运筹学-整数规划指派问题
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《运筹学》之整数规划
…
Bn
…
X1n
…
X2n
……
…
Xnn
指派问题：分配要求
分配 B1 B2 … Bn 工作数
A1
X11
X12
… X1n
∑X1j
A2
X21
X22
… X2n
∑X2j
…
…
…
……
…
An 人数 要求
Xn1 ∑Xi1 1
Xn2 ∑Xi2 1
… Xnn … ∑Xin …1
∑Xnj
要求 1 1
… 1
指派问题：模型
n n
X1 1
P1:(1,9/10 X2 2 X2 3 P12: (0,3) Z=9
原问题的最优解（1，2） Z=10。
指派问题
设有n 个人A1, A2, …An,要分派去做n件事B1, B2… Bn,要求每一件事都 必须有一个人去做,而 且不同的事由不同的人去做.已知每个人Ai做每 件事Bj的效率(如劳动工时或成本,或创造的价值 等)为Cij,问应如何进行指派(哪个人做哪件事),才 能使 工作效益最好(如工时最少,或成本最低,或 创造的价值最大)?
乙
19 23 22 18
丙
26 17 16 19
丁
19 21 23 17
指派问题：思考问题
1、人数比工作数多怎么处理？ 2、人数比工作数少，模型会怎
样变化? 3、计算机求解方法？
特殊约束的处理
➢互斥约束 ➢矛盾约束 在建立数学模型时，有时会遇到相 互矛盾的约束，模型只要求其中的 一个约束起作用。
12 8
x5
6 相机
2 4
x6
7 设备
4 10
x7
整数规划-案例1-指派问题
i 1 j 1
3
4
4
故模型为： min z
ci Βιβλιοθήκη 1 j 144ij
xij
4 xij 1, i 1,2,3,4 j 1 4 xij 1, j 1,2,34 i 1 xij 0 or 1(i, j 1,2,3,4)
设ijx表示第i个人去完成第j项任务则????项任务时个人不去完成第当第项任务时个人去完成第当第jijixij01?项任务时个人不去完成第当第ji0每个人去完成一项任务的约束为????????????1112423222114131211xxxxxxxx每一项任务必有一人完成的约束
3.指派问题：现在不妨设有4个人，各有能力
记 系 数 矩 阵 为
2 15 11 4 10 4 14 15 cij 9 14 16 13 7 8 11 9
称其为效益（价值）矩阵.
cij 表示第 i 个人去完成 第 j 项任务时有关的效
益 （时间、 费用、 价值等） 。 则目标函数可表示为
min z cij xij
4
用lingo求解后，可知让甲去完成任 务D，乙完成任务B，丙完成任务A， 丁完成任务C，所用时间最少为28.
5
x11 x 21 x31 x 41 1 x x x x 1 12 22 32 42 x13 x 23 x33 x 43 1 x14 x 24 x34 x 44 1
2
目标函数：
min z 2 x11 15x12 13x13 4 x14 10x21 4 x22 14x23 15x24 9 x31 14x32 16x33 13x34 7 x41 8 x42 11x43 9 x44
3
4
4
故模型为： min z
ci Βιβλιοθήκη 1 j 144ij
xij
4 xij 1, i 1,2,3,4 j 1 4 xij 1, j 1,2,34 i 1 xij 0 or 1(i, j 1,2,3,4)
设ijx表示第i个人去完成第j项任务则????项任务时个人不去完成第当第项任务时个人去完成第当第jijixij01?项任务时个人不去完成第当第ji0每个人去完成一项任务的约束为????????????1112423222114131211xxxxxxxx每一项任务必有一人完成的约束
3.指派问题：现在不妨设有4个人，各有能力
记 系 数 矩 阵 为
2 15 11 4 10 4 14 15 cij 9 14 16 13 7 8 11 9
称其为效益（价值）矩阵.
cij 表示第 i 个人去完成 第 j 项任务时有关的效
益 （时间、 费用、 价值等） 。 则目标函数可表示为
min z cij xij
4
用lingo求解后，可知让甲去完成任 务D，乙完成任务B，丙完成任务A， 丁完成任务C，所用时间最少为28.
5
x11 x 21 x31 x 41 1 x x x x 1 12 22 32 42 x13 x 23 x33 x 43 1 x14 x 24 x34 x 44 1
2
目标函数：
min z 2 x11 15x12 13x13 4 x14 10x21 4 x22 14x23 15x24 9 x31 14x32 16x33 13x34 7 x41 8 x42 11x43 9 x44
运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
在0-1规划问题中，遗传算法通过模拟生物进化过程中的基因突变、交叉 和选择等过程来寻找最优解。算法从一个初始种群出发，通过不断迭代 进化，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
第4章整数规划——指派问题
4 指派问题
解： 可行解｛c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0｝是一个独立零元素组， c12=0， c24 =0， c31 =0， c43 =0分别称 为独立零元素； ｛c12=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝也 是一个独立零元素组，而｛c14=0， c23 =0， c31 =0， c44 =0｝就不是独立零元素 组.
