概率论与数理统计第二章补充题与答案

《概率论与数理统计》第二单元补充题
一、 填空题：
1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是
12），）
2、随机变量X 的分布律为5
110
32
12
10
P
X ，则2X 的分布律为__________,2X +1的分布律为__________
3、设离散型随机变量X 的分布律为Λ,2,1,2
1}{===k k X P k
，则随机变量X Y 2sin π
=的分布律为
4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= .
5、设随机变量X 的概率密度函数为
，
则P (0<X <3π/4)= .
6、随机变量)3
1
,10(~b X ，则{}0P X ==，{}1P X ≥=
7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5
a P X k k ==
=，（， 则a =
，(2.5)F =
8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1
133
P X <<=
，则b =
9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{}1P X ==
，
{}1P X ≤=
二、选择题：
1、下列命题正确的是 。

（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足 （ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数
2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使
12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是________
（ A ） 32,55a b =
=- （ B ） 22,33
a b ==- ( C ） 13,22a b =-=
（ D ） 13,22
a b =-=- 三、计算题
1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为c
c c c 167
,
85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}.
2、已知ξ~⎩⎨
⎧<<=其它
01
02)(x x x ϕ, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).
3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=1
11000)(2
x x Ax
x x F 求：（1）、系数A; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、 概率密度φ(x ).
4、设随机变量X 的密度函数⎩
⎨⎧<<=其他0102)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观
察中事件}2
1
{≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}.
5、已知离散型随机变量X 的概率分布为Λ,2,1,32
}{==
=n n X P n
，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数.
6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2
x
X f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。

（2）、已知随机变量X 的分布函数为(),X F x 另有随机变量
1,0,
1,
X Y >⎧=⎨
-≤⎩X 0。

试求Y 的分布律和分布函数。

7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为0.7和0.8。

记Y 表示二人投篮的总次数。

（1）求Y 的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？
8、假设随机变量X 的绝对值不大于1，81}1{=
-=X P ；4
1
}1{==X P ；在事件“|X |<1”发生的条件下，X 在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长
度成正比，求X 的分布函数.
9.一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？
四、问答题
1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？
2、随机变量的分布函数有什么意义？
3、连续型随机变量的dx x f )(与离散型随机变量的k p 在概率中的意义是否相同？
4、为什么0}{==a X P 不能说明X =a 是不可能事件？
5、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？
《概率论与数理统计》第二单元补充题参考答案
一、填空题：
1、函数()f x 为连续型随机变量X 的概率密度函数的充要条件是
（1）,0)(≥x f （2）
.1)(⎰
∞
∞
-=dx x f
2、随机变量X 的分布律为
5110
3212
10P
X ，则2X 的分布律为5
11032141
02P
X ,2X +1的分布律为5
110
3215311
2P
X + 3、设离散型随机变量X 的分布律为Λ,2,1,21}{===k k X P k
，则随机变量X
Y 2sin π
=的分布律为15
8311521
01p
Y
-
4、设离散型随机变量X 的分布律为 k =1, 2, 3,…，则c= 0.5 .
5、设随机变量X 的概率密度函数为
，
则P (0<X <3π/4)= 1/2
6、随机变量)31,10(~b X ，则1032)0(⎪⎭
⎫
⎝⎛==X P ，.321)1(10
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≥X P
7、随机变量X 的分布律为{}1,2,3,4,5)5
a
P X k k ==
=，（， 则1
=
a ，5
2
)5.2(=F
8、随机变量X 服从(0,)b 上的均匀分布，且{}1
133
P X <<=
，则2
36b 或
=
9、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则,e 2)1(-2==X P ，
,e 3)1(-2
=
≤X P
二、选择题：
1、下列命题正确的是 C 。

