多元不等式问题的解法探究

多元不等式问题解法探究

（江西于都三中 蔡家禄）

方程（组）可以用来求某字母的数值，而不等式（组）通常用来求某字母的取值范围，解方程（组）一般具有程序化操作模式，比如解一元一次方程的步骤一般是先把小数化为整数，再通过去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1等步骤就可得到未知数的值（即方程的解），其解题思路非常清晰，只要严格按照步骤操作，通常都能正确求解；而解不等式（组）通常更需要思辨意识，很多题不能单纯模仿获解，需要结合题意认真分析，细心揣摩，才能正确求解.尤其是当题中出现多个未知数时，更需挖掘题中隐含信息，抽丝剥茧，方能获得解题思路，现举例说明.

一、由一个方程和一个不等式组成的题

例1、已知x 、y 满足23,35(1)

x y x y +=⎧⎨+>-⎩，求x 、y 的取值范围.

分析：不等式中含有两个字母，无法直接求得其解集，若能想办法消去一个未知数，则得到一元一次不等式，就能求得其取值范围.消元的方法通常有代入消元和加减消元两种方法，显然此处适合于代入消元. 解：由23x y +=得32y x -=，将32y x -=代入35(1)x y +>-得335(1)2

y y -+>-，解之得1911y <；同理我们可求得711

x >. 例2、某工厂需把n 件货物运送到A 、B 、C 三个地方，运费分别为30、8、25元/件，已知运到C 地的数量是运往A 地的2倍.当总运费为5800元时，求n 的最小值是多少？

解：设运往A 地的数量为x 件，则运往C 地的数量为2x 件，运往B 地的数量为(n -3x )件，由题意得308(3)505800x n x x +-+=，化简得7725x n +=.

评：做到此处好象“山穷水尽”了，要求“n 的最小值”通常应知道n 的取值范围或说要有“不等式”，那么题中藏着的不等关系是什么呢？由x 、n 都表示货物的件数，可知0,x >20,30x n x >->，且x 、n 都为自然数.想到这我们就可以往下做了.

∵30n x ->,把7257n x =-得725100x ->，解得72.5x <.

又∵n 随x 的增大而减小，且x 、n 都为自然数，∴当x =72时，n 最小=725772221-⨯=.

思考：我们能不能先消去x ，得到n 的不等式而直接求出n 的最小值呢？有兴趣的读者可以自己做一做.

做完有什么发现？我们消去x ，得到n 的不等式为725307

n n --⨯>，解得217.5n >. 那么的n 的最小值是218吗？显然不是！那问题出在哪里呢？

对比7257n x =-和7257n x -=

我们可以发现，对于7257n x =-，当x 取整数时，n 一定是整数，而对于7257

n x -=，当n 取整数时，x 未必是整数，即218n =时，x 不是整数，故n 的最小值不是218，应该是取能保证x 是整数的最小整数221.

二、含多个字母的不等式（组）的问题

例3、如果关于x 的不等式(2)50a b x a b -+->的解集为107

x <，求关于x 的不等式ax b >的解. 分析：此题已知一个不等式的解集，要求另一个不等式的解集，题中含有常量字母a 、b 和变量字母x ,让人感觉无从入手.根据解一元一次不等式的一般思路可知，先将不等式移项得(2)5a b x b a ->-，接

下来“化系数为1”——在不等式的两边同除以2a b -，由于2a b -的值会随着a 、b 的变化而变化，即其值可能为正，也可能为负，由不等式性质“当不等式两边同除以一个负数时，不等号的方向须改变”，结合题目条件“此不等式的解集为107x <

”，可知20a b -<，且51027

b a x a b -<=-.至此，又形成了“一个方程与一个不等式结合”的题型，整理方程得35

b a =，35b a =，将35b a =代入20a b ->得0a <.∴不等式ax b >的解集为35b x a <=. 解：移项得(2)5a b x b a ->-. ∵此不等式的解集为107x <

,∴20a b -<,51027

b a x a b -<=-. 由51027b a a b -=-得35

b a =，35b a =. 将35b a =代入20a b ->得3205

a a -<,解得0a <. ∴不等式ax

b >的解集为35

b x a <=. 例4、当25x ≤≤时，恒有230ax -<，求a 的取值范围. 分析：此题也可看成两个不等式组合的题型.

解法1：（把230ax -<看成关于x 的不等式）

移项得23ax <.

（1）当20a >时，32x a <

. 又∵25x ≤≤，∴

352a >.（即32a 比2～5的数大，显然32a 须大于5） 解得310

a <. 即3010

a <<； （2）当20a =时，01x <,显然成立，

即0a =；

（3）当20a <时，32x a

>. 又∵25x ≤≤，∴322a <.（即32a 比2～5的数小，显然32a

小于2） 解得34

a <. ∴0a <；

综上所述，a 的取值范围为310

a <. 解法2：（把230ax -<看成关于a 的不等式）

移项得23ax <.

∵25x ≤≤，∴20x >.

系数化为1，得32a x

<.

由25x ≤≤可得

3331024

x ≤≤. ∴a 的取值范围为310a <. 解法3：（用一次函数的观点求解，画图像分析）

令23y ax =-，则本题可理解为当自变量x 取值为25x ≤≤时所对应的函数y 的值小于0.过y 轴上的点(0,3)-任

作直线，经分析发现：当直线23y ax =-经过点（5，0）时，恰好有25x ≤<时y <0（此处点（5，0）为界点）,将（5，0）代入23y ax =-得1030a -=，解得310a =.又当a 增大时，直线23y ax =-绕点(0,3)-逆时针旋转，当a 减小时，直线23y ax =-绕点(0,3)-顺时针旋转，显然只有当直线23y ax =-绕点(0,3)-顺时针旋转时才能保证25x ≤≤时所对应的函数值y <0.故a 的取值范围为310a <

.