4 指派问题
1）对新矩阵中所有不含“*”元素的行打√ ； 2）对打√的行中，所有打×零元素所在的列打√； 3）对所有打√列中标记“*”元素所在行打√； 4）重复上述2），3）步，直到不能进一步打√为止； 5）对未打√的每一行划一直线，对已打√的每一列划一纵线， 即得到覆盖当前0元素的最少直线数。 第四步：对矩阵未被直线覆盖过的元素中找最小元素，将打 √行的各元素减去这个最小元素，将打√列的各元素加上这个最小 元素（以避免打√行中出现负元素），这样就增加了零元素的个 数，返回第二步。 【例5】 求解例1和例2
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
0 , 不 指 派 Ai 承 建 商 店 B j x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ,5 ) 1, 指 派 Ai 承 建 商 店 B j
第5章 整数规划(工作指派问题)
36
2. “圈0”：
0 10 16 13 6 0 6 3 2 13 13 0 12 2 0 4
37
可以看到，打圈的0的个数为4，正好是矩阵 的阶数。从而得最优解：
• x11=1,x22=1,x34=1,x43=1
相应地，要使机器发挥的总效率最大，我们 应做如下安排：
• • • • 机器A1安排在工地B1； 机器A2安排在工地B2； 机器A3安排在工地B4； 机器A4安排在工地B3。
0
11 2 0
8
0 3 11
2
5 0 4
5
4 0 5
0 11
2 0
8 0
3 11
2 5
0 4
5ห้องสมุดไป่ตู้4
0 5
10
如果在效率系数矩阵中，位于不同行不同 列的零元素的个数与效率系数矩阵(cij)n×n 的阶数n相同，则只要令对应于这些零元 素位置的xij=1，其余的xij=0 ，则此解就 是问题的最优解。
0 0 0 1
为什么只圈出 三个0？？？
30
匈牙利法求工作指派问题步骤小结
1. 2. 3. 4. 5. 6. 列表 约简（包括行约简和列约简） 圈0（也是检验最优解的过程） 画线（画0元素的最少覆盖线） 增0（矩阵变换） 重复3～5（必要的话）
31
求极大值的匈牙利法（P131）
当目标函数为求极大值时，不能用通常改变 系数的符号而成为极小化问题的办法求解， 即如果指派问题的目标函数为： Max z=ΣΣcijxij 我们不能用求解 Min z’=-ΣΣcijxij 的办法来解剖原问题。因为匈牙利法要求效 率系数矩阵的每个元素都是非负的。
3. xij=1 或 0
运筹学第5章：整数规划
1 xj 0 对项目j投资 对项目j不投资 （j 1， ，n） 2，
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
则问题可表示为：
max z c j x j
j 1 n
n a j x j B j 1 x1 x2 0 s.t. x3 x4 1 x x x 2 7 5 6 x j 0或1 j 1,2, , n 【例5-3】工厂A1和A2生产某种物资，由于该种物资供不应 求，故需要再建一家工厂，相应的建厂方案有A3和A4两个。这 种物资的需求地有B1、B2、B3、B4四个。各工厂年生产能力、各 地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费cij(j=1,2,3,4) 见表5-2。
三、割平面法的算法步骤
步骤1：将约束条件系数及右端项化为整数，用单纯形法求 解整数规划问题(ILP)的松弛问题(LP)。设得到最优基B，相应 的基最优解为X*。 步骤2：判别X*的所有分量是否全为整数？如是，则X*即为 (ILP)的最优解，算法终止；若否，则取X*中分数最大的分 量 x * ，引入割平面(5.7)。
表5-2
Ai cij A1 A2 Bj B1 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 生产能力 (千吨/年) 400 600
A3
A4 需求量(千吨/年)
7
4 350
6
5 400
1
2 30025 150200200工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或 1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年 的总费用(即全部物资运费和新工厂生产费用之和)最少。
一般来说，整数线性规划可分为以下几种类型：
1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming)： 指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划，也称为全整 数规划。 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming)：指决策变量中一部分必须取整数值，而另一部 分可以不取整数值的整数线性规划。 3. 0-1整数线性规划(Zero-one Integer Linear Programming)：指决策变量只能取0或1两个值的整数线性规划。
整数规划指派问题
丙
9
14
16
13
丁
7
8
11
9
§5 指派问题
Assignment Problem
有n项任务，分派给n个人承担，每人承担一项。
第i 人完成第j 项任务的花费(时间或费用等)为cij， 如何分派使总花费最省？
nn
minz cijxij
第j项工作只由 一个人完成
i1 j1
n
xij 1
( j 1,,n)
i1
4 增加0元素的个数，但不出现负元素
设无直线覆盖的元素中最小的元素为a，对 所有打“√”的行中各元素减去a； 所有打“√”的列中各元素加上a。
再重新试派，直至得到最优解。
整理ppt
8
例8．求表中所示效率矩阵的指派问题的最小解。
任务 A
B
C
D
E
人
甲 12
7
9
6
6
6
丙
7
17 12 14
9
丁 15 14
§5 指派问题
Assignment Problem
例 有一份中文说明书，需译成英、日、德、俄四 种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、乙、丙、 丁四人，他们将中文说明书翻译成不同语种的说明书 所需时间如下表。问应指派何人去完成何工作，使所 需总时间最少？
任务
人员
E
J
G
R
甲
2
15
13
4
乙
10
4
14
15
经行运算即可得每行每列都有 0 元素的系数矩阵，
试派：
5 0 2 0 2
2
3
0
0
0
0 10 5 7 2
第五讲-整数规划与指派问题_图文
固定成本及总运输费用最小的目标为
产量限制约束条件：
销量限制约束条件： （2）增加约束条件
二、整数规划的求解方法概述
整数线性规划，是要求整数解的线性规划， 包括上班的人数、设备的台数、材料的件数等 。
问题：
最优整数解是否可以对非整数 解进行四舍五入法或者去尾法呢？
线性规划的最优解为： 整数规划的最优解为：
同解变化
四、匈牙利解法（续）
定理：覆盖一个方阵内所有0元的最小直线数 等于该阵中位于不同行、列的0元的最多个数 ；
基本思想（反复应用同解变换）
成本矩阵（效益矩阵）的每一行及每一列减去该行或列的 最小数，使每行每列至少有一个0，假如能够从中找出n个位 于不同行、列的0元，则为最优阵，对应最优解。
设
分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学
规划模型如下：
一、整数规划的案例（续 ）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
资源
小号容器
中号容器
大号容器
金属板
2
4
8
劳动力
2
34Biblioteka 机器设备12
3
不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润
三、指派问题
指派问题（Assignment problem）
又称分配问题，研究如何给n个人（或单位） 分配n项工作，使得完成全部工作所消耗的总资 源（时间、费用）最少。
s.t.
