一维晶格振动
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3.1 一维晶格振动
主讲人：
静态模型与晶格振动
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模 型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在 该框架内，我们讨论了X 光衍射发生的条件，以后还将在此框 架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。
然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离 子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所 控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解 了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体 热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象， 某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波 的相互作用等等。
原子之间的相互作用力分析
u(r) u(a r)
泰勒展开：
u(r) u(a r) =0
u(a)
du dr
a
r
1 2
d2u dr 2
a
(r)2
1 6
d3u dr 3
a
(r
)3
u(a)
1 2
d2u dr 2
a
r
2
1 6
d3u dr 3
a
r
3
原子之间的相互作用力分析
u(r
)
u(a)
(1)格波频率ω以倒格矢2π/a为周期
(2) ω在波矢空间具有反演性
(3)波矢的取值范围： q
a
a
这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题
这种性质称作格波的简约性。
分析讨论
q=2l/a+q´
结论：
un=Aei{t-q´na}= un´
•如果q -q´ =2l/a （s为任意整数）这两种波矢对同一种原 子所引起的振动完全相同。
1 2
d2u dr 2
a
r
2
1 6
d3u dr 3
a
r
3
f
(r)
du dr
d2u dr 2
a r
1 2
d3u dr 3
a
r 2
d2u dr 2
a
简谐近似
因此：f
d2u dr 2
a
r
r
(un1
un)
弹簧振子？？
弹簧谐振子
k
x
M
M
F kx
f r
弹性恢复力系数
原子之间的相互作用力分析
2/q=
° °°°°
格波
格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的 波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的 形式在晶体中传播形成的波。
格波的特点：• 晶格中原子的振动；
• 相邻原子间存在固定的位相关系。
un Aei(qrn t) Aei(qnat)
2 2 [1 cos(qa)] 4 sin 2 (1 qa)
m
m2
2 sin aq
m2
色散关系
色散关系：频率与波矢之间的关系
这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果， 即所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动， 但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是qa。
格波的特性
2 sin aq
m
2
(q 2 n) (q)
a
(q) (q)
•对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢q，它们之 间都相差2/a的整数倍。
• 为了保证un的单值性，把q值限制在(-/a, /a), 其中a是 该格子的晶胞常数，该范围正好在第一布里渊区。
un – un-1
设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反 的弹性力； 两个最近邻原子间才有作用力------短程弹性力。
原子之间的相互作用力分析
n-2 n-1
n n+1 n+2 n+3
a
r
un-2
un-1
un
un+1 un+2 un+3
第n个原子相对第n+1个原子的位移Δr：
r r a a un un1 a un un1
玻恩-卡门周期性边界条件
设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接， 各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞 的个数）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原子链，
遵循玻恩---卡门周期性边界条件:
un unN
mun (un1 un1 2un )
考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平 衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子 偏离其平衡位置的位移为 n 。
un表示第n个原子离开平衡位置的位移， 第n个原子相对第n+1个原子间的位移是：
a+ un– un+1- a= un – un+1 同理：第n个原子相对第n-1个原子间的位移是：
第n个原子离开平衡位置时受到的简谐振动力为：
原子n-1对原子n的作用力 原子n+1对原子n的作用力
F [ (un un1)] [ (un1 un )]
(un1 un1 2un )
原子的振动方程
第n个原子的振动：
mun (un1 un1 2un )
怎么处理边界上原子的振动问题？
1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》 (Dynamical Theory of Crystal Lattices)一书（英国牛 津出版社，1954年）。（2006年中文版）
黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振 动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是 “极化激元”概念的最早阐述者 。
晶格振动虽是一个十分复杂的 多粒子问题，但在一定条件下，依 然可以在经典范畴求解，一维原子 链的振动就是最典型的例子，它的 振动既简单可解，又能较全面地表 现出晶格振动的基本特点。
源自文库
一维晶格的振动
一、一维单原子晶格的线性振动 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3
un-2
un-1
un
un+1 un+2 un+3
黄昆院士与晶格动力学
黄昆院士简介: （摘录）
1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大 学物理系学习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体 的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。
