定积分的概念讲课稿
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观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 23
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 33
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 43
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 53
——刘徽
当边数n无限增大时,正n边形面积无限逼近圆的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细,所失 弥少,割之又割,以 至于不可割,则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时,正n边形面积无限逼近圆的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细,所失 弥少,割之又割,以 至于不可割,则与圆 周合体而无所失矣…”
每个小区间的长度 xi xi xi1 (i 1,2,n).
y y = f(x)
O a x1 x2
(2)近似
xi-1
xi
xn-1 b x
方案1
方案2
方案3
特例(阿基米德问题):求由抛物线y=x2
与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积.
3
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 13
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 143
y
f(x2) f(x1)
f(xi) f(xi)xi
y = f(x)
O a x1x1 x2 x2
xi-1 xi xi
xn-1 b x
(2)近似: ξi [ xi-1 , xi ], Ai f (ξi )Δxi
小曲边梯形 面积
T1
i
T2
t0 t1 t2 ti 1 ti tn 1 tn t
(2)近似
si v( i )ti
部分路程值
某时刻的速度
(3)求和 (4)取极限
n
s v( i )ti
i 1
max{t
1 i n
i
},
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
实例1 (求曲边梯形的面积)
n
A = lim λ0 i=1
f (ξi )Δxi
实例2 (求变速直线运动的路程)
n
s
lim
0
i 1
v(
i
)ti
二、定积分的概念
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界,在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n个小区间,各小区间的长度依次为
xi xi xi1,(i 1,2,),在各小区间上任取
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 63
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 73
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 83
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 93
一点xi(xi xi ),作乘积 f (xi )xi (i 1,2,)
n
并作和S f (xi )xi ,
i 1
记 max{ x1 , x2 ,, xn },如果不论对[a, b]
怎样的分法,也不论在小区间[ xi1 , xi ]上
点 xi 怎样的取法,只要当 0时,和 S总趋于
确定的极限 I ,我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
b
a
f
( x)dx
b
a
f
(t )dt
b
a
f
(u)du
(3)定义中区间的分法和xi 的取法是任意的.
(4)当函数 f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时,
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
定理1 当函数 f ( x)在区间[a, b]上连续时,
称 f ( x)在区间[a, b]上可积.
某一点处的函数值
n
n
(3)求和: A= Ai f (ξi )Δxi
i =1
i =1
y y = f(x) ff((xxf11f()()fx(x1x2)2)f)(x2)
f(xi) f(xi) f(xi)xi
O axx1x1x21x2 x2
(4)取极限
λ = m1iaxn {Δxi },
xxxi ii-1 xi xi
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 103
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 113
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 123
观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系. 133
在区间[a, b]上的定积分,记为
积分和ห้องสมุดไป่ตู้
积分上限 b a
f ( x)dx
I
lim 0
n i 1
f (xi )xi
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
注意:
(1) 定积分是积分和的极限,是一个确定 的数值.
(2)积分值仅与被积函数及积分区间有关,
而与积分变量的字母无关.
§6.1定积分的概念
这些图形的面积 该怎样计算?
一、问题引入
实例1 (求曲边梯形的面积)
y y = f(x)
曲边梯形由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、
x轴与两条直线x a 、
A?
x b所围成.
Oa
bx
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细,所失 弥少,割之又割,以 至于不可割,则与圆 周合体而无所失矣…”
xn-1 b x
n
A lim 0 i1
f
(xi )xi
实例2 (求变速直线运动的路程)
设物体作直线运动,已知速度 v v(t) 是时间间隔
[T1,T2 ]上的连续函数,且 v(t) 0, 计算在这段时间
内物体所经过的路程。
V(T)
A
B
(1)分割 T1 t0 t1 t2 tn1 tn T2,ti ti ti1
——刘徽
当边数n无限增大时,正n边形面积无限逼近圆的面积
实例1 (求曲边梯形的面积)
y
(1) 分割:
y = f(x)
O a x1 x2
xi-1
xi
xn-1 b x
在区间 [a,b]任意插 n 个分点,
a x0 x1 x2 xi1 xi xn b,
把 [a,b] 分成 n 个小区间: xi1 , xi (i 1,2,n).
定理2 设函数 f ( x)在区间[a,b]上有界,
且只有有限个间断点,则 f ( x)在 区间[a, b]上可积.
三、定积分的几何意义