例：有一份中文说明书，需译成英、日、德、 俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、 乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不 同语种的说明书所需时间如表所示。问应指派 何人去完成何工作，使所需总时间最少?
产量限制约束条件：
销量限制约束条件： （2）增加约束条件
二、整数规划的求解方法概述
整数线性规划，是要求整数解的线性规划， 包括上班的人数、设备的台数、材料的件数等 。
问题：
最优整数解是否可以对非整数 解进行四舍五入法或者去尾法呢？
线性规划的最优解为： 整数规划的最优解为：
同解变化
四、匈牙利解法（续）
定理：覆盖一个方阵内所有0元的最小直线数 等于该阵中位于不同行、列的0元的最多个数 ；
基本思想（反复应用同解变换）
成本矩阵（效益矩阵）的每一行及每一列减去该行或列的 最小数，使每行每列至少有一个0，假如能够从中找出n个位 于不同行、列的0元，则为最优阵，对应最优解。
设
分别为甲、乙两种货物托运的件数，其数学
规划模型如下：
一、整数规划的案例（续 ）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
资源
小号容器
中号容器
大号容器
金属板
2
4
8
劳动力
2
34Biblioteka 机器设备12
3
不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润
三、指派问题
指派问题（Assignment problem）
又称分配问题，研究如何给n个人（或单位） 分配n项工作，使得完成全部工作所消耗的总资 源（时间、费用）最少。
s.t.
例：有一份中文说明书，需译成英、日、德、 俄四种文字。分别记作E、J、G、R。现有甲、 乙、丙、丁四人。他们将中文说明书翻译成不 同语种的说明书所需时间如表所示。问应指派 何人去完成何工作，使所需总时间最少?
管理运筹学第四章整数规划与指派问题 ppt课件
资源
小号容器
金属板（张）
2
劳动力（个）
2
机时（小时）
1
中号容器 大号容器 资源拥有量
4
8
500
3
4
300
2
3
100
利润
4
5
6
11
解：设x1 , x2 , x3分别表示小、中、大号容器的生产数量， M为很大的正数，z表示总利润
引入逻 辑变量
yj 10,,
xj 0 xj 0
j1,2,3
m ax z 4 x1 5 x2 6 x3 100 y1 150 y2 200 y3
32
分枝的方法
max z CX
AX b
s.t.
X
0,
X为整数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0,
X为
整
数
m ax z CX
AX b
s .t . x r b r
X
0, X 为 整 数
33
定界的方法
当前得到的最好整数解的目标函数值 分枝后计算放松的线性规划的最优解
.t
.
X
0
如果最优解x
i中某个分量
x
0 i
非整
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ]
max z CX
AX b
s.t
.
X 0
X为整数向量
xi [ xi0 ] 1
26
分枝定界法的两个要点：分枝和定界 ☺如何定界？ • 整数规划ILP的最优解不会优于松弛LP的最优解； • 对极大化问题来说，松弛 LP 的目标函数最优值是原
运筹学-整数规划(二)(名校讲义)共23页文档
§1 匈牙利法 （1）
匈牙利法主要解决指派问题，指派问题是一种特殊的 “0 1”规划。 例如指派授课问题，现有A、B、C、D四门课程，需由 甲、乙、丙、丁四人讲授，并且规定： 每人只讲且必须讲１门课。 每门课必须且只需１人讲。 四人分别讲每门课的费用示于表2-3中：
§1 匈牙利法 （2）
表2-3 授课费用表
未做标记的零元素标Δ后，应对同一列其它的零元素画
×。
8 2 5
11 5
4
2 3 0 0
11 4
5
§1 匈牙利法 （10）
现在依次检查每列中只含一个未标记的零元素，并给未
标记的零元素标Δ。对同一行其它的零元素画×（如果
有的话）。
8 2 5
11
5
4
2 3
11 4
5
如果有多行多列同时有2个或以上的未标记零元素，则 可将其中的任意行或列中一个未标零元素标Δ，并将同 行和同列的其他零元素画×。
5 4
3
11
4
5 √
√
§1 匈牙利法 （14）
⑥在上述最后的缩减矩阵中，检查那些没有线通过的元 素。设k为其中最小元素。找出含有未画线元素的各行， 将这些行的每个元素减去k。本例中，k=2，因而由第1 行、第4行减去2，可得
2 6 0 3
11
0
5
4
2 3 0 0
2
1) 修改费用矩阵，使矩阵的每一行和第一列至少出现1 个零元素，处理方法即为每行（每列）都减去该行（列） 的最小元素。
§1 匈牙利法 （8）
2 10 9 7
0 8 7 5
15
4
14
8
13 14 16 11
4
匈牙利法主要解决指派问题，指派问题是一种特殊的 “0 1”规划。 例如指派授课问题，现有A、B、C、D四门课程，需由 甲、乙、丙、丁四人讲授，并且规定： 每人只讲且必须讲１门课。 每门课必须且只需１人讲。 四人分别讲每门课的费用示于表2-3中：
§1 匈牙利法 （2）
表2-3 授课费用表
未做标记的零元素标Δ后，应对同一列其它的零元素画
×。
8 2 5
11 5
4
2 3 0 0
11 4
5
§1 匈牙利法 （10）
现在依次检查每列中只含一个未标记的零元素，并给未
标记的零元素标Δ。对同一行其它的零元素画×（如果
有的话）。
8 2 5
11
5
4
2 3
11 4
5
如果有多行多列同时有2个或以上的未标记零元素，则 可将其中的任意行或列中一个未标零元素标Δ，并将同 行和同列的其他零元素画×。
5 4
3
11
4
5 √
√
§1 匈牙利法 （14）