1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博 士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声 子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了 多声子跃迁理论。
设方程的通解为：
un Aei(qrn t) Aei(qnat)
uk
Ae e i(qnat ) iqa(k n)
u eiqa(k n) n
当 k n 2l
qa
uk un
当 k n （2l 1)
qa
uk un
原子位移的周期分布特性 格波
区别于：连续介质弹性波：Aei t xq
格波
°°°°°°n°-2n-n°1 ° n+1n+2°
主讲人：
静态模型与晶格振动
固体的许多性质都可以基于静态模型来理解（即晶体点阵模 型），即认为构成固体的原子在空间做严格的周期性排列，在 该框架内，我们讨论了X 光衍射发生的条件，以后还将在此框 架内，建立能带论，计算金属大量的平衡性质。
然而它只是实际原（离）子构形的一种近似，因为原子或离 子是不可能严格的固定在其平衡位置上的，而是在固体温度所 控制的能量范围内在平衡位置附近做微振动。只有深入地了解 了晶格振动的规律，更多的晶体性质才能得到理解。如：固体 热容，热膨胀，热传导，融化，声的传播，电导率，压电现象， 某些光学和介电性质，位移性相变，超导现象，晶体和辐射波 的相互作用等等。
原子之间的相互作用力分析
u(r) u(a r)
泰勒展开：
u(r) u(a r) =0
u(a)
du dr
a
r
1 2
d2u dr 2
a
(r)2
1 6
d3u dr 3
a
(r
)3
u(a)
1 2
d2u dr 2
a
r
2
1 6
d3u dr 3
a
r
3
原子之间的相互作用力分析
u(r
)
u(a)
(1)格波频率ω以倒格矢2π/a为周期
(2) ω在波矢空间具有反演性
(3)波矢的取值范围： q
a
a
这就避免了某一频率的格波有很多波长与之对应的问题
这种性质称作格波的简约性。
分析讨论
q=2l/a+q´
结论：
un=Aei{t-q´na}= un´
•如果q -q´ =2l/a （s为任意整数）这两种波矢对同一种原 子所引起的振动完全相同。
1 2
d2u dr 2
a
r
2
1 6
d3u dr 3
a
r
3
f
(r)
du dr
d2u dr 2
a r
1 2
d3u dr 3
a
r 2
d2u dr 2
a
简谐近似
因此：f
d2u dr 2
a
r
r
(un1
un)
弹簧振子？？
弹簧谐振子
k
x
M
M
F kx
f r
弹性恢复力系数
原子之间的相互作用力分析
2/q=
° °°°°
格波
格波：晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的 波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的 形式在晶体中传播形成的波。
格波的特点：• 晶格中原子的振动；
• 相邻原子间存在固定的位相关系。
un Aei(qrn t) Aei(qnat)
2 2 [1 cos(qa)] 4 sin 2 (1 qa)
m
m2
2 sin aq
m2
色散关系
色散关系：频率与波矢之间的关系
这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果， 即所有原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动， 但不同的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是qa。
格波的特性
2 sin aq
m
2
(q 2 n) (q)
a
(q) (q)
•对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢q，它们之 间都相差2/a的整数倍。
• 为了保证un的单值性，把q值限制在(-/a, /a), 其中a是 该格子的晶胞常数，该范围正好在第一布里渊区。
un – un-1
设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反 的弹性力； 两个最近邻原子间才有作用力------短程弹性力。
原子之间的相互作用力分析
n-2 n-1
n n+1 n+2 n+3
a
r
un-2
un-1
un
un+1 un+2 un+3
第n个原子相对第n+1个原子的位移Δr：
r r a a un un1 a un un1
玻恩-卡门周期性边界条件
设在实际晶体外，仍然有无限多个完全相同的晶体相连接， 各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。
晶体中任一个原子，当其原胞标数增加N（N为晶体中原胞 的个数）后，其振动情况复原。由N个原胞组成的单原子链，
遵循玻恩---卡门周期性边界条件:
un unN
mun (un1 un1 2un )
考虑N个质量为 m 的同种原子组成的一维单原子链。设平 衡时相邻原子间距为 a（即原胞大小），在 t 时刻第 n 个原子 偏离其平衡位置的位移为 n 。
un表示第n个原子离开平衡位置的位移， 第n个原子相对第n+1个原子间的位移是：
a+ un– un+1- a= un – un+1 同理：第n个原子相对第n-1个原子间的位移是：
第n个原子离开平衡位置时受到的简谐振动力为：
原子n-1对原子n的作用力 原子n+1对原子n的作用力
F [ (un un1)] [ (un1 un )]
(un1 un1 2un )
原子的振动方程
第n个原子的振动：
mun (un1 un1 2un )
怎么处理边界上原子的振动问题？
1947-1952年，与玻恩教授合著《晶格动力学》 (Dynamical Theory of Crystal Lattices)一书（英国牛 津出版社，1954年）。（2006年中文版）
黄昆对晶格动力学和声子物理学的发展做出了卓越的贡 献。他的名字与多声子跃迁理论、X光漫散射理论、晶格振 动长波唯象方程、二维体系光学声子模联系在一起。他是 “极化激元”概念的最早阐述者 。
晶格振动虽是一个十分复杂的 多粒子问题，但在一定条件下，依 然可以在经典范畴求解，一维原子 链的振动就是最典型的例子，它的 振动既简单可解，又能较全面地表 现出晶格振动的基本特点。
源自文库
一维晶格的振动
一、一维单原子晶格的线性振动 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3
un-2
un-1
un
un+1 un+2 un+3
黄昆院士与晶格动力学
黄昆院士简介: （摘录）
1945-1947年，在英国布列斯托（Bristol）大 学物理系学习，获哲学博士学位；发表《稀固溶体 的X光漫散射》论文，理论上预言“黄散射”。
1948-1951年，任英国利物浦大学理论物理系博 士后研究员，这期间建立了“黄方程”，提出了声 子极化激元的概念，并与李爱扶（A.Rhys）建立了 多声子跃迁理论。
设方程的通解为：
un Aei(qrn t) Aei(qnat)
uk
Ae e i(qnat ) iqa(k n)
u eiqa(k n) n
当 k n 2l
qa
uk un
当 k n （2l 1)
qa
uk un
原子位移的周期分布特性 格波
区别于：连续介质弹性波：Aei t xq
格波
°°°°°°n°-2n-n°1 ° n+1n+2°