第五章波色系统波色-爱因斯坦凝聚

因此在外界简谐势场 Vtrap (r) 中，波色场算符满足（海森堡绘景，坐标表象）：
i
ˆ (r,t) t

[ˆ (r,t), Hˆ ]


2 2m
2
Vtrap
(r)

d 3rˆ (r,t)U (r r)ˆ (r,t)ˆ (r,t)

En
p
p2 2m
np

4a2 mV

N
2

1 2
n02
.
下面我们要找到物态方程。我们考虑极低温的情况，即 a / 1, a2 / v 1, 并用n代表 {np} ，
能量的动能部分记为 n

p
p2 2m np
，记

n0 / N
，配分函数为：
ZN TreHˆ
v 3
g5/ 2 (z)

ln
z,
5 2
v 3
g5/ 2 (1)，
v vc; v vc.
定容比热：
CV Nk B
15


4

v 3
g5/2(z)
9 4
g3/2(z) , g1/ 2 (z)
15 4
v 3
g5/ 2 (1)，
v vc ; v vc.
在T=0附近我们有CV ~ T 3/2 ，这与光子和声子的行为不同，原因是它们的能谱不同。而在 Tc 处 比热是连续的（因 g1/2(1) 发散），比热的导数不连续。
i
(r, t ) t


2 2m
2
Vtrap
(r)

N 0U 0
(r, t )
2
(r,
t
)

用巨正则系综我们可以研究系统的平衡性质。凝聚部分的哈密顿量为：
K0 H0 N0 H0 d 3r*(r)(r)
统计平d衡3r时*系(r)统的2m2Kˆ的2 平Vt均rap (值r)有 极小(r值) ，12故d有3rUK00* *
N
的量级，
物态方程在 v vc 连续，但其导数不连续，因此相变为一级相变。
• 其它热力学量：应分为两段讨论，如内能：
U N

3 2
Pv

3
2 3
2
kBTv
3 kBTv
3
g5/ 2 (z), g5/ 2 (1)，
v vc; v vc.
熵：
S NkB
5


2


5.2 非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚
考虑N个无自旋波色粒子组成的稀薄气体系统，体积为V，系统处于低温且相互作用为二体 碰撞。在一级近似下，系统哈密顿量为：
Hˆ
i
2m2 i2

4a2 m
(ri
i j
rj ).
这里我们把势能项看作微扰。
设无微扰波函数（自由粒子系统波函数）为 n {, np ,}, 其中 n p 为单粒子态中粒子的填布
令
aˆ p
(aˆ
p
)
为动量为p的单粒子态的湮灭(产生)算符，我们有
aˆ0aˆ0 N0 N , aˆ0aˆ0 aˆ0aˆ0 1 N
故 aˆ0aˆ0 N0 1 aˆ0aˆ0
这表明在这种近似下我们可以忽略
aˆ
p
,
aˆ
p
的非对易性，把它们当作非算符的量（C数）。


1 2v
2 0 v

作近似 20 0 2 2 后可得：
P


P(0)
P(0)

4a 2 mv2
,

2a 2 m

1 v2

1 vc 2
.
(v vc ,T Tc ) (v vc ,T Tc )
数。在一级近似下，系统能量为：
En
n , Hˆn

p
p2 2m
np

4a2 m
n ,
i
j

(ri

rj
) n


p
p2 2m
np

4a2 mV

N
2

1 2
p
n
2 p


成立条件为 a / v1/3 1, ka 1, k为一对粒子的相对波矢，a是散射长度。即粒子只能激发到动
• 产生凝聚的条件： 把比容的方程改写为：
3

n0


3
是增函数）。
Vv
g3/ 2 (z).
凝聚要求

n0 V


0,
3
当v
g3/2 (1) 时，这必然成立（因gn (z)
这样系统可看作两个热力学“相”的混合，一个相由动量为零的粒子组成，令一个由动量不为
零的粒子组成。
分割面方程由
3 v

g3/2 (z) g3/2 (1) 确定，由此可得临界温度 Tc和临界比容
kBTc

m
22 vg3/2 (1)
2/3
,
vc

3 g3/ 2 (1)
vc (固定温度T时):
当 T Tc（v一定）或 v v（c T一定）时，将产生波色-爱因斯坦凝聚。即低温和高密度是
产生波色-爱因斯坦凝聚的条件，有凝聚时粒子的平均热波长与粒子平均间距有相同的数
5.4简谐势阱中理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚
详见杨展如书98-102页。
5.5 简谐势阱中非理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚
温度很低时，原子的德布罗意波长（热波长）比原子相互作用程大很多，原子间的相互作 用是很弱的完全被量子力学中讨论过的S-波散射所支配，因此我们只需考虑二体碰撞。 S-波 散射可以用散射长度a来表征，相互作用势可近似写为: U (r r) U0 (r r)
（2）磁-光陷阱（坐标空间囚禁）： 在磁场中原子激发态能级发生分裂，原子 通过两束沿z轴相对运动的激光激发。激 光频率小于原子无磁场时的跃迁频率( L A )。 这样，不论在z>0还是z<0区域内只能吸收向坐 标原点方向传播的激光，受到一个指向z=0点的 辐射力F=-kz，这样原子处于一个辐射力造成的 简谐势阱中。
理想波色气体系统：
我们考察单粒子密度矩阵：
1(x,y)
ˆ(x)ˆ(y)
1 V
e
a a i(kxqy) qk

k ,q
这里 表示系综平均Tr(ˆaqak )，ˆ 为正则系综统计算符，ˆ(y)为单自由粒子场算符（可用
平面波展开），ak ,ak 分别为平面波的波矢量为k的湮灭和产生算符。上式表示如在y处失去 一个粒子，则可在x处找到一个粒子的概率密度。
2 2m
2
Vtrap
(r)ˆ
(r,
t)