⑥在上述最后的缩减矩阵中，检查那些没有线通过的元 素。设k为其中最小元素。找出含有未画线元素的各行， 将这些行的每个元素减去k。本例中，k=2，因而由第1 行、第4行减去2，可得
2 6 0 3
11
0
5
4
2 3 0 0
2
1) 修改费用矩阵，使矩阵的每一行和第一列至少出现1 个零元素，处理方法即为每行（每列）都减去该行（列） 的最小元素。
§1 匈牙利法 （8）
2 10 9 7
0 8 7 5
15
4
14
8
13 14 16 11
4
06运筹学教案(整数规划与指派问题)
第一步：变换目标函数和约束方程组
B1 A1 A2 2 8 B2 9 3 B3 3 5 B4 4 7 年生产能力 400 600
A3
A4 年需求量
7
4 350
6
5 400
1
2 300
2
5 150
200
200
23
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为 1200万或1500万元。现要决定应该建设工厂A3还是 A4，才能使今后每年的总费用最少。 解：由于事先不知选择A3还是A4，故可引入0，1 决策变量表述。
即
17
用上述方法构造的线性规划问题的割平面具有 P51两个性质。 4.3.3 割平面法求解整数规划问题的计算步骤： 一、求解其伴随规划问题 若得到整数最优解则终止，否则，选择任一不取 整数的基所在约束行构造割平面方程 二、将此约束标准化，加到最优表中，整理得 一可用对偶单纯形法求解的计算表 三、用对偶单纯形法求解 转一步。 详细见P51~P53例子。
28
y y
i 1
i
i
求解方法： （1）穷举法：以各种组合情况代入约束，计算 约束成立的组合解的目标函数，并得到最优解， 但此法因计算量太大而无效。 （2）各种隐枚举法：增加过滤（约束）条件， 隐去大量不满足过滤条件的组合，减少枚举数量 的方法。
以下介绍一种方法
29
按目标值从优到劣依次列出组合，逐个检验其 可行性，最先满足所有约束据条件的组合为最优解 ，劣于最优解的组合，即使可行，也不列出检验， 隐去。
max z 3 x1 2 x2 2 x1 3 x2 14 4 x 2 x 18 1 2 x1 , x2 0 x1 , x2为整数 (1) ( 2) (3) ( 4)
运筹学第五章 整数规划
2、0-1型变量常用来表示是否处于某个特定状态
例5.6
有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产 品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产品 生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划，使 总收益最大。
0-1型变量常用来表示两个选项中非此即彼的选择
例5.7 用4台机床加工3件产品。各产品的机床加工顺序，以及产品在机 床上的加工工时见下表，且要求工件二的总工时不超过d。现要求确定 各件产品在机床上的加工方案,使在最短的时间内加工完全部产品.
A 甲 15 B 17 C 21 D 24
乙
丙 丁
19
26 19
23
17 21
22
16 23
18
19 17
解：令 xij=
1 若指派第i 人做第j 事 （i, j=1, …, n） 0 若不指派第i 人做第j 事
每个人只能完 成一项任务
满足约束条件的可行解 也可写成矩阵形式，称 为解矩阵。如例5.9的一 个可行解矩阵是:
每行减该行最小数
0 1 10 2
2 5 1 4
6 4 0 6
9 0 3 0
每列减该列最小数
0 1 10 2
1 4 0 3
6 4 0 6
产品1
产品2
产品3
a11 机床1 a21 机床1
a22 机床2 a32 机床2
a13 机床3
a33 机床3
a14 机床4 a24 机床4
xij表示第i种产品在第j台机床上加工的开始时间。 同一件产品在下一台机床上加工的开始时间不得早 1 同一 于在上一台机床上加工的结束时间 件产品 产品1：x11+a11x13 及 x13+a13x14 在不同 机床上 产品2：x21+a21x22 及 x22+a22x24 的加工 产品3：x32+a32x33 顺序
第五讲 整数规划及指派问题
1 当Ai 厂址被选中时 yi 0 当Ai 厂址没被选中时
固定成本及总运输费用最小的目标为
Min z 175y2 +300y3 +375y 4 +500y 5 +8x11 +4x12 +3x13 5x21 +2x22 3 x23 4 x31 3 x32 4 x33 9 x41 7 x42 5 x43 10 x51 4 x52 2 x53
B1 8 5 4 9 10 30
B2 4 2 3 7 4 20
B3 3 3 4 5 2 20
产量/千箱 30 10 20 30 40
运筹学（整数规划问题）
李琳 7
（1）应该在哪几个地方建厂，在满足销量前提 下，使得其总固定成本和总运输费用之和最小？ （2）由于政策要求必须在A2，A3 地建一个厂 ，应在哪几个地方建厂？ 解：设 xij 为从 Ai 运往 B j的运输量，
Max z 2 x1 3 x2
195 x1 273 x2 1365 4 x 40 x 140 1 2 x1 4 x1 , x2为整数
2018/11/12
运筹学（整数规划问题）
李琳 3
一、整数规划的案例（续）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
2018/11/12 运筹学（整数规划问题） 李琳 8
产量限制约束条件：
x11 x12 x13 30 x21 x22 x23 10 y2 x31 x32 x33 20 y3 x x x 30 y 42 43 4 41 x51 x52 x53 40 y5
固定成本及总运输费用最小的目标为
Min z 175y2 +300y3 +375y 4 +500y 5 +8x11 +4x12 +3x13 5x21 +2x22 3 x23 4 x31 3 x32 4 x33 9 x41 7 x42 5 x43 10 x51 4 x52 2 x53
