动量守恒和能量守恒定律

y s v y' s' v'
o
o'
x x'
z
z'
已知
v 2.5103 ms1
v' 1.0103 ms1
m1 100 kg
m2 200 kg
求 v1 , v2
z
v1 v2 v'
y s v
y' s'
m2
o
o'
z'
v'
m1
x x'
则
v2

v
m1 m1 m2
W (mgzB mgzA )
Ep mgz
引力功
引力势能
W

(G
m' m ) rB

(G
mr'Am)
Ep

G
m' m r
弹力功
弹性势能
W

(
1 2
kxB2

1 2
kx
2 A
)
Ep

1 2
k x2
保守力的功
W (Ep2 Ep1) EP
四 势能曲线
Ep mgz


2）守恒条件

合外力为零
F ex
i
Fiex 0
当 F ex F in 时，可 略去外力的作用, 近似地
认为系统动量守恒 . 例如在碰撞, 打击, 爆炸等问题中.
3）若某一方向合外力为零, 则此方向动量守恒 .
Fxex 0 , Fyex 0 , Fzex 0 ,
px mi vix Cx py miviy Cy pz miviz Cz

W mgl sin d 0
由动能定m理glW(cos1mcovs20 2
)
1
2
mv02
0

d
l
v FT ds

P
得 v 2gl(cos cos0) 1.53ms1
保守力与非保守力 势能 一 万有引力、重力、弹性力作功的特点
1） 万有引力作功
仅适用于惯性系 .
例 5 一质量为1.0kg 的小球系在长为1.0m 细绳下
端 , 绳的上端固定在天花板上 . 起初把绳子放在与竖直
线成 30角处, 然后放手使小球沿圆弧下落 . 试求绳与
解竖直d线W成Pv10Fdsv角d时s小mF球Tg的lds速sin率P.dds
Ep
Ep

1 2
k x2
Ep
Ep

G
m'm r
Ep
x
O
z
O
重力势能曲线
z 0, Ep 0
x
O
弹性势能曲线
x 0, Ep 0
引力势能曲线
r , Ep 0
一 质点系的动能定理
W ex W in Ek Ek0
外力功 内力功
注意
内力可以改变质点系的动能
二 质点系的功能原理
基本要求
一 理解动量、冲量概念, 掌握动量定理和 动量守恒定律 .
二 掌握功的概念, 能计算变力的功, 理解 保守力作功的特点及势能的概念, 会计算万有 引力、重力和弹性力的势能 .
三 掌握动能定理 、功能原理和机械能守 恒定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方 法.
四 了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞 的特点 .
平均功率 P W t
瞬时功率
P
lim
W

dW

F
v
t0 t
dt
P Fvcos
功率的单位 （瓦特）1W 1J s1 1kW 103 W
例 4 一质量为 m 的小球竖直落入水中， 刚接触
水面时其速率为v0 . 设此球在水中所受的浮力与重力
相等, 水的阻力为 Fr bv, b 为一常量. 求阻力对
质点和质点系的动量定理
力的累积效应
F (t)对 t 积累
F
对
r积累
W
p ,
, E
I
一 冲量 质点的动量定理
动量
p mv
F
dp
d(mv)
Fdt

dp
d
( mv)
dt dt
t2
t1
冲量
Fdt

p2

p1

mv2
mv1
力对时间的积分（矢量）
dt dy
则 yg d y vd(yv)
两边乘以y,并令u=yv,则
y2 gdy u d u
g
y y2 d y
u
udu
0
0
1 gy3 1 yv2
3
2
v


2
gy
1 2
3
t
质点系动量定理 I t0
i
Fiexdt
i
pi
i
pi0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守 力的功
Wcin ( Epi Epi0 ) Ep0 Ep
i
i
W ex

W in nc

(Ek
Ep ) (Ek0
Ep0 )
机械能 E Ek Ep W ex Wnicn E E0
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于 外力和非保守内力作功之和 .

1 2
kxA2
)
W kxdx 0
二 保守力和非保守力
保守力: 力所作的功与路径无关，仅决定于相 互作用质点的始末相对位置 .
引力功
W

(G
m'm) (G rB
mr'Am)
重力功 W (mgzB mgz A )
弹力功
W

(
1 2
kxB2

1 2
kxA2
三 机械能守恒定律
当 W ex Wnicn 0 时，有 E E0
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系的机械能保持不变 .
Ek Ek0 (Ep Ep0 )
守恒定律的意义
Ek Ep
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点 .
例 6 一雪橇从高度为50m 的山顶上点A沿冰道由 静止下滑,山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下 点B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在C 处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的 路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 .)
解球作W的功与F时 d间r的函数bv关d系x . bv d x d t dt
即
W b v2 dt
o
F

m dv dt W
bt
bv v v0e m

bv02
0t
e
2b m
t
dt
vv0
W

1 2
mv02
(e
2b m
t

1)
x
二 质点的动能定理
v'
(m1 m2 )v m1v1 m2v2 v2 2.17 103 m s1
v1 3.17 103 m s1
我国长征系列火箭升空
一功
力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与 位移大小的乘积 . （功是标量，过程量）
dW F cos dr F cosds
例 7 有一轻弹簧, 其一端系在铅直放置的圆环的 顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 小球穿过圆环并 在圆环上运动(不计摩擦) .开始小球静止于点 A, 弹簧 处于自然状态,其长度为圆环半径R; 当小球运动到圆环 的底端点B时,小球对圆环没有压力. 求弹簧的劲度系数.
4） 动量守恒定律只在惯性参考系中成立, 是自 然界最普遍，最基本的定律之一 .
例 3 一枚返回式火箭以 2.5 103 m·s-1 的速率相对地面 沿水平方向飞行 . 设空气阻力不计. 现由控制系统使火 箭分离为两部分, 前方部分是质量为100kg 的仪器舱, 后 方部分是质量为 200kg 的火箭容器 . 若仪器舱相对火箭 容器的水平速率为1.0 103 m·s-1 . 求 仪器舱和火箭容器 相对地面的速度 .