（ A ）连续型随机变量的密度函数是连续函数 （ B ）连续型随机变量的密度函数()0()1f x f x ≤≤满足
（ C ）连续型随机变量的分布函数是连续函数 （ D ）两个概率密度函数的乘积仍是密度函数
2、设)(1x F 与)(2x F 分别为随机变量1X 与2X 的分布函数，则为使
12()()()F x aF x bF x =-是某随机变量的分布函数，下列结果正确的是__A______
（ A ） 32,55a b ==- （ B ） 22,33a b ==- ( C ） 13,22a b =-= （ D ） 13
,22
a b =-=-
二、 计算题
1、已知随机变量ξ只能取-1,0,1,2四个值, 相应概率依次为c
c c c 167
,
85,43,21, 确定常数c 并计算P{ξ<1|ξ≠0}.
解: 根据概率函数的性质有
1}2{}1{}0{}1{==+=+=+-=ξξξξP P P P
即
1167854321=+++c
c c c 得
2.312516
3716710128167854321==+++=+++=
c 设事件A 为ξ<1, B 为ξ≠0, (注: 如果熟练也可以不这样设)则
32
.025
816
7852121}2{}1{}1{}1{)
0{}
01{)()(}0|1{==++==+=+-=-==≠≠⋂<==
≠<ξξξξξξξξξP P P P P P B P AB P P .
2、已知ξ~⎩⎨
⎧<<=其它
01
02)(x x x ϕ, 求P{ξ≤0.5}; P(ξ=0.5);F(x).
解: 25.005.020)(}5.0{225.00
25
.00
5
,0|=-==+==≤⎰⎰⎰∞
-∞
-x xdx dx dx x P ϕξ；
因ξ为连续型随机变量, 因此取任何点的概率均为零, 所以P {ξ=0.5}=0； 现在求F (x ): 当x <0时, F (x )=0
当0≤x <1时, 20
20
0|20)()(x t tdt dt dt t x F x
x
x ==+==⎰⎰⎰∞
-∞
-ϕ
当x ≥1时, F (x )=1 综上所述, 最后得:
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤<=1
11000)(2
x x x x x F
3、设连续型随机变量ξ的分布函数为:⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=1
11000)(2
x x Ax
x x F 求：（1）、系数A ; （2）、P (0.3<ξ<0.7); （3）、 概率密度φ(x ).
解: （1）因ξ是连续型随机变量, 因此F (x )必是连续曲线, 则
)01()01(+=-F F
因此A ×12=1, 即A =1. （2）则分布函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=1
11000
)(2
x x x x x F P (0.3<ξ<0.7)=F (0.7)-F (0.3)=0.72-0.32=0.49-0.09=0.4 （3）概率密度φ(x )为
⎩
⎨
⎧<≤='=其它01
02)()(x x x F x ϕ
4、设随机变量X 的密度函数⎩⎨
⎧<<=其他0
1
02)(x x x f 用Y 表示对X 的三次独立重复观
察中事件}2
1
{≥X 出现的次数，求（1）P {Y =2}；（2）P {Y ≥1}
解：首先可计算得到43
411|2}21{12
12121=-===≥⎰x xdx X P
由题意知Y ～b （3，
4
3） 所以（1）6427
4143}2{2
23=⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛==C Y P
（2）646341431}0{1}1{3
003=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-=≥C Y P Y P
5、已知离散型随机变量X 的概率分布为Λ,2,1,3
2
}{==
=n n X P n ，求随机变量X Y )1(1-+=的分布律和分布函数
解：由于
439
11132913232}12{}0{00
1
20
=-⋅===+===∑∑
∑+∞=+∞
=++∞
=k k k k k k X P Y P
41
}0{1}2{=
=-==Y P Y P
因此，Y 的分布律为：
414
320k
p Y ，
易计算，它的分布函数为
⎪⎩⎪⎨
⎧≥<≤<=2
1
2043
00)(y y y y F Y 。

6、（1）、已知随机变量X 的概率密度函数为1(),2
x
X f x e x -=-∞<<+∞，求X 的分布函数。

（2）、已知随机变量X 的分布函数为(),X F x 另有随机变量
1,0,
1,
X Y >⎧=⎨
-≤⎩X 0。

试求Y 的分布律和分布函数。

解： （1）由于1,0,2
()1,0.2
x
X x e x f x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 所以
110()()22x
x
x x
X X x F x f x dx e dx e -∞-∞
<=
=
=⎰
⎰当时， 0
111
0()()1222x
x
x x x X X x F x f x dx e dx e dx e ---∞
-∞≥=
=+=-⎰
⎰⎰当时，
所以1,0,2
()11,0.2
x
X x e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩
（2）易知11
(1)(0)(0),(1)(0)1(0),22
X X P Y P X F P Y P X F =-=≤====>=-=
于是Y 的分布律为
分布函数为11(),112
1,
1Y y F y y y <-⎧⎪⎪
=-≤<⎨⎪≥⎪⎩
7、甲、乙二人轮流投篮，每人一次，甲先开始，直到有一人投中为止，假定各人投中与否互不影响，已知二人投篮的命中率分别为0.7和0.8。