B1 8 5 4 9 10 30
B2 4 2 3 7 4 20
B3 3 3 4 5 2 20
产量/千箱 30 10 20 30 40
运筹学（整数规划问题）
李琳 7
（1）应该在哪几个地方建厂，在满足销量前提 下，使得其总固定成本和总运输费用之和最小？ （2）由于政策要求必须在A2，A3 地建一个厂 ，应在哪几个地方建厂？ 解：设 xij 为从 Ai 运往 B j的运输量，
Max z 2 x1 3 x2
195 x1 273 x2 1365 4 x 40 x 140 1 2 x1 4 x1 , x2为整数
2018/11/12
运筹学（整数规划问题）
李琳 3
一、整数规划的案例（续）
案例2：固定成本问题
高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容 器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造 一个容器所需的各种资源的数量如下表：
2018/11/12 运筹学（整数规划问题） 李琳 8
产量限制约束条件：
x11 x12 x13 30 x21 x22 x23 10 y2 x31 x32 x33 20 y3 x x x 30 y 42 43 4 41 x51 x52 x53 40 y5
指派问题的算法
指派问题的算法分析与实现摘要在企业、公司的运营与管理中，管理者总是希望把人员最佳分派以发挥其最大工作效率，从而降低成本、提高效益。
然而，如果没有科学的方法是很难实现优化管理的，由此我们引入了指派问题。
指派问题多是求项目的工时最少，而很多情况下人们并不关心项目总工时的多少，而只关心项目能否在最短的时间内完成，即历时最少的指派问题。
这类问题研究的是n个人执行n项任务，执行每项任务的人数以及总的指派人项数均有限制，要求最优指派。
在运筹学中求解整数规划的指派问题通常是通过匈牙利算法来求解，但指派问题也可以归结为一个0-1整数规划问题，本文先对指派问题进行陈述，引出对实际问题的求解。
在指派问题的背景、描述中充分理解该问题，先运用匈牙利算法实现指派问题，然后再建立一个0-1整数规划模型，并运用matlab和lingo编译程序对问题进行编译，运用软件解决模型问题，最终实现指派问题在实际问题中的运用。
通过运用匈牙利算法和0-1整数规划同时对指派问题求解，我们发现用0-1整数规划的方法来求解可以更简单，也更方便程序的阅读和理解。
与此同时，我们还对0-1整数规划问题由整数数据深入研究到小数数据。
最后通过实例来说明运用matlab，lingo编译程序来解决整数规划问题的简便和有效性。
关键词：指派问题；匈牙利算法；0-1整数规划；matlab模型；lingo模型1. 问题陈述指派问题又称分配问题，其用途非常广泛，比如某公司指派n个人去做n 件事，各人做不同的事，如何安排人员使得总费用最少？若考虑每个职工对工作效率（如熟练程度等），怎样安排会使总销量达到最大？这些都是一个企业经营管理者必须考虑的问题，所以该问题有重要的应用价值。
假设有n 件工作分派给n 个人来做，每项工作只能由一人来做，每个人只能做一项工作。
若给出各人对各项工作所具有的工作效率。
问应该如何安排人选，及发挥个人特长又能使总的效率最大。
为此用0-1整数规划来实现指派问题即如何安排人选。
管理运筹学第四章整数规划与指派问题
货物运输路线选择案例
案例描述
某物流公司需要为其客户提供从起点到终点的货物运 输服务。在运输过程中，有多种可能的路线可以选择 ，每条路线都有不同的运输成本和时间。此外，客户 对货物的运输时间和成本也有一定的要求。
整数规划应用
该案例可以通过整数规划来解决。首先，将每条路线的 选择定义为整数决策变量，1表示选择该路线，0表示 不选择。然后，根据每条路线的运输成本和时间，构建 目标函数，即最小化总运输成本和时间。接下来，根据 客户的要求和路线的特点，构建约束条件，如运输时间 限制、成本限制和路线连通性等。最后，使用整数规划 求解算法，找到满足所有约束条件的最优路线组合，即 最小化总运输成本和时间的路线选择方案。
展望
未来，整数规划与指派问题将在更多领域得到应用和推广 ，为实际问题的解决提供更加有效的方法和工具。同时， 随着相关技术的不断发展，整数规划与指派问题的求解方 法将更加高效和精确，为相关领域的发展提供更加有力的 支持。
THANKS
感谢观看
要点一
Xpress
Xpress是一款功能强大的数学优化求 解器，适用于线性规划、整数规划等 多种问题。它提供了丰富的算法和工 具，支持大规模问题的求解和分析。
要点二
LINGO
LINGO是一款易于使用的数学优化建 模工具，具有直观的语法和丰富的函 数库。它可以帮助用户快速构建和求 解线性规划、整数规划等问题，并提 供详细的解决方案和报告。
原理
通过添加割平面约束条件，逐 步缩小问题的可行域，从而找 到整数最优解。
添加割平面
根据松弛问题的最优解，构造 一个割平面约束条件，添加到 原问题中。
迭代
重复添加割平面和求解新问题 的步骤，直到找到整数最优解 或确定无整数最优解为止。
运筹学-4-整数规划
运筹学
运 筹 帷 幄 之 中
第四章
整数规划
Integer Programming
决 胜 千 里 之 外
第四章 整数规划
本章主要内容：
整数问题规划及其数学模型
整数规划问题的求解
0-1型整数规划问题
指派问题
第四章 整数规划
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划（离散最优化）模型。 整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
例（背包问题）一个旅行者，为了准备旅行的必备物品， 要在背包里装一些有用的东西，但他最多只能携带b公 斤的东西，而每件物品都只能整件携带，于是他给每件 物品规定了一个“价值”，以表示其有用程度。如果共 有m件物品，第i件件物品的重量为bi，价值为ci，问题就 变成：在携带的物品总重量不超过b公斤的条件下，携 带哪些物品可使总价值最大?
