机械系统弹性动力学基础
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特性与多自由度系统的特性是一致的。不同的事，多自 由度系统的主振型是以各质点之间的振幅比来表示的， 而弦振动中质点的数趋于无穷多个，质点振幅采用振型
函数Y=（x）表示。
例 4-1 求如图4-1（a）所示的弦振动的前三阶固有频
率和响应的主振型，并作出主振型图。
解：将k=1，2，3代入式（4-13）即得到前三阶的固有频率为
这类构件的振动问题称为弦的振动
如图4-1（a）所示为两端固定用预紧力
F0拉紧的弦。在初始干扰下，弦作横向自由 振动，弦上各个点的位移y是坐标x和时间t的 函数，因此，位移曲线可以表达为
y y(x,t)
设弦为均质，密度为ρ、 截面积为A。在弦上x处取微
分段dx，其质量为
dm Adx
考虑到F0远大于弦的重 力，对于微振动来说，假设
式(4-11)即为振动的特征方程，即频率方程，其解为
nl k , k 1,2,3, (4 12)
从而可得弦振动的固有频率为
nk
k
l
k
l
F0 , k 1,2,3
A
(4 13)
式中: ωnk为第k阶的固有频率。
该式表明有无穷多个固有频率，同时，对应无穷阶的主 振型为
Yk (x)
C1k
sin nk
x
C1k
sin
k
l
x, k
1,2,3
(4 14)
对应主振型为
yk (x,t)
C1k
sin
nk
sin(nk
k ),k
1,2,3
(4 15)
在一般情况下，显得自由振动为无限多阶的叠加，即
y( x, t )
C1k
sin
nk
sin(nk
k
)
(4 16)
从以上分析可以看出，作为连续系统的弦振动的
0.707
1
u1
0
,
1
0.707
u1 1.000,
0.707
➢近似的三自由度系统的主振型用虚线在42（a）中。与连续系统的精确主振型比较， 低阶的主振型是很接近的，随着阶次的增加， 误差增大。
F0
A
,
n3
7.391 l
F0
A
结果表明基频的误差约为5%,随着阶次的增加， 误差更大。所以为了得到较精确的固有频率，应 把离散的系统自由度增多，具体取多少自由度取 决于对精度的要求。
• 运用式（2-6），将ωn1 ～ ωn3代入特征方程的矩
阵形式，取得响应的主振型
0.707
u1 1.000,
为了将连续系统与离散 系统的动力学特性比较，现 将弦离散成三个自由系统， 如图4-2（b）所示。
由m1= m2= m3=ρAl/4 ， k11= k22= k33=8F0/l k12= k21= k23= k32=-4F0/l，则三自由度系统振动微分方程为
m1 0
0
m2
0 0
yy12
k11 k 21
• 弦的振动 • 杆的轴向振动 • 圆轴的扭转振动 • 梁的横向振动
在分析时，假定材料是均匀连续和各向相同性 的，服从胡克定律，运动是微幅的，是一个线性 系统。此外，为了简化，将不考虑系统的阻尼。
第一节 弦的振动
在工程中常遇到真能承受拉力而抗弯曲 及压缩能力很弱的构件：如钢索、电线、电 缆、皮带等。
n1
l
F0
A
,
n2
2
l
F0
A
,
n3
3
l
F0
A
同样，将ωn1 ～ ωn3代入（4-13），可得前三阶主振型
Y1 ( x)
C11 sin l
x,Y2 (x)
C12
sin
2
l
x,Y3 (x)
C13
sin
3
l
x
若以x为横坐标，Y(x)为纵 坐标，并令Ck1=1（k=1，2，3） 则可作出前三阶主振型，如图 4-2 （ a ） 所 示 。 图 4-2 中 振 幅 式中为零的点称为节点，节点 数随振型阶次而增加，第n阶 主振型有n-1个节点。
个截面处的张力均相等，且 等 于 初 张 力 F0 。 微 段 左 右 手 两个大小想的但方向不同的
张力，如图 4-1（b）所示。
由牛顿定律可写出沿y方向的 运动微分方程
2
t
y
2
dm
Fy
2 y t 2
Adx
F0
y
x
2 y x2
dx
F0
y x
化简后得到
A
2 y t 2
F0
2 y x 2
dx
(4 1)
设 a F0 A ，a为波长沿弦长度方向传播的速度，
则上式（4-1）就是均质弦横向振动的微分方程，通 常称为波动方程。