Fi
dr


Fi
dr
Wi i
dFrFxdi xiFy
j Fzk
dyj
dzk
W Fxdx Fydy Fzdz
W Wx Wy Wz
功的大小与参照系有关
功的量纲和单位 dimW ML2T2 1J 1N m
以m'
为参考系，m的位置矢量为
r.
m由
A点移动到
B点时
F 作功为
W

rB rA

G
m' m r2
dr
m
A

r (t)
dr
m' r(t dt)
O
B
W

(G
m' m ) rB

(G
mr'Am)
2 ） 重力作功


P mgk
dr
dxi
dyj
动量守恒定律
若质点系所受的合外力为零
F ex
Fiex 0
则系统的总动量守恒，即 p
pi
i
保持不变 .
力的瞬时作用规律 Fex dp,
Fiex 0,
PC
dt
1）系统的动量守恒是指系统的总动量不变，系 统内任一物体的动量是可变的, 各物体的动量必相 对于同一惯性参考系 .
解 以竖直悬挂的链条 和桌面上的链条为一系统, 建立如图坐标
则 F ex m1g yg
由质点系动量定理得
m2
O
m1
y
F exdt dp
y
F exdt dp dp d(mv) d( yv) d( yv)
ygdt d(yv) 则yg d yv v d ( yv)
dzk
z
zA
A
W
B
P
d r
zB mgdz
A
zA
zB
百度文库mg
B
(mgzB mgz A )
o
x
y
W mgdz 0
3 ） 弹性力作功
F
x
o xA xB


F kxi
W
xB Fdx
xB kxdx
xA
xA
W

(1 2
kxB2
和角度弹回来 .设碰撞时间为0.05s.求在此时间内钢板所
受到的平均冲力 .
解 建立如图坐标系, 由动量定理得
Fxt mv2x mv1x
mvcos (mvcos)
x
2mv cos
mv1 mv2
Fyt mv2y mv1y
mvsinα mvsin 0
t2 t1
Fydt

mv2 y

mv1y
I z
t2 t1
Fz dt

mv2 z

mv1z
二 质点系的动量定理
质点系

t2
t1
t2
t1
(F1
(F2

F12 )dt F21 )dt

m1v1 m2v2


m1v10 m2 v20
F1
F2
F12
W


F
dr

Ft
dr

Ftds
Ft

m
dv dt
W
v2 m dvds v1 dt
v2 v1
mvdv

1 2
mv22

1 2
mv12
动能（状态函数） 动能定理
Ek

1 2
mv2

p2 2m
合外力对质点所作的功, 等于质点动能的增量 .
W Ek2 E k1
注意
功和动能都与 参考系有关；动能定理
dW

F
dr
0 90, dW 0
90 180 , dW 0
90
F
dr
dW
0
dri
i
B
*
dr

Fi
dr1*A1
F1
F
变力的功
W
B
F
dr
B
F cosdr
A
A
合力的功 = 分力的功的代数和
W

m1
F21
m2
因为t1t2 内(F力1 FF122)dt
F21 0
(m1v1
，故
m2v2
)

(m1v10

m2 v20
)
质点系动量定理 作用于系统的合外力的冲量等于
系统动量的增量.
t2 Fexdt t1

n i1
mi vi
n i1
mi vi0
I
)
F
d r
F
d r
ACB
ADB
A
D
C B

F
dr
F
d r
F
d r
l
ACB
BDA
l
F
dr
0
物体沿闭合路径运动 一周时, 保守力对它所作的功等于零 .
非保守力: 力所作的功与路径有关 .（例如摩擦力）
三 势能 势能
重力功
与物体间相互作用及相对位置有关的能量 . 重力势能
I
t2
Fdt
t1
t2
t1
Fdt

p2

p1

mv2
mv1
动量定理 在给定的时间内，外力作用在质点上的 冲量，等于质点在此时间内动量的增量 .
分量形式
I x
t2 t1
Fxdt

mv2 x

mv1x

I Ixi Iy j Izk
Iy
p
p0
注意
内力不改变质点系的动量
初始速度 vg0 vb0 0 mb 2mg 则
推开后速度 vg 2vb
推开前后系统动量不变
且方向p相反p0则
p0 0 p 0
例 1 一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的刚球,以与
钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上,并以相同的速率
F
Fx
2mv cos
t
14.1N
方向沿
x
轴反向
例 2 一柔软链条长为l,单位长度的质量为.链条放 在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分 堆在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下 . 求链条下落速度与落下距离之间的关系 . 设链与各处的 摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开 .