第四章 整数规划
设xij 表示工厂 Ai 运往商店 B j的运量 解：
则总运费为
cij xij
i 1
j 1
m
n
数学模型：
min Z cij xij fi yi
i 1 j 1 i 1 m n m
1 设yi 0
在第i个地点建厂 不在第 i个地点建厂
m
则总建厂费为 f i yi
若Lk的最优值 Z k CX *i0 , 剪枝 若Lk的最优值 Z k CX *i0 ：
(1)最优解X *k 是整数解
将下界改为 CX *k , , 关闭Lk
(2)最优解 X *k 不是整数解
继续对Lk 分枝
运 筹 帷 幄 之 中
第四章
整数规划
Integer Programming
决 胜 千 里 之 外
第四章 整数规划
本章主要内容：
整数问题规划及其数学模型
整数规划问题的求解
0-1型整数规划问题
指派问题
第四章 整数规划
在很多场合，我们建立最优化模型时，实际问题要求决 策变量只能取整数值而非连续取值。此时，这类最优化 模型就称为整数规划（离散最优化）模型。 整数规划的求解往往比线性规划求解困难得多，而且， 一般来说不能简单地将相应的线性规划的解取整来获得。
例（背包问题）一个旅行者，为了准备旅行的必备物品， 要在背包里装一些有用的东西，但他最多只能携带b公 斤的东西，而每件物品都只能整件携带，于是他给每件 物品规定了一个“价值”，以表示其有用程度。如果共 有m件物品，第i件件物品的重量为bi，价值为ci，问题就 变成：在携带的物品总重量不超过b公斤的条件下，携 带哪些物品可使总价值最大?
第四章 整数规划
设xij 表示工厂 Ai 运往商店 B j的运量 解：
则总运费为
cij xij
i 1
j 1
m
n
数学模型：
min Z cij xij fi yi
i 1 j 1 i 1 m n m
1 设yi 0
在第i个地点建厂 不在第 i个地点建厂
m
则总建厂费为 f i yi
若Lk的最优值 Z k CX *i0 , 剪枝 若Lk的最优值 Z k CX *i0 ：
(1)最优解X *k 是整数解
将下界改为 CX *k , , 关闭Lk
(2)最优解 X *k 不是整数解
继续对Lk 分枝
运筹学试验：整数规划
《运筹学》上机实验报告三(整数线性规划)实验名称：利用Gomory割平面法编程求解整数规划问题；利用分枝定界法编程求解整数规划问题实验目的：1. 学会软件lindo/lingo的安装及基本的操作；2. 对实际问题进行数学建模，并学会用数学软件Matlab或运筹软件Lindo/Lingo 对问题进行求解。
实验内容：1．用lindo/lingo 计算（学会输入、查看、运行、结果分析）max z = 20x1 + 10x25x1 + 4x2 ≤ 242x1 + 5x2 ≤ 13x1,x2 ≥ 0x1,x2取整数2．(指派问题)现在有A 、B、C、D、E五种任务，要交给甲、乙、丙、丁、戊去完成，每人完成一种任务，每个人完成每种任务所需要的时间如下表。
问应该如何安排个人完成哪项任务可使总的花费的时间最少？(建立数学模型，用数学软件求解该问题，写出结果并对运行结果加以说明)A B C D E任务人甲127979乙89666丙717121412丁15146610戊41071063.选址问题某跨国公司准备在某国建三个加工厂，现有8个城市供选择，每个城市需要的投资分别为1200万美元、1400万美元、800万美元、900万美元、1000万美元、1050万美元、950万美元、150万美元，但投资总额不能超过3400万美元，形成生产能力分别为100万台、120万台、80万台、85万台、95万台、100万台、90万台、130万台，由于需求的原因，要求：城市1和城市3最多选1个，城市3、城市4、城市5最多选两个，城市6和城市7最少选1个，问选择哪些城市建厂，才能使总的生产能力最大？(建立数学模型，用数学软件求解该问题，写出结果并对运行结果加以说明)整数变量定义LinDo一般整数变量:GIN <Variable>0-1整数变量: INT <Variable>LinGo一般整数变量: @GIN( variable_name);0-1整数变量：@BIN( variable_name);例如（1）Lindo运算程序max 3 x1+5 x2+4 x3subject to2 x1+3 x2<=15002 x2+4 x3<=8003 x1+2 x2 +5 x3<=2000endgin x1gin x3（2） max z = 3x1 - 2x2 + 5x3x1 + 2x2 - x3 ≤ 2x1 + 4x2 + x3 ≤ 4x1 + x2 ≤ 34x2 + x3 < 6x1,x2,x3 = 0或1lingo程序：max =3*x1 – 2*x2 + 5*x3;x1 + 2*x2 - x3 <= 2;x1 + 4*x2 + x3 <= 4;x1 + x2 <= 3 ; 4*x2 + x3< 6; @bin(x1);@bin(x2);@bin(x3);。
运筹学整数规划指派问题
4 8 7 15 12 -4 7 9 17 14 7 -7
0 4 3 11 8 0 2 10 7 3
C
6
9 12
6
10
-6
0
3
6
2
1
6 7 14 8 10 -6
0 1 8 0 4
6
9
6
10
8
-6
0
3
6
4
0
-1 -3
✓
0 0
3 1
0 7
11 7
8 3
✓
C1
0
2
3
2
1
✓
0 0 5 0 4
这样安排能使总的建造费用最少，总的建造费用为 7+9+6+6+6=34（万元）。
三 非标准形式的指派问题
处理方法：化成标准形式，再按匈牙利方法求解。 ⒈ 目标函数最大化指派问题
例 有4名工人A1,A2,A3,A4分别操作4台机床B1,B2,B3,B4。每 人操作每台机床的单位产量见下表。求产值最大的指派方案。
在遇到所有行和列中，零元素都不止一个时，可任选其中 一个加圈，然后划去同行、同列其他未被标记的零元素。
例
5 0 2 0
C
2 0 0
3 0 8
0 6 0
0
7 0
步骤3： 若矩阵所有零元素都被标记的，但圈零的个数m < n ， 作最少直线覆盖当前零元素。
已知5家建筑公司承建5家商店系数矩阵
⒈变换系数矩阵
0 0 0 0 1
X
*
0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
0
0
1
0
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系数（或价值系数）。表示为
c11 c12 c1n
C
c21 cn1
c22 cn2
-
c2n
cnn
则指派问题的数学模型为
nn
minZ
cijxij
i1 j1
n
x ij 1
i 1,2, n
j1
s.t. n x ij 1 j 1,2 , n
i1
xij
0
或1
注：指派问题是一种特殊的LP问题，是一种特殊的运输问题。
A1
C
A A
2 3
A4
A5
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
4 8 7 15 12 7 9 17 14 7