在多自由度系统振动分析时得知，在作主动振动各 质点将作同样频率和相位的运动，各质点同时经过静平 衡位置和达到最大偏离位置，即系统具有一定与时间无 关的振动。连续系统也应具有这样的特性，故可假设 （4-1）的解为
(t) C sin(wnt )
(4 6)
由（ 4-5）可解出振型函数，得
Y (x)
A1 sin
wn
x
B1
c
os
wn
x
(4 7)
它描绘出弦的主振动是一条正弦曲线，其周期 为 2 wn 。将（4-6）、（4-7） 代入（4-2）
化简得
y( x, t )
(C1 sin
n
x C2sin
n
x) sin(n
)
(4 8)
式中：C1、C2、 ωn和φ为四个待定系数，可由两端的边 界条件和振动的两个初始条件来决定。
由于弦的两端固定，其边界条件为
x 0, y(0, t) 0
x
l,
y(l, t)
0
(4 9)
将(4-9)代入 (4-8)得
显然有
C2
0,
C1
s
in
nl
0
sin nl 0
(4 10)
(4 11)
k12 k 22
k13 k 23
y1 y2
0
0 0 m3 y3 k31 k32 k33 y3
其特征方程的代数形式为
8F0 l
A
4
l
2 n
2 n
4F0 l
0
4F0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
4F0
l
0
4F0
0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
解得固有频率为
n1
3.059 l
F0
A
,
n2
5.657 l
a2 Y (x)
2Y (x) x 2
式中x和t两个变量已分离。
(4 3)
两边都必须等于同一个常数。设此常数为- wn2 则可得 两个二阶常微分方程
2(t ) t 2
wn2 (t )
0
2Y (x) x 2
wn2 a2
Y
(x)
0
(4 4)
(4 5)
式 （4-4）形式 与单自由度振动微分方程相同，其必为 简谐振动形式
y(x,t) Y (x)(t) (4 2)
上式中：Y（x）表示弦的振型函数，仅为x的函数，而 与时间无关； Ф（t）是弦的振动方式，仅为时间t的函
数。
将（4-2）分别对时间t、x求而阶偏导后，代入 （4-1），得
Y (x) 2(t) a2(t) 2Y (t)
2t
2x
移项后得
源自文库
1 (t)
2(t ) t 2
函数Y=（x）表示。
例 4-1 求如图4-1（a）所示的弦振动的前三阶固有频
率和响应的主振型，并作出主振型图。
解：将k=1，2，3代入式（4-13）即得到前三阶的固有频率为
这类构件的振动问题称为弦的振动
如图4-1（a）所示为两端固定用预紧力
F0拉紧的弦。在初始干扰下，弦作横向自由 振动，弦上各个点的位移y是坐标x和时间t的 函数，因此，位移曲线可以表达为
y y(x,t)
设弦为均质，密度为ρ、 截面积为A。在弦上x处取微
分段dx，其质量为
dm Adx
考虑到F0远大于弦的重 力，对于微振动来说，假设
式(4-11)即为振动的特征方程，即频率方程，其解为
nl k , k 1,2,3, (4 12)
从而可得弦振动的固有频率为
nk
k
l
k
l
F0 , k 1,2,3
A
(4 13)
式中: ωnk为第k阶的固有频率。
该式表明有无穷多个固有频率，同时，对应无穷阶的主 振型为
Yk (x)
C1k
sin nk
x
C1k
sin
k
l
x, k
1,2,3
(4 14)
对应主振型为
yk (x,t)
C1k
sin
nk
sin(nk
k ),k
1,2,3
(4 15)
在一般情况下，显得自由振动为无限多阶的叠加，即
y( x, t )
C1k
sin
nk
sin(nk
k
)
(4 16)
从以上分析可以看出，作为连续系统的弦振动的
0.707
1
u1
0
,
1
0.707
u1 1.000,
0.707
➢近似的三自由度系统的主振型用虚线在42（a）中。与连续系统的精确主振型比较， 低阶的主振型是很接近的，随着阶次的增加， 误差增大。
F0
A
,
n3
7.391 l
F0
A
结果表明基频的误差约为5%,随着阶次的增加， 误差更大。所以为了得到较精确的固有频率，应 把离散的系统自由度增多，具体取多少自由度取 决于对精度的要求。
• 运用式（2-6），将ωn1 ～ ωn3代入特征方程的矩
