反比例函数与几何图形的面积问题

面积性质（二）
y
y
B
P(m,n)
A
B
P(m,n) A
o
x
o
x
k 练习 2.如图 , P是反比例函数y 图像上的一点 ,由P分别 x 向x轴, y轴引垂线 , 阴影部分面积为 3, 则这个反比例 函数的解析式是____.
解:由性质(2)可得
S矩形APCO | k |, | k | 3.
又图像在二 ,四象限,
y
A S1 B
C
o
S2 S3 A1 B1 C1
x
交点问题：
• 1、与坐标轴的交点问题： 无限趋近于x、y轴， 与x、y轴无交点。 • 2、与正比例函数的交点问题： 可以利用反比例函数的中心对称性。 • 3、与一次函数的交点问题： 列方程组，求公共解，即交点坐标。
8 例 3.已知如图 , 反比例函数y 与一次函数y x 2的图像 x 交于A, B两点 .求(1) A, B两点的坐标 ; ( 2)AOB的面积 .
C_ . RtΔOC D的面积为 S 2 , 则_ _ A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1 = S2 D.S1和S2的大小关系不能确定.
由上述性质1可知选C
o
S2
S1
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A
B
x
C
D
1 练习7.如图, 在y ( x 0)的图像上有三点 A, B, C , x 经过三点分别向 x轴引垂线, 交x轴于A1 , B1 , C1三点, 边结OA, OB, OC, 记OAA 1 , OBB 1 , OCC1的
y
A.S = 1 C.S = 2
B.1<S<2 D.S>2
o
A
解:由上述性质(3)可知, S△ABC = 2|k| = 2
x
B
C
练习6 .(武汉市2 0 0 0 年) 1 如图:A、C是函数 y 的图象上任意两点， x 过A作作 轴的垂 线, 垂足为B.过C作作 轴的垂线,
y
垂足为D.记RtΔAOB的面积为 S1 ,
A. 面积分别为S1 , S 2 , S3 , 则有 __ A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
解:由性质(1)得
1 1 1 1 S AOA1 | k | , S BOB1 | k | , 2 2 2 2 1 1 S OOC 1 | k | , 即S1 S 2 S 3 , 故选A. 2 2
1 【例 24 】 如图 261，点 A 在双曲线 y＝x上，点 B 在双曲 练习 3 线 y＝x 上，且 AB∥x 轴，C，D 在 x 轴上，若四边形 ABCD 的
面积为矩形，则它的面积为________．
图 26-1 解析：延长 BA 与 y 轴相交于点E，则矩形OCBE 的面积为 3，同理矩形 ODAE 的面积为 1，所以矩形 ABCD 的面积为2.
想一想
y P(m,n) o A x
若将此题改为过P点 作y轴的垂线段,其结 论成立吗?
y A o P(m,n) x
S OAP
1 1 1 OA AP | m | | n | | k | 2 2 2
试一试
k 练习1.如图,点P是反比例函数 y 图象上 x
的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为2，则 k= 4 .
y
P (m,n)
o
D
x
探究1：反比例函数与矩形的面积
6 例2.如图 , P是反比例函数y 图像上的 x 一点,由P分别向x轴, y轴引垂线 , 阴影 y 部分面积为__________ ___.
P
C
A
o x
(2)过P分别作x轴 , y轴的垂线 , 垂足分别为A, B,
则S
矩形OAPB
OA AP | m | | n || k | (如图所示).
8 y , 解 : (1) x y x 2.
x 4, x 2, 解得 或 y 2; y 4.
y A
N M O
B
x
A(2,4), B(4,2).
1. k 如图 : RtABO的顶点A是双曲线y 与直线y －x (k 1) x 3 在第二象限的交点 , AB x轴于点B, 且S ABO , 2 (1)求这两个函数的解析式 ; (2)求直线与双曲线的两个 交点A, C的坐标和AOC的面积.
P
y
C
k 3
3 解析式为 y . x
A
o
x
3 43 ．如图 263，点 A，B 是双曲线 y＝x上的点，分别经过 A、 练习
4 B两点向x轴、y轴作垂线段，若S阴影＝1，则S1＋S2＝_____.
图 26-3 解析：由k的几何意义知，S1＋S阴影＝3，所以S1＝3－1＝2. 同理，得S2＝2.
答案：2
(3)设P ( m, n)关于原点的对称点是 P ( m,n), 过P作x轴的垂线 与过P作y轴的垂线交于A点 ,则
S 1 | APAP | 1 | 2m| | 2n| 2 | k | (如图所示). ΔPAP 2 2
y
面积性质（三）
P(m,n)
o
x
P/ A
y
y
P(m,n)
P(m,n)
o x
P/ P/
o x
以上几点揭示了双曲线上的点构成的几 何图形的一类性质.掌握好这些性质,对 解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象 限为例).
1 练习5.如图, A, B是函数y 的图 像上关于 原点O对称 x 的任意 两点 AC平行y轴 , B C平行x 轴 ,Δ Δ AB C 面积为 S ,则___. C
探究1：反比例函数与三角形的面积
• 例1. 如图，点A在反比例函数
图象 上，AB垂直于x轴，垂足为B.求⊿OAB的 面积。 y 解：设A点坐标为（x，y）， A 8 y ∵点A在 x 图象上 ∴xy=-8，︱xy︱=8 B o x ∴ S 1 OB AB 1 | x || y | 1 xy 4
AOB
8 y x
2
2
2
面积性质 1 1 1 SOAP OA AP | m | | n | | k | （一）
2 2 2
y P(m,n) P(m,n) o A x o A x y
k 设P(m, n )是 双 曲 线 y (k 0)上 任 意 一 点 ,有 : x (1)过P作x轴 的 垂 线 ,垂 足 为 A, 则