6
9
12
6
10
6 7 14 8 10
6
9
6 10
8
-
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1
x ij
0
当 A i 承建 B j 时 当 A i 不承建 B j 时
则问题的数学模型为
第三节 0－1型整数规划
0－1变量： 在整数规划问题中，有一类特殊的整数规
划，不仅要求解为整数，而且要求只能取得0 和1两个整数值，这类整数规划称之为0－1型 整数规划，该类解称为0－1变量。
-
一 指派问题
由n项不同的工作或任务，需要n个人去完成（每人只 能完成一项工作）。由于每人的知识、能力、经验等 不同，故各人完成不同任务所需的时间（或其它资源） 不同。
m Z i 4 x 1 n 1 8 x 1 2 1 x 50 4 6 x 55
5
x ij 1
i 1,2, 5
j1
s.t. 5 x ij 1 j 1,2 , 5
i1
xij
0
或1
-
A1
CA 2
A3 A4 A5
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
4 8 7 15 12
7 9 17 14 7
6
9
12
6
10
6 7 14 8 10
6
9
6 10
8
如何分派工作?
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
X
*
0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
-
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A1
CA 2
A3 A4
4
7
6
6
8 9 9 7
7 17 12 14
15 14 6 8
12 7
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
7
0 3
-
例 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
2 15 13 4
C
10
9 7
4 14 8
注：当 cij=0 时，从第i行看，它表示第i人去干第j项工作效 率（相对）最好，而从第j列来看- ，它表示第j项工作让第i人 来干效率（相对）最高。
问题是：能否找到位于不同行、不同列的n个0元素？ 定义 在效率矩阵C中，有一组处于不同行、不同列的零元素， 称为独立零元素组，此时其中每个元素称为独立零元素。
i1 j1
i1 j1 ik
j1
nn
n
nn
n
n
cix jij (ck jt)xk j c ix jij ckx jk jt xkj
i 1j 1 i k
j 1
i 1j 1 i- k
j 1
j 1
nn
n
nn
n
n
cix jij (ck jt)xk j c ix jij ckx jk jt xkj
例 已知
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
7 0
则 { c 1 20 ,c 2 40 ,c 3 10 ,c 4 30 }是一个独立零元素组， -
c 1 20 ,c 2 40 ,c 3 10 ,c 4 30 分别称为独立零元素。
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
C
c k 1 c k 2 c kn
c n 1 c n 2 c nn
c11
c12
c21
c22
C
ck1 t ck2 t
cn1
cn2
c1n
c2n
ckn t
cnn
记新指派问题的目标函数为 Z ，
nn
nn
n
Z
cijxij
cijxij ckxjkj
i 1j 1 i k
j 1
i 1j 1 i k
j 1
j 1
n
注意到
x ij 1
j 1
nn
所以原式
cijxij t.1Zt
i1 j1
因此有 m Z im nZ it) n m (Z itn
推论 若将指派问题的效率矩阵每一行及每一列分别减去各 行各列的最小元素，则得到的新的指派问题与原指派问题有 相同的最优解。
目前认为最简洁的方法—匈牙利法。
-
ห้องสมุดไป่ตู้
例 某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成
营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑
公司 Ai(i1,2,,5) 对新商店 Bj(j1,2,,5) 的建造
报价（万元）为cij(i,j1,2,,5)，商业公司应当对5
家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建筑费用最 少？
7 0
也是一个独立零元素组。
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
7 0
不是一个独立零元素组。
-
定理 效率矩阵C中独立零元素的最多个数等于能覆盖所 有零元素的最少直线数。
本定理由匈牙利数学家狄·考尼格证明的。
例 已知矩阵
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
7 0
问应指派哪个人完成何项工作所消耗的总资源最少？
指派问题的数学模型
引进0-1变量
1
x ij
0
表示安排第i个人完成第j项工作 表示不安排第i个人完成第j项工作
-
决策变量矩阵可表示为：
x11 x12 x1n
X
x21
xn1
x22 xn2
x2n
xnn
用 c ij 表示第i个人完成第j项工作所需的资源数，称之为效率
匈牙利法的基本原理：
定理1 将效率矩阵的某一行（或某一列）的各个元素都减去 同一个常数t (t可正可负），得到新的矩阵，则以新矩阵为 效率矩阵的指派问题与原指派问题的最优解相同。但其最 优值比原最优值减少t 。
解：设效率矩阵C为
-
c 11 c 12 c 1 n
c 21 c 22 c 2 n
0 3
10
2
10 2
1 2 2 0
1 11 6 8
9 8 0 2
5 0
3
3
A5
6
9
6 10
8
2
2
0
4
1
-4 -7 -6 -6
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
X
*
0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
-7 从而导出匈牙利解法的思想：
-
二匈牙利解法
1955年,由库恩（W.W.Kuhn）根据匈牙利数学家狄·考尼 格（d.konig)关于矩阵中独立零元素的定理发明的。
c11 c12 c1n
C
c21 cn1
c22 cn2
-
c2n
cnn
则指派问题的数学模型为
nn
minZ
cijxij
i1 j1
n
x ij 1
i 1,2, n
j1
s.t. n x ij 1 j 1,2 , n
i1
xij
0
或1
注：指派问题是一种特殊的LP问题，是一种特殊的运输问题。
A1
C