记Y 表示二人投篮的总次数。

（1）求Y 的分布律；（2）问谁先投中的可能性大？
解：易知P {Y =1}=0.7 P {Y =2}=0.3×0.8 P {Y =3}=0.3×0.2×0.7 P {Y =4}=0.32×0.2×0.8 所以：
（1）分布律：
,...2,17
.02.03.0}12{8
.02.03.0}2{111==-===---k k Y P k Y P k k k k
（2）7447.006
.017
.0)7.02.03.0(}12{}{1
111
=-=
=-==∑∑∞
=--∞
=k k k k k Y P P 甲先投中
2553.006
.0124
.0)8.02.03.0(}2{}{1
11
=-=
===∑∑∞
=-∞=k k k k k Y P P 乙先投中
∴甲先投中的可能性大
8、假设随机变量X 的绝对值不大于1，81}1{=
-=X P ；4
1
}1{==X P ；在事件“|X |<1”发生的条件下，X 在（-1，1）内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求X 的分布函数
解：当0)(1=-<x F x
当8
1
)1(1=--=F x
当1)(1
=≥x F x
由于当11≤<-x 时， 有)1(}11|1{+=<<-<<-x k X x X P 即当2
11
)11(1
=
∴=+=k k x 2
1
}11{}1{}11|1{+=<<-<<-=<<-<<-x X P x X P X x X P
∴16
)
1(54181121}1{+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=
<<-x x x X P 167
516)1(581}1{}1{}{)(+=++=
<<-+-==≤=x x x X P X P x X P x F
{}()()
()Λ，，，432111
1=-+-==--k p
p p p k X P k k
9.一个人在一年中患感冒的次数X 服从参数为4=λ的Poisson 分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数λ降为1=λ（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上面的参数λ降为3=λ（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显著”概率有多大？
解：设{}此药疗效显著=1A ，{}此药疗效一般=2A ，{}此药无效=3A ， {}次感冒某人一年中患2=B ， 则
()()()
()()
∑==
3
1
111k k
k
A B
P A P A B P A P B A P
2206.02
441.02337.02122.02122.04
2
32121
2=⨯+⨯+⨯⨯=----e e e e
四、问答题
1、随机变量与普通函数有何不同？引入随机变量有何意义？
答：随机变量是在随机试验的样本空间S 上，对每一个S e ∈，给予一个实数X （e ）与之对应而得到的一个实值单值函数。

从定义可以认识到：普通函数的取值是按一定法则给定的，而随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；又普通函数的定义域是一个区间，而随机变量的定义域是样本空间。

这两点是二者的主要区别。

引入随机变量是研究随机现象统计规律性的需要。

为了便于数学推理和计
算，有必要将随机试验的结果数量化，使得可以用高等数学课程中的理论与方法来研究随机试验，研究和分析其结果的规律性，因此，随机变量是研究随机试验的重要而有效的工具。

2、随机变量的分布函数有什么意义？
答：分布函数}{)(x X P x F ≤=给出了随机变量X 的取值不大于实数x 的概率，而X 在任意区间21x X x ≤<上的概率也可用分布函数表出，即
)()(}{1221x F x F x X x P -=≤<。

因此分布函数完整地描述了随机变量的统计规
律性。

另一方面，分布函数是一个普通函数，因此可以用高等数学课程中的理论和方法加以研究和分析，认识问题。

概率论与数理统计就是通过随机变量和分布函数两个工具来全面研究认识随机现象的统计规律性的。

3、连续型随机变量的dx x f )(与离散型随机变量的k p 在概率中的意义是否相同？
答：相同。

在离散型随机变量X 中，随机变量X 的取值点是离散的点，k
p 是X 取某一k x 时的概率。

而在连续型随机变量X 时，X 取某一x 时的概率为零；在小区间],[dx x x +上的概率为⎰
+=dx x x
dt t f P )(，由定积分中值定理有
dx x f P ⋅≈)(。

当对连续型随机变量离散化时，dx x f )(与k p 的意义是相同的，同
样描述了随机变量的分布情况。

4、为什么0}{==a X P 不能说明X =a 是不可能事件？
答：因为，若0}{==a X P ，则有两种可能。

对离散型随机变量，0}{==a X P 时，X =a 必然是不可能事件，但是，对连续型随机变量，任一点上的概率都等于零，这由dx x f dx x X x P ⋅≈+≤<)(}{，当0→dx 时，0→P 可以得知，所以
0}{==a X P 不能说明X =a 是不可能事件
5、不同的随机变量，它们的分布函数是否一定不同？
答：否，可以相同。

例如，进行投篮试验时，可以令⎩⎨⎧-=没中投中111X ，或⎩⎨⎧-=没中
投中112X ，1X 与2X 是两个不同的随机变量，表现为对应法则的不同。

但是它们有相同的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=1
1
112
110)(x x x x F。