m 1 m n 1 a v v v m n
v (1 v v v )
m 2
n1
n v a
m
n a m n a m 或：m a
。

终值
2 n s (1 i) (1 i) (1 i) m n
P wv

s
最后一次取款额为
m 1
v
m 2
v
m n 1
v
m n
。
v (v v v )
m 2 n
v an
m

或：
a a a m n m n m
终值
2 n 1 s 1 ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) m n
(1 i ) n 1 sn i

解法一：线性插值法。
8000 1000 a10 a10 8
令：
f (i ) a10 8
试算得：f(0.040)=0.1109=f(i2) f(0.045)=-0.0873=f(i1)
f (i1 ) i0 i1 (i2 i1 ) 0.04280 f (i2 ) f (i1 )