A A
2 3
A4
A5
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
4 8 7 15 12 7 9 17 14 7
6
9
12
6
10
6 7 14 8 10
6
9
6 10
8
-
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1
x ij
0
当 A i 承建 B j 时 当 A i 不承建 B j 时
则问题的数学模型为
第三节 0－1型整数规划
0－1变量： 在整数规划问题中，有一类特殊的整数规
划，不仅要求解为整数，而且要求只能取得0 和1两个整数值，这类整数规划称之为0－1型 整数规划，该类解称为0－1变量。
-
一 指派问题
由n项不同的工作或任务，需要n个人去完成（每人只 能完成一项工作）。由于每人的知识、能力、经验等 不同，故各人完成不同任务所需的时间（或其它资源） 不同。
m Z i 4 x 1 n 1 8 x 1 2 1 x 50 4 6 x 55
5
x ij 1
i 1,2, 5
j1
s.t. 5 x ij 1 j 1,2 , 5
i1
xij
0
或1
-
A1
CA 2
A3 A4 A5
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
4 8 7 15 12
7 9 17 14 7
6
9
12
6
10
6 7 14 8 10
6
9
6 10
8
如何分派工作?
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
X
*
0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
-
B 1 B 2 B 3 B 4 B 5
A1
CA 2
A3 A4
4
7
6
6
8 9 9 7
7 17 12 14
15 14 6 8
12 7
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
7
0 3
-
例 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
2 15 13 4
C
10
9 7
4 14 8
注：当 cij=0 时，从第i行看，它表示第i人去干第j项工作效 率（相对）最好，而从第j列来看- ，它表示第j项工作让第i人 来干效率（相对）最高。
问题是：能否找到位于不同行、不同列的n个0元素？ 定义 在效率矩阵C中，有一组处于不同行、不同列的零元素， 称为独立零元素组，此时其中每个元素称为独立零元素。
i1 j1
i1 j1 ik
j1
nn
n
nn
n
n
cix jij (ck jt)xk j c ix jij ckx jk jt xkj
i 1j 1 i k
j 1
i 1j 1 i- k
j 1
j 1
nn
n
nn
n
n
cix jij (ck jt)xk j c ix jij ckx jk jt xkj
例 已知
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
7 0
则 { c 1 20 ,c 2 40 ,c 3 10 ,c 4 30 }是一个独立零元素组， -
c 1 20 ,c 2 40 ,c 3 10 ,c 4 30 分别称为独立零元素。
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
C
c k 1 c k 2 c kn
c n 1 c n 2 c nn
c11
c12
c21
c22
C
ck1 t ck2 t
cn1
cn2
c1n
c2n
ckn t
cnn
记新指派问题的目标函数为 Z ，
nn
nn
n
Z
cijxij
cijxij ckxjkj
i 1j 1 i k
j 1
i 1j 1 i k
j 1
j 1
n
注意到
x ij 1
j 1
nn
所以原式
cijxij t.1Zt
i1 j1
因此有 m Z im nZ it) n m (Z itn
推论 若将指派问题的效率矩阵每一行及每一列分别减去各 行各列的最小元素，则得到的新的指派问题与原指派问题有 相同的最优解。
目前认为最简洁的方法—匈牙利法。
-
ห้องสมุดไป่ตู้
例 某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成
营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑
公司 Ai(i1,2,,5) 对新商店 Bj(j1,2,,5) 的建造
报价（万元）为cij(i,j1,2,,5)，商业公司应当对5
家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建筑费用最 少？
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也是一个独立零元素组。
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
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不是一个独立零元素组。
-
定理 效率矩阵C中独立零元素的最多个数等于能覆盖所 有零元素的最少直线数。
本定理由匈牙利数学家狄·考尼格证明的。
例 已知矩阵
5 0 2 0
C
2
0 4
3 5 8
0 6 0
0
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问应指派哪个人完成何项工作所消耗的总资源最少？
指派问题的数学模型
引进0-1变量
1
x ij
0
表示安排第i个人完成第j项工作 表示不安排第i个人完成第j项工作
-
决策变量矩阵可表示为：
x11 x12 x1n
X
x21
xn1
x22 xn2
x2n
xnn
用 c ij 表示第i个人完成第j项工作所需的资源数，称之为效率
匈牙利法的基本原理：
定理1 将效率矩阵的某一行（或某一列）的各个元素都减去 同一个常数t (t可正可负），得到新的矩阵，则以新矩阵为 效率矩阵的指派问题与原指派问题的最优解相同。但其最 优值比原最优值减少t 。
解：设效率矩阵C为
-
c 11 c 12 c 1 n
c 21 c 22 c 2 n
0 3
10
2
10 2
1 2 2 0
1 11 6 8
9 8 0 2
5 0
3
3
A5
6
9
6 10
8
2
2
0
4
1
-4 -7 -6 -6
1 0 0 0 0
0 0 0 0 1
X
*
0
0
0
1
0
0 1 0 0 0
0
0
1
0
0
-7 从而导出匈牙利解法的思想：
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二匈牙利解法
1955年,由库恩（W.W.Kuhn）根据匈牙利数学家狄·考尼 格（d.konig)关于矩阵中独立零元素的定理发明的。