【沪科版】九年级数学下册教案：24.2 第4课时 圆的确定

24.2 圆的基本性质

第4课时圆的确定

1．理解并掌握确定圆的条件；

2．理解三角形的外接圆，三角形外心的概念，能够运用其性质进行计算(重点，难点)；

3．理解反证法的思想，能够运用反证法证明命题(难点).

一、情境导入

小明不慎把家中的一块圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃应该是哪一块？

二、合作探究

探究点一：确定圆的条件

已知：不在同一直线上的三个已知点A，B，C(如图)，求作：⊙O，使它经过点A，

B，C.

解析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作出边AB、BC的垂直平分线相交于点O，以O为圆心，以OA为半径，作出圆即可．

解：(1)连接AB、BC；

(2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF，两垂直平分线相交于点O，则点O 就是所求作的⊙O的圆心；

(3)以点O为圆心，OC长为半径作圆，则⊙O就是所求作的圆．

方法总结：作经过三点的圆，即作这三点构成的三角形的外接圆，根据三角形的外接圆的性质可知，其圆心为三边垂直平分线的交点，依据此作图即可求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

探究点二：三角形的外接圆

【类型一】 与圆的内接三角形有关的坐标的计算

如图，△ABC 的外接圆的圆心坐标是________．

解析：由图可知△ABC 外接圆的圆心在BC 的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y ＝

－1上，也在线段AB 的垂直平分线上，即外接圆圆心在直线y ＝x ＋1上，则有⎩

⎪⎨⎪⎧y ＝－1，y ＝x ＋1，解得⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1，则两线交点坐标为(－2，－1)，故填(－2，－1)． 方法总结：解题时可根据外接圆的圆心的性质：三角形外接圆圆心为三角形三边的垂直平分线的交点，列出相应的等式关系求解．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题

【类型二】 与圆的内接三角形有关线段的计算

如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC ＝24cm ，O 到BC 的距离是5cm ，求△ABC

的外接圆的半径．

解：连接OB ，过点O 作OD ⊥BC ，则OD ＝5cm ，BD ＝12

BC ＝12cm.在Rt △OBD 中，OB ＝OD 2＋BD 2＝52＋122＝13cm.即△ABC 的外接圆的半径为13cm.

方法总结：由外心的定义可知外接圆的半径等于OB ，过点O 作OD ⊥BC ，易得BD ＝12cm.由此可求它的外接圆的半径．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

探究点三：反证法

用反证法证明：一个圆只有一个圆心．

解析：反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此得出假设与已知定理矛盾，进而得出答案．

证明：假设⊙O有两个圆心O及O′，在圆内任作一弦AB，设弦AB的中点为P，连结OP，O′P，则OP⊥AB，O′P⊥AB，过直线AB上一点P，同时有两条直线OP，O′P都垂直于AB，与垂线的性质矛盾，故一个圆只有一个圆心．

方法总结：此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题

三、板书设计

1．确定圆的条件

不在同一直线上的三个点确定一个圆．

2．三角形的外接圆

经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．

3．反证法证明的一般步骤

(1)反设；(2)推理；(3)结论．

边垂直平分线的交点．在圆中充分利用这一点可解决相关的计算问题.