U
0ˆ

(r,
t)ˆ
(r,
t)ˆ
(r,
t
)
这个方程可在平均场近似下求解。关键是把波色场算符分为凝聚部分和非凝聚部分(波戈留
波夫近似)：
均匀空间情形：
理想波色气体的基态是所有粒子都处于单粒子的零动量态，其低激发态仍有量级为N的粒子
占据零动量态，而 p 0 的态的占据数很少。我们假定这对近理想波色气体仍然成立。
量在较基小 态的 ，态 我。 们上 让面n0最 后N ，一而个其等它式所的有推导n p 见为杨零展，如基书态9能3-量95为页：。EN0

2a2 mv



2
2a,

m

Nm V

m v
而低激发态能级同时含有连续谱和分立谱。在极低温度下，只有少量粒子激发，能量表达
式可进一步近似为：
于是
1(x,y)

1 V
k
e
ik
a a (xy) kk


N 0 V
1 V
e ik (xy)akak
k 0

N 0 V

d 3k e (2 )3
ik
(x
y)nˆk


N 0 V

mkBT 22
e r / r0 r


r0




2mkBT | ln z |
当r=|x-y|→∞时，上式中的积分为零。因此在这个极限下1(x,y)
N V
0
与空间位置无关。
e e Z e n
N
a2 v

2 2
(0)
N
a2 v

2 2
N
0
n
其中 Z (0) N
为理想波色气体的配分函数。0
是对理想波色气体的统计平均。
每个粒子的自由能为：
F F (0) kBT ln NN N
e N
第五章 波色系统：波色-爱因斯坦凝聚
5.1 理想波色气体中的波色-爱因斯坦凝聚
回忆我们在前面获得的理想波色气体的物态方程：
P kBT

1 3
g
5
/
2
(
z
)

1 V
ln(1 z),
1 v

1 3
g3/
2
(
z)

1 V
z 1
z
,
这 我里们比有容 ：0v=Vz /N1,，平0 均z热由波定长义知 显m2然kBT2成。立易；逸z 度1可z的由定动义量为为z0的e态，的其平中均μ占为据化数学势n0。对z波/(1色气z) 体 0，
3 v

g3/ 2 (1).
•
填布数 n0

与温度和比容的关系（大V极限下）：利用
N V

1 3
g3/
2
(z)


n0 V

和上面的
结果可得：

n0 N


1


T Tc


3/ 2 1
0，
v vc
,
3 v g3/ 2 (1); 3 v g3/ 2 (1).
粒子在动量空间里凝聚。T=0时所有粒子都占据p=0态。
•
物态方程：压强方程中的第二项可忽略，因

1 V
ln(1
z)


1 V
对大系统可忽略。因此物态方程为
P kBT
1


3 1
3
g5/ 2 (z), g5/ 2 (1)，
v vc; v vc.
ln

1 n0
1
，它最多是N 1 ln
这个相变是二级相变。
5.3 波色-爱因斯坦凝聚实验的基本原理
实验困难：大多数气体在极低温下不呈现气态。
1995年：三个研究组用Rb, Na 和Li蒸气在简谐磁陷阱中在极低温度下观察到了波色爱因斯坦凝聚现象。
实验的基本原理有两个： （1）多普勒致冷（动量空间的压缩）：恰当选取激光 频率 L A，这里A 是原子最低激发频率，可使得原 子在多次吸收激光后，动量不断减小： 原子接受迎面光子激发（有方向性，动量减小），再通 过自发辐射退激发（无方向性）。
确定。函数 gn (z)一般地由下式确定：
gn (z)

l 1
zn ln
当z取0至1的值时，gn(z) 是z的正的单调递增有界函数（注意在费米系统里z可取任意大于0的
值）。对于n>1有
gn (1)
l 1
1 ln
(n)
(n 1)
这是黎曼Zeta函数。当 n 1，gn (1) 发散。
量级。
• 大V极限下的易逸度z：
对宏观系统来说我们更关心体积V趋于无穷大的极限情形。
由 n0 z /(1 z) 我们可反解出z: z n0 /( n0 1) 。因此在大V极限下我们有：

z


方程
3 v

1, g3/ 2 (z)的根，
3 v

g3/ 2 (1);
考虑一个有平移不变性的系统，这时动量和哈密顿量对易，利用Tr(AB)=Te(BA)可证：
pˆ,aqak Tr ˆ pˆ,aqak 0
另一方面，直接计算可得：
pˆ,aqak (k q)aqak
ˆ

1 Z
e Hˆ
因此对这种系统我们有 aqak q,k akak q,k nˆk
这样场算符可以写为两部分：
ˆ(r ) p(r )aˆp 0aˆ0 p(r )aˆp
p
p 0
N V
ˆ(r )
推广到空间非均匀和与时间有关的情形，我们有： ˆ (r,t) (r,t) ˆ (r,t),
这里 (r,t) ˆ (r,t) ，ˆ (r,t)是围绕平均值的量子和热涨落（一个小量）。带入到上面的 方程即得（GP方程）：
(r
0Βιβλιοθήκη Baidu
)* (r )(r )(r )
，从上式代入并解之得：

2 2m
2

Vtrap
(r)

N 0U 0
(r,
t)
2
(r,
t)

(r,
t)
5.6 波色-爱因斯坦凝聚的序参量和判据
序参量：描述连续相变（二级相变）特征（自发对称破缺）的参量。在相变点附近，它是 唯一重要的热力学量。
a2 v

2 2

F (0) N
kBT
a2 v
0
(2 2 ) F (0) 4a2 1 1 2
0N
mv 2 0
压强可由自由能得到：
P

F v
T ,N

P(0)

4a2 m
1

v
2
1
1 2

2

0