阵形式，取得响应的主振型
0.707
u1 1.000,
为了将连续系统与离散 系统的动力学特性比较，现 将弦离散成三个自由系统， 如图4-2（b）所示。
由m1= m2= m3=ρAl/4 ， k11= k22= k33=8F0/l k12= k21= k23= k32=-4F0/l，则三自由度系统振动微分方程为
m1 0
0
m2
0 0
yy12
k11 k 21
• 弦的振动 • 杆的轴向振动 • 圆轴的扭转振动 • 梁的横向振动
在分析时，假定材料是均匀连续和各向相同性 的，服从胡克定律，运动是微幅的，是一个线性 系统。此外，为了简化，将不考虑系统的阻尼。
第一节 弦的振动
在工程中常遇到真能承受拉力而抗弯曲 及压缩能力很弱的构件：如钢索、电线、电 缆、皮带等。
n1
l
F0
A
,
n2
2
l
F0
A
,
n3
3
l
F0
A
同样，将ωn1 ～ ωn3代入（4-13），可得前三阶主振型
Y1 ( x)
C11 sin l
x,Y2 (x)
C12
sin
2
l
x,Y3 (x)
C13
sin
3
l
x
若以x为横坐标，Y(x)为纵 坐标，并令Ck1=1（k=1，2，3） 则可作出前三阶主振型，如图 4-2 （ a ） 所 示 。 图 4-2 中 振 幅 式中为零的点称为节点，节点 数随振型阶次而增加，第n阶 主振型有n-1个节点。
个截面处的张力均相等，且 等 于 初 张 力 F0 。 微 段 左 右 手 两个大小想的但方向不同的
张力，如图 4-1（b）所示。
由牛顿定律可写出沿y方向的 运动微分方程
2
t
y
2
dm
Fy
2 y t 2
Adx
F0
y
x
2 y x2
dx
F0
y x
化简后得到
A
2 y t 2
F0
2 y x 2
dx
(4 1)
设 a F0 A ，a为波长沿弦长度方向传播的速度，
则上式（4-1）就是均质弦横向振动的微分方程，通 常称为波动方程。
在多自由度系统振动分析时得知，在作主动振动各 质点将作同样频率和相位的运动，各质点同时经过静平 衡位置和达到最大偏离位置，即系统具有一定与时间无 关的振动。连续系统也应具有这样的特性，故可假设 （4-1）的解为
(t) C sin(wnt )
(4 6)
由（ 4-5）可解出振型函数，得
Y (x)
A1 sin
wn
x
B1
c
os
wn
x
(4 7)
它描绘出弦的主振动是一条正弦曲线，其周期 为 2 wn 。将（4-6）、（4-7） 代入（4-2）
化简得
y( x, t )
(C1 sin
n
x C2sin
n
x) sin(n
)
(4 8)
式中：C1、C2、 ωn和φ为四个待定系数，可由两端的边 界条件和振动的两个初始条件来决定。
由于弦的两端固定，其边界条件为
x 0, y(0, t) 0
x
l,
y(l, t)
0
(4 9)
将(4-9)代入 (4-8)得
显然有
C2
0,
C1
s
in
nl
0
sin nl 0
(4 10)
(4 11)
k12 k 22
k13 k 23
y1 y2
0
0 0 m3 y3 k31 k32 k33 y3
其特征方程的代数形式为
8F0 l
A
4
l
2 n
2 n
4F0 l
0
4F0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
4F0
l
0
4F0
0
l
8F0 l
A
4
l
2 n
解得固有频率为
n1
3.059 l
F0
A
,
n2
5.657 l
a2 Y (x)
2Y (x) x 2
式中x和t两个变量已分离。
(4 3)
两边都必须等于同一个常数。设此常数为- wn2 则可得 两个二阶常微分方程
2(t ) t 2
wn2 (t )
0
2Y (x) x 2
wn2 a2
Y
(x)
0
(4 4)
(4 5)
式 （4-4）形式 与单自由度振动微分方程相同，其必为 简谐振动形式
y(x,t) Y (x)(t) (4 2)
上式中：Y（x）表示弦的振型函数，仅为x的函数，而 与时间无关； Ф（t）是弦的振动方式，仅为时间t的函
数。
将（4-2）分别对时间t、x求而阶偏导后，代入 （4-1），得
Y (x) 2(t) a2(t) 2Y (t)
2t
2x
移项后得
源自文库
1 (t)
2(t ) t 2