构造等腰三角形解题的辅助线做法

构造等腰三角形解题的辅助线做法

吕海艳

等腰三角形是一种特殊的三角形，常与全等三角形的相关知识结合在一起考查。在许多几何问题中，通常需要构造等腰三角形才能使问题获解。那么如何构造等腰三角形呢？一般有以下四种方法：

（1）依据平行线构造等腰三角形；

（2）依据倍角关系构造等腰三角形；

（3）依据角平分线+垂线构造等腰三角形；

（4）依据120°角或60°角，常补形构造等边三角形。

1、依据平行线构造等腰三角形

例1：如图。△ABC中，AB=AB，E为AB上一点，F为AC延长线上一点，且BE=CF，EF交BC于D，求证DE=DF.

[点拔]：若证DE=DF，则联想到D是EF的中点，中点的两旁容易构造全等三角形，方法是过E或F作平行线，构造X型的基本图形，只需证两个三角形全等即可。

证明：过E作EG∥AC交BC于G

∴∠1=∠ACB，∠2=∠F

∵AB=AC

∴∠B=∠ACB

∴∠1=∠B

∴BE=GE

∵BE=CF

∴GE=CF

在△EDG和△FDC中

∠3=∠4

∠2=∠F

GE=CF

∴△EDG≌△FDC

∴DE=DF

[评注]：此题过E作AC的平行线后，构造了等腰△BEG，从而达到转化线段的目的。

2、依据倍角关系构造等腰三角形

例2：如图。△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是∠BAC的平分线

求证：AB+BD=AB

[点拔]：在已知条件中出现了一个角是另一个角的2倍，可延长CB，构造等腰三角形，问题即可解决。

证明：延长CB至E，使BE=BA，

连接AE

∵BE=BA

∴∠BAE=∠E

∵∠ABC=2∠C, ∠ABC=∠E+∠BAE=2∠E

∴∠C=∠E

AC=AE

∵AD平分∠BAC

∴∠1=∠2

∴∠EAD=∠BAE+∠1=∠E+∠1=∠C+∠2=∠BDA

∴EA=ED

∵ED=EB+BD，EB=AB，AC=AE

∴AC=AB+BD

[评注]：当一个三角形中出现了一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找等腰三角形。

3、依据角平分线+垂线，构造等腰三角形

例3，如图。△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BF平分∠ABC，CD⊥BD 交BF的延长线于D，求证：BF=2CD

[点拔]：遇到BD平分∠ABC且BD⊥CD，可延长CD、BA交于E，使角平

分线BD又成为底边上的中线和高。

证明：分别延长BA、CD交于点E

∵CD⊥BD

∴∠BDC=∠BDE=90°

∴∠1+∠E=90°

∵∠BAC=90°

∴∠3+∠E=90°

∴∠1=∠3

在△BAF和△CAE中

∠1=∠3

AB=AC

∠BAC=∠CAE=90°

∴△BAF≌△CAE

∴BF=CE

在△BDE和△BCD中

∠1=∠2

BD=BD

∠BDE=∠BDC

∴△BDE≌△BDC

∴CD=ED

∴CE=2CD

∵BF=CE

∴BF=2CD

[评注]：当一个三角形中出现垂直于角平分线的线段时，通常延长此线段与角的另一边相交，我们就可以寻找到等腰三角形。

4、依据60°角或120°角，常补形构造等边三角形

例4,、如图。∠BAD=120° BD=DC AB+AD=AC

求证：AC平分∠BAD

{点拨}：由AB+AD=AC知，应延长BA,将AB+AD集中成为一条线段，

使AE=AD 则∠EAD=60°△ADE为等边三角形，余下的只要证∠CAD=60°既得证明：延长BA到E,使AE=AD 连接DE

∵∠BAD=120°

∴∠DAE=180-120=60°

又AE=AD

∴△DAE是等边三角形

∴DE=AD ∠E=60°

∵BE=AB+AE AC=AB+AD

AE=AD

∴BE=AC

在△BDE和△CDA中

BD=CD

BE=CA

DE=AD

∴△BDE≌△CDA

∴∠CAD=∠E=60°

∵∠BAD=120°

∴∠BAC=∠CAD=60°

∴AC平分∠BAD

{评注}：在三角形的问题中，120°角也是常见角，可以利用120°的外角找到60°的角，经过添加线段的关系，构造等边三角形。