概率论与数理统计2-6 条件分布与条件期望

边际分布列：pig
pij
p 2 q 2
j i1
j i1
p2qi1 pqi1, i 1, 2,...
1j1q
j 12
i 1
i 1
( j 1) p2q j2 , j 2, 3,...
条件分布列为pi/j pij pgj p2q j2 [( j 1) p2q j2 ]

证明
E{ / bj}P( bj )
j 1
而
E{ / bj}

ai pi / j
i1

i1
ai
gpij pgj
E(E{ /})
j 1

ai
i 1
pij pg j
pgj


ai
i 1
j 1
pij


ai pig E
i 1
三小结
概念 E{ / bj}
条件数学期望
E(C / bj ) C.


E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}
E(E{ /}) E
二、离散型随机变量条件数学期望
❖ 定义 若随机变量 分布列为 pi / j 又

在条件"
bj " 下的条件

ai pi / j

i 1
称 ai pi/ j 为 在 bj 条件下的条件数学期望 i 1
记作： E{ / bj}
例2 某射手进行射击，每次设计击中目标的
2.对任意实数k1,k2,又E{1 / bj}，E{2/=bj}存在， 则E{(k11+k22 ) / bj} k1E{1 / bj}+k2E{2/=bj}
n
n
可推：E( aii ) aiE(i ).
i 1
i 1
3. E(E{ /}) E
2.6 条件分布与条件期望
一、离散型随机变量的条件分布 二、离散型随机变量的条件期望 三、小结
一、离散型随机变量的条件分布
问题 考虑一大群人,从其中随机挑选一个人,分别
用和 记此人的体重和身高,则 和 都是随
机变量, 他们都有自己的分布.
如果限制取值
从1.5米到1.6米, 在
此限制下 的分布.
=1 j 1.1 i j 2,3,...
pj/i pij pig p2q j2（pq j1） pq . ji1 j i,i 1, 2,3,...
n-1
此时E{ /=n}= ipi/n
i=1

n-1
i
1
i=1 n-1

n 2
条件数学期望的性质
1. 若a b,则E{ /=b j }存在，且a E{ /=b j } b. 特别C是一个常数，则E(C / bj ) C.
概率为p(0<p<1),射击进行到击中目标两次时为
止第。二令次击表中示目第标一是次的击次中数目，标试是求的联次合数分，布列表示pij
条件分布列 pi/ j , p j/i

及数学期望 E{ / bj}
解 由题意易知 pij P( i, j)
p2q j2,1 i j 2,3,...