2005年广东高考数学(理科)

2005年高考数学广东卷试题及答案

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1．若集合}03|{},2|||{2=-=≤=x x x N x x M ，则M ∩N=

（ ）

A ．{3}

B ．{0}

C ．{0，2}

D ．{0，3}

2．若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则2

2

b a += （ ）

A ．0

B ．2

C ．2

5

D ．5

3．9

3

lim 23-+-→x x x =

（ ）

A ．6

1-

B ．0

C ．

6

1 D ．

3

1

4．已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三[来源:] 角形（如图1所示），则三棱锥B ′—ABC 的体积为（ ）

A ．

4

1

B ．

2

1 C ．

6

3 D ．

4

3 5．若焦点在x 轴上的椭圆

122

2=+m

y x 的离心率为21，则m=（ ）

A ．3

B ．

2

3

C ．

3

8 D ．

3

2 6．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为 （ ） A ．),2(+∞

B ．)2,(-∞

C ．)0,(-∞

D ．（0，2）

7．给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题：

①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；

②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；

④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂ 其中为假命题的是 （ ）

A ．①

B ．②

C ．③

D ．④

8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2=Y X 的概率为（ ）

如图1

A ．

61

B ．

36

5 C ．

121 D ．2

1 9．在同一平面直角坐标系中，函数)(x f y =和)(x g y =的图象关于直线x y =对称. 现将)(x g y =的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线（如图2所示），则函数)(x f 的表达式为（ ）

A ．⎪⎩⎪

⎨⎧≤<+≤≤-+=20,2201,22)(x x x x x f

B ．⎪⎩⎪

⎨⎧≤<-≤≤--=20,2201,22)(x x x x x f

C ．⎪⎩⎪

⎨⎧≤<+≤≤-=42,1221,22)(x x x x x f

D ．⎪⎩⎪

⎨⎧≤<-≤≤-=42,32

21,62)(x x x x x f

10．已知数列===+==∞→--12112,2lim .,4,3),(2

1

,2}{x x n x x x x x x n n n n n n 则若满足 （ ）

A ．

2

3

B ．3

C ．4

D ．5

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 11．函数x

e

x f -=

11)(的定义域是 .

12．已知向量,//),6,(),3,2(x 且==则x = . 13．已知5

)1cos (+θx 的展开式中2

x 的系数与4

)4

5(+

x 的展开式中x 3的系数相等，则θcos = .

14．设平面内有n 条直线（n ≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同

一点.若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f = ；当n>4时， )(n f = .（用n 表示）

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）[来源:]

如图2

化简),,)(23

sin(32)2316cos()2316cos(

)(Z k R x x x k x k x f ∈∈++--+++=π

ππ并求函数)(x f 的值域和最小正周期.[来源:] 16．（本小题满分14分）

如图3所示，在四面体P —ABC 中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段PB 上一点，3417

15

=

CF ，点E 在线段AB 上，且EF ⊥PB. （Ⅰ）证明：PB ⊥平面CEF ； （Ⅱ）求二面角B —CE —F 的大小.

[来源:]

17．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系x Oy 中，抛物线y=x 2上异于坐标原点O 的两不同动点A 、B 满

足AO ⊥BO （如图4所示）.

（Ⅰ）求△AOB 的重心G （即三角形三条中线的交点）的轨迹

方程；

（Ⅱ）△AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

18．（本小题满分12分）

箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为s:t.现从箱中每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续从箱中任意取出一个球，但取球的次数最多不超过n 次，以ξ表示取球结束时已取到白球的次数.

（Ⅰ）求ξ的分布列； （Ⅱ）求ξ的数学期望. 19．（本小题满分14分）

设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f （Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；

（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.